Lentes delgadas

Una lente está formada por dos dioptrios que separan dos medios de índices de refracción que pueden ser diferentes, aunque normalmente están inmersos en aire, de índice de refracción n=1.

Una lente delgada es aquella en la que su anchura es despreciable respecto de las magnitudes lineales que intervienen en los cálculos.

El cálculo de la posición de la imagen dada por una lente, puede hacerse mediante el cálculo sucesivo de las imágenes producidas por cada dioptrio mediante el invariante de Abbe.

La imagen producida por el primer dioptrio es el objeto para el segundo.
Si la lente está en el aire, los índices de refracción para el primer dioptrio son 1 y n y para el segundo, n y 1.
El radio de curvatura del primer dioptrio será R₁ y el del segundo, R₂.
La distancia objeto al primer dioptro, s₁,será la distancia del objeto a la lente: s=s₁. La distancia imagen en el primer dioptrio será igual a la distancia objeto al segundo dioptrio: s₁'=s₂. La distancia imagen en el segundo dioptrio será la distancia imagen a la lente: s'=s₂'.

Si los dioptrios son esféricos, de radios de curvatura R₁ y R₂ y los rayos son paraxiales , las ecuaciones para cada uno de los dioptrios son:

Ecuación para el primer dioptrio

Ecuación para el segundo dioptrio

que es la ecuación para las lentes delgadas.

que es la ecuación para las lentes delgadas

Distancia focal imagen f'

El inverso de la distancia focal imagen f' es:

Puede demostrarse sencillamente que f = -f'

Con esta expresión para la distancia focal imagen, la ecuación para las lentes delgadas es:

Potencia P de una lente es la inversa de la distancia focal imagen expresada en metros. La potencia se mide en dioptrías expresando la distancia focal en metros.

P=1/f '

Tipos de lentes

Si f '>0 , la lente es convergente ; si f ' <0 , la lente es divergente

Ejemplo: tipos de lentes con radios de 10 cm y 20 cm e índice de refracción=1,33

Son lentes convergentes el menisco convergente, las biconvexas y las plano convexas. Son lentes divergentes el menisco divergente, las bicóncavas y las plano cóncavas.

Símbolos gráficos de las lentes convergentes y divergentes y marcha de los rayos a través de las mismas.

Marcha de los rayos: un rayo paralelo al eje óptico se refracta en la lente y pasa por el foco imagen F'. Un rayo oblícuo que pase por el foco objeto F, se refracta en la lente y sale paralelo. Si ambos rayos parten del extremo B del objeto, se cortarán en el extremo B' de la imagen, que es real porque se forma por el corte de los rayos.

Marcha de los rayos: un rayo que parta de B y sea paralelo al eje óptico, se refracta en la lente y pasa por el foco imagen F'. Un rayo que salga de B hacia la lente y cuya prolongación pase por el foco objeto, se refracta en la lente y sale paralelo al eje óptico. En la intersección de la prolongación de los rayos refractados está el punto imagen B' del punto B.

La imagen es virtual porque se forma por la prolongación de los rayos.

Macha de los rayos: un rayo que parta del punto B del objeto y que sea paralelo al eje óptico, su prolongación pasará por el foco imagen F'. Un rayo que parta de B y se oriente hacia el foco objeto, se refracta en la lente y saldrá paralelo al eje óptico. La intersección de las prolongaciones de los rayos que salen, determina la posición del punto imagen B' del punto B. La imagen es virtual.

Marcha de rayos: un rayo paralelo al eje óptico, se refracta en la lente y sale de modo que su prolongación pasa por el foco imagen F'. Un rayo que incide en la lente y cuya prolongación pasa por el foco objeto, se refracta en la lente y sale paralelo al eje óptico. Las prolongaciones de los rayos incidentes se forman en el punto B del objeto que, en este caso, es virtual. Los rayos salientes se cortan en el punto B', que es el punto imagen de B.

Aumento lateral de una lente delgada

Para obtener sencillamente el aumento lateral de una lente delgada se puede recurrir al hecho de que un rayo que pase por el centro de la lente no se desvía. Por lo tanto los dos triángulos de la figura son semejantes y

Para obtener la imagen en un sistema de dos lentes delgadas, se puede hallar la imagen y su tamaño para la primera lente aplicando la ecuación de las lentes delgadas y el aumento lateral. Se calcula a continuación la distancia a la segunda lente y se vuelve a aplicar la ecuación de las lentes y el aumento angular.

Aplicaciones

Lente convergente

1) Se desea proyectar sobre una pantalla la imagen de una diapositiva empleando una lente delgada convergente de focal f’ = 5,0 cm de forma que la imagen se proyecte invertida y con un tamaño 30 veces mayor que el de la diapositiva.

a) Calcula las distancias diapositiva-lente y lente-pantalla.

b) Dibuja un trazado de rayos que explique gráficamente este proceso de formación de la imagen.

a) El trazado de un rayo que pase por el centro óptico ayuda a reconstruir la ecuación del aumento lateral de la imagen. Por otra parte hay que recordar la ecuación de las lentes delgadas.

Siendo y’/y=-30 porque la imagen se proyecta invertida e y’ sería negativa. Además f’=+5,0

Luego

Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene que s=-31·5/30=-5,2 cm y

s’=-30·(-5,2)=156 cm

b) a) En la imagen se muestra la lente convergente de un proyector de dispositivas, las posiciones de los focos objeto e imagen, la diapositiva y su imagen en la pantalla.

Lente divergente

2) Determine la posición y tamaño de la imagen de un objeto de 1,0 cm de altura cuando se coloca a 1,0 m de una lente de potencia -2,0 dioptrías. Compruebe gráficamente sus resultados mediante un trazado de rayos.

La potencia de una lente es la inversa de la distancia focal expresada en metros y se mide en dioptrías