Oscilación forzada de una cuerda tensa

Supongamos que se tiene una cuerda elástica ligera uniforme y horizontal que pasa a través de una polea. Del extremo de la cuerda que se pasa por la polea se cuelga una masa M. El otro extremo se somete a vibraciones transversales sinusoidales de pequeña amplitud. ¿Cómo responderá la cuerda desde el instante inicial de la perturbación

Si en la elaboración de la ecuación diferencial de las ondas utilizan las siguientes hipótesis:

• Las ondas en la cuerda han de ser suaves, de manera que las pendientes de la cuerda en de cada uno de los puntos sean aproximadamente iguales a los ángulos de las rectas tangentes a la cuerda con la recta soporte de la cuerda en equilibrio.

• No hay disipación de energía por rozamiento con el aire. La cuerda es homogénea.

La ecuación diferencial de las ondas que se propagan en la cuerda es:

Esta ecuación diferencial se va a resolver por el procedimiento de las diferencias finitas. Para ello se establece una malla rectangular espacio temporal con las dimensiones del retículo unidad:

Δx y Δt

Siendo las coordenadas de los vértices de este retículo:

x_i=iΔx y t_i=jΔt (i=0,1,…,n; j=0,1,….m)

La cuerda tiene una longitud L, por lo tanto

nΔx=L ; Δx=L/n

Si se selecciona L=1,00 m y n=50, se obtiene Δx=0,020 m.

El intervalo de tiempo hay que tomarlo pequeño, por ejemplo Δt=0,002 s.

Las elecciones de Δx y Δt han de dar estabilidad a la solución numérica, de manera que si se seleccionan valores próximos Δx₁ y Δt₁ a otros dados Δx₂ y Δt₂, los valores u(x,t) de la perturbación han de ser muy próximos a los anteriores.

Llamaremos

u_i^j=u(iΔx, jΔt)

La discretización de las derivadas parciales conduce las siguientes ecuaciones

El esquema del procedimiento de las diferencias finitas es:

Condiciones iniciales y de contorno

Condiciones iniciales:

La cuerda tiene u(x,0)=0 para 0 ≤ x ≤L

Además se va a someter sólo al punto x=0 a la oscilación transversal

Por lo tanto

Dado que lo onda no se ha podido transmitir a puntos con x>0.

Condiciones de contorno

Concreción de las condiciones iniciales y de contorno para el procedimiento de las diferencias finitas.

En la transformación de las variables continuas x y t a las variables discretas

Para iniciar el procedimiento de las diferencias finitas es necesario conocer los valores de la función de onda en dos instantes consecutivos, asociados a los valores j=0 y j=1.

Se conocen los valores u_i⁰ para j=0. Para hallar lo valores u_i¹, para j=1, se puede aplicar el siguiente razonamiento:

La vibración producida en el extremo de la cuerda es u(0,t)=B·seno(ωt). Esta vibración se transmite por la cuerda y hasta el instante t=L/V en el que la onda llega al extremo fijo, la ecuación de la onda es:

En t=Δt y x=Δx:

Si la onda ha tenido tiempo de avanzar la distancia Δx.

Para V=7,454 m/s, B=0,005 m, Δt=0,002 s la onda ha avanzado

V·Δt=7,454·0,002=0,0149 m <Δx=0,020 m

Luego u(Δx,Δt)=u₁¹=0 ; u(iΔx, Δt)=u_i¹=0

El esquema de los valores iniciales de u_i^j, i/j, es el siguiente:

El cuadro adjunto muestra esquemáticamente los valores de arranque u(i,j) del cálculo numérico de las oscilaciones forzadas en una cuerda tensa. El contenido entre paréntesis de los valores u_i¹ , cuya función se representa en la parte superior izquierda del cuadro, ha de ser positivo o cero. De no ser positivo o cero se tendría que cambiar su valor a cero.

Se ha realizado una simulación en Visual Basic de las oscilaciones forzadas en una cuerda tensa, sometiendo el extremo libre a un movimiento armónico transversal con una frecuencia seleccionable.

Cuando la frecuencia de la oscilación forzada es intermedia entre dos frecuencias consecutivas naturales de oscilación de la cuerda, el comportamiento de la cuerda es extraño.

En la simulación las frecuencias naturales de oscilación de la cuerda son

fn = 3,727·n (Hz)

Para valores n=3 y n=4, las frecuancias naturales de oscilación son:

f3=11,18 Hz y f4=14,91 Hz

Para la frecuencia f=13,06 Hz de la oscilación forzada, el comportamiento de la cuerda se muestra en el siguiente clip:

Para la frecuencia f=11,19 Hz de la oscilación forzada, muy próximo una de las frecuencias naturales de oscilación de la cuerda, el comportamiento de la misma se muestra en el siguiente clip: