Interferencias
Principio de Superposición
Dadas dos ondas que se pueden propagar en un medio independientemente,
y1=f(x-v t) e y2=g(x-v t)
se observa experimentalmente que puede propagarse la suma de las dos
y= f(x-vt) +g(x-vt)
Interferencias
Las interferencias consisten en la superposición de ondas periódicas de la misma frecuencia y emitidas en fase o con una diferencia de fase constante.
Supondremos interferencias de ondas con la misma amplitud A emitidas por dos focos puntuales, F1 y F2, y observadas en puntos cuya distancia a los focos es mucho mayor que la separación entre los mismos. Las interferencias producen vibraciones de la magnitud que se propaga que en ciertos puntos llamados antinodos, vibra con amplitud 2A y en otros, llamados nodos, la amplitud de vibración es cero.
Para producir focos de ondas con la misma fase o con diferencia de fase constante, puede interponerse a la onda una doble rendija, como se observa en la figura. Cuando una onda progresiva se encuentra con un obstáculo en el que hay unas pequeñas rendijas en los puntos F1 y F2 a través de las que puede pasar la onda, ésta se propaga a la derecha como si en dichos puntos hubiera dos focos. Por el Principio de Huygens cada punto de las rendijas se convierte en emisor de ondas secundarias progresivas.
Supongamos que un frente de ondas llega simultáneamente a una barrera con dos pequeñas rendijas F1 y F2. Los dos puntos están en fase y se convierten en puntos emisores simultáneos de ondas secundarias. Esto significa que si F1 está en el estado de perturbación y1=A/5, el punto F2 está en el estado y2=A/5 y ambos presentan la misma variación de la magnitud “y” por unidad de tiempo en ese instante. Si no estuvieran en fase o con diferencia de fase constante permanentemente, no se producirían interferencias. Si las distancias del punto P a las rendijas, r1 y r2, fueran similares, las amplitudes de las ondas diferirían poco en P. Supondremos que son iguales.
Sean las dos ondas de ecuaciones:
y1=A sen(kr1-ωt) e y2=A sen(kr2-ωt)
Para sumar las ondas utilizaremos la relación trigonométrica siguiente:
sen A + sen B = 2 sen [(A+B)/2] cos (A-B)/2]
Aplicando el Principio de Superposición de las ondas, se tiene:
ysu=y1+y2=A sen(kr1-ωt) +A sen(kr2-ωt)=
2A cos k[(r2-r1)/2] sen k[(r2+r1)/2-ωt]
o bien
ysup=2A cos (2π/λ)[(r2-r1)/2] sen (2π/λ)[(r2+r1)/2-ωt]
Se puede observar que en la superposición de las dos ondas ha desaparecido la expresión característica de las ondas que se propagan, kr-ωt, porque la semisuma de distancias a los focos no es la distancia a ningún punto fijo. El resultado es una vibración en cada uno de los puntos de superposición.
Hay determinados puntos en los que la amplitud de vibración, 2A cos k[(r2-r1)/2], es máxima e igual a 2A. Esos puntos se denominan máximos de interferencia o antinodos. Análogamente hay puntos en los que la amplitud de vibración es cero,
2A cos k[(r2-r1)/2] =0
Dichos puntos son los mínimos de interferencia o nodos.
Distribución de los máximos de interferencia
cos k[(r2-r1)/2] =±1
luego k[(r2-r1)/2] =nλ
dado que k=2π/λ se obtiene que
Іr2-r1ІPARA LOS MÁXIMOS=nλ
Distribución de los mínimos de interferencia
cos k[(r2-r1)/2] =0
luego k[(r2-r1)/2] =(2n+1)λ/2
Іr2-r1ІPARA LOS MÍNIMOS=(2n+1)λ/2
Una expresión para r2-r1 cuando el punto R esté próximo a la mediatriz del segmento PQ.
