Influencia del medio en la velocidad de propagación de una onda

Ondas transversales en una cuerda tensa

Un trozo de longitud L de la cuerda elástica de la figura tiene masa m. La cuerda pasa por una polea y cuelga de ella un peso Mg que produce una tensión T=Mg en la cuerda

La velocidad de propagación de las ondas transversales suaves en la cuerda elástica es:

donde m/L, que se suele simbolizar μ, es la masa por unidad de longitud de la cuerda y T es la tensión de la misma. La unidad de μ en el S.I. es el kg/m y la de T es el newton (N).

Para una cuerda con μ =m/L=0,50x10^-3 kg/m con una tensión T=100 N, la velocidad es v»450 m/s. Para una tubería de goma mucho más densa la masa por unidad de longitud puede ser μ =1,0 kg/m. Sometida a la misma tensión la velocidad de propagación es v=10 m/s.

Estas velocidades son correctas si las perturbaciones producidas son de pequeñas pendientes, ondas suaves, en las que la pendiente de la recta tangente a la onda en cualquier punto es aproximadamente igual al ángulo y la cuerda es elástica, cuando pasa la perturbación por la cuerda, ésta se deforma, volviendo a su longitud natural tras pasar la onda.

Ondas longitudinales en una varilla o barra sólida

Al producir un golpe en el extremo de una varilla, se producen compresiones y depresiones en las capas materiales en las que se puede dividir la varilla, propagándose las perturbaciones en la misma dirección que la de vibración de los vectores de posición del centro de cada capa respecto de su posición de equilibrio. Es una onda longitudinal.

En la figura hay un cilindro de un material elástico que tiene un volumen V. Al aplicar una presión Δp sobre el cilindro su volumen disminuye, variando en ΔV, negativo.

Se define módulo Y o E de Young de elasticidad del material al cociente entre la variación de presión y la variación de volumen por unidad de volumen cambiado de signo.

El módulo de Young se mide en pascales (Pa).

La velocidad teórica de propagación de las ondas longitudinales en una barra elástica, puede ser una barra de acero por ejemplo, es:

Donde ρ es la densidad del material.

El módulo de Young es medido en condiciones estáticas en los materiales y las ondas producen variaciones dinámicas de volumen, por lo que es de esperar ciertas discrepancias entre los valores teóricos y los experimentales.

Además el empleo de Y supone que el material se expansiona o se contrae cuando la onda pasa por él. Pero los materiales presentan resistencia a la deformación lo que determina unas variaciones del orden del 15% respecto de los valores teóricos.

La velocidad de propagación de una onda longitudinal en el granito es del orden de 5 km/s, lo que determina que recorra una semicircunferencia terrestre en un tiempo de 1 hora

Ondas longitudinales en líquidos.

Los líquidos como los gases tienen un comportamiento elástico caracterizado por su módulo de compresibilidad K.

El denominador, ΔV/V, es la variación de volumen ΔV por unidad de volumen V del líquido al aplicarle una presión Δp. Cuando se aplica una presión Δp al volumen V, la variación de volumen del líquido es negativa, por esta causa se pone el signo menos delante de la expresión.

La velocidad de propagación es

Donde ρ es la densidad del material

Se puede observar la analogía que hay entre las dos expresiones de las velocidades de propagación de las ondas longitudinales en sólidos y en gases y líquidos.

Por la misma variación de presión Δp y el mismo volumen inicial V , un sólido experimenta mucha menos variación de volumen ΔV que un líquido y éste, menos que un gas, por lo tanto K_sólido>>K_líquido . La relación entre las densidades no es tan grande, por lo que es de esperar que v_sólido>>v_líquido. Así, sometiendo al agua a una soprepresión Δp»5,00·10⁷ N/m² , unas 500 atmósferas, la variación de volumen del agua por unidad de volumen es ΔV/V»-0,023 y K=-V. Δp/ΔV=500·10⁵/0,023»2,2·10⁹ N/m². Siendo la densidad del agua ρ=10³ kg/m³ , se obtiene:

Valor próximo al real. Para la mayoría de los líquidos la velocidad de propagación de las ondas longitudinales es del orden de 1 km/s.

Ondas longitudinales en gases

Las compresiones y expansiones que se producen en un gas son tan rápidas que no da tiempo a transmitirse el calor, por eso se dice que las ondas longitudinales en los gases son adiabáticas.

La expresión de la velocidad de propagación de las ondas longitudinales en un gas es análoga a las de un líquido y de un sólido: