Difracción

La difracción es el fenómeno físico de interferencias producido cuando se suprime parte de un frente de ondas 

En la figura una serie de frentes de ondas de una sola longitud de onda, monocromáticos, incide perpendicularmente sobre una rendija estrecha, cuya anchura “d” es el orden de la longitud de onda λ del frente de ondas, d ≈ λ . Cada uno de los puntos de la parte del frente de ondas que atraviesa la rendija se convierte en emisor de ondas secundarias, según establece el Principio de Huygens. La superposición de las ondas secundarias en determinados puntos, produce máximos y mínimos de interferencia que en este caso recibe el nombre de difracción.

         Si la difracción se analiza cerca de la rendija recibe en nombre difracción de campo cercano. Si la difracción se analiza lejos de la rendija, a una distancia L tal que L>>d, la difracción recibe el nombre de difracción de campo lejano.

         Si  un objeto interrumpe la propagación de una parte de los frentes de ondas monocromáticas, la superposición de las ondas restantes produce interferencias denominada difracción. Este es el caso de la difracción en un filamento.

         En ambos casos se producen máximos y mínimos de difracción en una pantalla. Con una disposición experimental adecuada puede determinarla la anchura de la rendija o la del pequeño objeto interpuesto, cuando las dimensiones de ambos sean del orden de magnitud de la longitud de onda incidente.

Distribución de los máximos y mínimos de difracción  por una rendija estrecha en puntos alejados de la misma.

Cada uno de los puntos del frente de ondas monocromático AB se convierte en foco emisor de ondas secundarias progresivas de la misma longitud de onda. Vamos a analizar la superposición de ondas en P, punto situado en una pantalla alejada de la rendija. El punto M está en la mitad del segmento AB.

Las direcciones AP, MP y BP van a ser prácticamente paralelas. Si la diferencia de caminos recorridos por las ondas emitidas por M y A en P es media longitud de onda, λ/2

MP – AP = λ/2

la misma diferencia de caminos recorridos habrá entre las ondas emitidas por focos situados en el segmento AM y MB distante d/2. Se cancelarán todas las ondas en P, luego en este punto habrá un mínimo de difracción.

         Analizando la geometría de la figura se tiene

que:

MP – AP = BC = (d/2) sen θ

Luego            

(d/2) sen θ1er Mín = λ/2

sen θ1er Mín = λ/d

         No obstante para poder observar el primer mínimo de difracción en el punto P, se tiene que cumplir que OP>>d. Dado que

sen θ1er Mín≈ tg θ1er Mín=OP/L>>d/L

λ/d >> d/L ; L >>d2/λ

Para determinar la posición aproximada del punto Q en donde está el primer máximo lateral, se divide la rendija en tres partes iguales, de anchura d/3 cada una. Si la diferencia de caminos

          DQ - AQ=λ/2,

las ondas secundarias emitidas por los focos del segmento AD interferirán destructivamente con las ondas emitidas por los focos del segmento DE, quedando sólo las ondas emitidas por los focos del segmento EB.

         En una dirección q ligeramente inferior a ésta,  los segmentos AD y DE de los focos cuyas ondas interfieren destructivamente en un punto R en la pantalla serán iguales en longitud, pero cada uno de ellos superior en longitud al segmento EB, produciendo menos intensidad de la onda de superposición en P. 

En una dirección con θ ligeramente superior a ésta la rendija se podría dividir en cuatro segmentos AD, DE, EB y BF; siendo los tres primeros iguales y el cuarto, BF, de menor longitud que los anteriores.  Se producirían interferencias destructivas en un punto R’ de la pantalla debido a las ondas emitidas por los focos situados en AD y DE y los focos situados en el segmento BF cancelarían parte de las ondas emitidas por los focos del segmento EB. La intensidad de la onda de superposición en R’ será menor que en Q. En Q habrá un máximo de difracción, luego para la dirección aproximada del primer máximo lateral en Q se cumplirá

      DQ - AQ=λ/2; DF =λ/2

         (d/3) sen1er máx lat=λ/2

                  sen1er máx lat=3λ/2

         Para la determinación de la dirección del segundo mínimo se puede considerar la rendija dividida en cuatro segmentos iguales AD, DE, EB, BF. Las ondas secundarias emitidas por los focos del segmento AD interferirán destructivamente con las emitidas por los focos del segmento DE. Lo mismo ocurrirá con las ondas emitidas por los focos de los segmentos EB y BF.  Si S es el punto de la pantalla donde estaría el segundo mínimo, se tendrá:

DS - AS=λ/2; DS – AS =(d/4)sen θ

    (d/4) sen θ2º mín=λ/2

                                                                                                    θ2º mín=2λ / d

         Se puede observar que el seno del ángulo para el primer máximo lateral es el valor medio de los senos de los ángulos de los mínimos contiguos.

         Para el siguiente máximo lateral se tendrá:

sen θ2º máx lat =5λ / 2d

         En general, la posición del mínimo de orden n es:

sen θmín n =nλ / d

En la figura siguiente se representa la distribución de la intensidad de la onda en la pantalla en la que se observa.