Un esquema habitual de interferencias es el que se muestra en la figura. Una onda incide por la izquierda sobre un obstáculo con dos rendijas. Los puntos P y Q se convierten en emisores de ondas que se superponen en la pantalla de la derecha. Si PQ=a es mucho menor que D y x es pequeña, siendo el segmento PS perpendicular al QS, se tendrá que
QR-PR ≈ QS = a sen θ ≈ a tgθ = a x/D
Por lo tanto
r2-r1= ax/D
Coordenadas de los máximos de interferencia:
a·xMÁXIMOS/D=nλ
xMÁXIMOS= nλD/a
Coordenadas de los mínimos de interferencia:
a·xMÍNIMOS/D=(2n+1) λ/2
xMÍNIMOS= (2n+1) λD/(2a)
Aplicaciones
1. Dos pequeños altavoces A y B están situados sobre el eje x en los puntos de coordenadas x1=0 m y x2=1,000 m y emiten sonido en fase con una frecuencia de 640,0 Hz. La velocidad del sonido en el aire es 340,0 m·s-1. La amplitud de presión del sonido emitido por cada altavoz es Dpo=5,000 Pa. a) En qué puntos entre los altavoces se tendrán interferencias destructivas?. b) ¿En qué puntos entre los altavoces la amplitud de presión será Δp=7,070 Pa?
Solución
a) v=λf ; 340=λ·680 ; λ=340/680=0,50 m
Para que haya interferencias destructivas, la diferencia de distancias a los focos ha de ser λ/2, 3λ/2, λ/2,....
Si x-(1-x)=λ/2 =0,25 Þ x=0,625 m de un foco y
1-0,625=0,375 m del otro
Si x-(1-x)=3λ/2 =0,75 Þ x= 0,875 m de un foco y
1-0,875=0,125 m del otro foco.
b)Δp1=5,00·sen(kr1-ωt); Δp2=5,00·sen(kr2-ωt);
Δp=Δp1+Δp2=10·cos k[(r2-r1)/2] sen k[(r2+r1)/2-ωt]
Δpmax=10·cos[2π/0,50 ·(r1-r2)/2]=7,07 ;
cos[2π(r1-r2)]=0,707 Þ 2π(r1-r2)=p/4 ; r1-r2 =1/8 y
r1+r2 =1 ; r1=0,5625 m y r2=0,4375 m.
2. Dos antenas emisoras de ondas electromagnéticas emiten con longitudes de onda comprendidas entre 200 m y 600 m en una ciudad lineal. ¿A qué distancia máxima han de situarse las emisoras para que no se produzcan interferencias en puntos de la ciudad entre las emisoras?
Solución
En la imagen se representan los dos focos emisores, E1 y E2, separados por una distancia d y un punto P entre ambos, a una distancia d-x del foco izquierdo y a una distancia x del derecho.
Para que haya una interferencia destructiva en P se tiene que cumplir la condición:
Іx-(d-x)І=λ/2
Para que no haya interferencia destructiva en P se cumplirá la condición:
Іx-(d-x)І<λ/2
De donde
І2x-d)І<λ/2
Si 2x-d < λ/2 ; 2x-λ/2 < d ; donde 0 ≤ x ≤
Sólo cuando x=d la ecuación anterior tiene una solución con sentido físico. Entonces
2d-λ/2 < d : d < λ/2
Si d-2x < λ/2, sólo cuando x=0 tiene sentido físico,
luego d < λ/2
La distancia d entre las antenas deberá ser
d< λmin/2 =200/2 =100 m
3. Una onda electromagnética plana de longitud de onda λ=700 nm incide perpendicularmente sobre una barrera plana que tiene dos ranuras estrechas separadas una distancia de a=1300 nm. Se coloca una pantalla plana a una distancia D=3,00 m de la barrera y paralela a la misma. Calcula la distancia desde el punto medio de la franja central brillante hasta el punto medio de la siguiente franja brillante.
a sen θ1er máx lat =λ ; sen θ1er máx lat =λ/a
θ1er máx lat =arc sen(λ/a)
tg θ= y/D
y=D tg(arc sen λ/a)=3,00·tg(arc sen 700/1300)=1,92 m