 Aplicación: poder separador de un instrumento óptico

Supongamos que la rendija por la que pasa la luz en un microscopio tiene diámetro “d”. Los frentes de ondas dibujados en la figura, representarían los frentes de ondas luminosos de un objeto que refleja una luz de longitud de onda λ. Un objeto situado más abajo del anterior, emitiría frentes de ondas oblicuos a la rendija y formarían un máximo de difracción desplazado del centro. La resolución de los dos objetos en el microscopio será máxima si, a lo sumo, el mínimo de difracción de la primera imagen coincidiera con el mínimo de difracción de la segunda. Para conseguir separar dos imágenes muy próximas, el ángulo q lo formarían los dos máximos de difracción. Para que este ángulo q sea pequeño  hay dos posibilidades: a) aumentar la anchura “d” de la rendija, b) disminuir la longitud de onda λ incidente. En microscopía se disminuye la longitud de onda de la luz incidente, iluminando con luz violeta, para aumentar el poder separador de un instrumento óptico.

Difracción de la luz en un filamento

          En la figura 1 una parte de una serie de frentes de ondas de la luz incidente son absorbidos en la zona Σ2 y la parte complementaria pasa a través de la rendija Σ1, produciendo un campo E1 en un punto P situado en una pantalla.

         En la figura 2 parte de una serie de frentes de ondas son absorbidos en la zona en donde estaba la rendija, Σ1, y la parte complementaria de los frentes de onda pasan a través de la zona Σ2, produciendo en P un campo E2.

         Si se pone una pantalla totalmente opaca a las ondas, el campo en P será nulo, luego se puede deducir que la relación entre los campos E1 y E2 en P es:

E1+E2=0

         Luego

E2=-E1

         Dado que la intensidad de la onda es proporcional al cuadrado del módulo del campo, la intensidad del campo en el punto P de la figura 1 será:

IP1 = cte ІE1І 2 

         La intensidad del campo en el punto P de la figura 2 será

IP2 = cte’ ІE2І 2= cte’ І-E1І2 = (cte’/cte) IP1 

         Luego la intensidad del campo E en un punto P de la pantalla de la figura 2, será proporcional a la intensidad del campo E en el mismo punto P de la pantalla con una rendija estrecha. Las figuras de difracción observadas en ambos casos serán iguales.

Aplicación: medida experimental del diámetro de un hilo de cobre 

En la figura se representa la difracción de la luz de un puntero láser de longitud de onda 650 nm en un hilo, de diámetro d, perpendicular al plano del dibujo. La figura de difracción se forma en una pantalla situada a una distancia x del hilo  

Las direcciones de los mínimos de difracción son los mismos que los producidos por una rendija de anchura d.

sen θmín n =nλ / d

siendo                                                                       seno θ ≈ tg θ =yn/x

                                                                    yn = n λx/d

Y llamando Ym = 2yn  se tiene                              Yn = 2n λx/d

Cuánto mayor sea el orden del mínimo lateral, menor sera la incertidumbre relativa de las medida de Ym. Se tomarán las distancia entre los mínimos latrales de orden n=4, luego 

                                                                                                                     Y4 = 8 λx/d

Si se miden varios pares de valores (x, Y4), variando la distancia del hilo a la pantalla, y se representan en una gráfica x-Y4, los puntos representados estarán en torno de una línea recta de pendiente  p=8 λ/d. Representando los puntos en un diagrama cartesiano x-y en un papel milimetrado y trazando la recta que visualmente se ajuste mejor a los puntos, se puede determinar la pendiente de la misma y, después, se puede despejar el diámetro d.

La línea recta que visualmente pasa entre los puntos puede oscular entre un valor máximo y un valor mínimo. La incertidumbre en la pendiente será 

                                                                                                      Δp=(pmax-pmin)/2

¿Cómo se puede hallar la incertidumbre del diámetro d?  

                                                                                                                      d=8 λ/p

Aplicando logaritmos neperianos en ambos miembros y diferenciando, utilizando el símbolo δ para la diferenciación, se tiene

                                                                                                       ln d = ln 8 +ln λ-ln p ; δd/d = δλ/λ – δp/p

Para pasar a una relación con incertidumbres, en el segundo miembro todos lo términos han de ser positivos para considerar la suma de las distintas partes que contribuyen a la incertidumbre, luego

                                                                                                  Δd/d =Δλ/λ+Δp/p  Δd =d·Δλ/λ+d·Δp/p 

La Estadística muestra que propiamente

                                                                                                                                  Δd =[(d·Δλ/λ)2+(d·Δp/p)2]1/2   

siendo este valor de incertidumbre menor que el anterior.

Se han medido los siguientes pares de valores x-Y4

                                                                x (cm)           30,0   35,0   40,0   45,0   50,00   55,00   60,00   65,00

                                                                Y4(cm)         1,85   2,10   2,45   2,75    3,10      3,40     3,75    4,05

Representando estos pares de valores y trazando la recta que más se aproxime a los mismos, se tiene la gráfica siguiente:

Tomando un punto A alejado del origen, se tiene para la pendiente

                                                                                                        p= Y4,A/xA =0,619

y dado que p =8λ/d;  d=8λ/p =8·650·10-9/0,0618 = 8,41·10-5  = 84,1  μm

Trazando las rectas de mayor y menor pendiente entre los puntos se tiene la siguiente gráfica:

A partir de las coordenadas de los puntos A' y A'', se obtienen las pendientes

pmax =4,35/69,5=0,0626    pmin=4,25/69,5=0,0612     y   Δp= (pmax-pmin)/2 = 0,0007

                                                                     Δd =[(d·Δλ/λ)2+(d·Δp/p)2]1/2 = 1,6 μm 

y                                                                                                           d= (84,1+-1,6) μm