Deducción de las distintas ecuaciones de ondas

Ecuación diferencial de una onda transversal en una cuerda tensa

En la figura se representa un elemento infinitesimal de longitud de una cuerda elástica sometida a una tensión T por el que pasa una onda transversal suave. El elemento de cuerda tiene una longitud inicial dx y masa dm, deformándose al paso de la onda.

En este desarrollo la variable y depende de las variables x y t, de manera que cuando se calcule la derivada de y respecto de t en un punto de coordenada x, lo simbolizaremos

Y cuando se calcule la derivada de y respecto de x en un instante t, lo simbolizaremos

Aplicando la Ley de Newton al elemento de cuerda, se tiene:

Para una onda transversal suave se cumple que

Reconociendo la velocidad de propagación de las ondas transversales en una cuerda

Deducción de la ecución diferencial de las ondas de presión en un gas

Supongamos una masa de gas encerrada en un tubo de sección A. Sean d_o, p_o y T_o los valores de la densidad, presión y temperatura del gas. Un émbolo cierra el tubo por la izquierda y se desplaza bruscamente hacia la derecha. Un elemento de volumen del gas de coordenada x₁ y anchura dx pasará a tener coordenada x₁+Ψ y anchura dx+dΨ, siendo d y p las nuevas magnitudes de densidad y presión.

Dado que se mantiene constante la masa de gas, se cumplirá:

Se supone que las perturbaciones son suaves, de manera que la variación de anchura dΨ de la capa de gas de anchura inicial dx es pequeña respecto de ésta.

El proceso de la propagación de la perturbación en el gas producido por el desplazamiento del émbolo es rápido, no teniendo tiempo de propagarse calor a través del mismo, luego el proceso es adiabático. Suponiendo que es un gas ideal se cumple que:

La variación infinitesimal dp de la presión entre ambas caras de la capa de gas es:

La fuerza neta experimentada por la capa será:

Aplicando la Segunda Ley de Newton a la capa de gas, se tiene:

Arreglando esta expresión se obtiene la ecuación de las ondas que no se deforman.

De la ecuación anterior se deduce que la velocidad de las ondas de presión en un gas es:

Deducción de la ecuación diferencial de las ondas longitudinales en una varilla

En la imagen se muestra un elemento de longitud Δx de una varilla elástica, de coordenada x y densidad d, sometido por la izquierda a una fuerza F(x) y por la derecha a una fuerza F(x+Δx).

Si a una varilla de sección A se le somete a una fuerza F longitudinalmente, un elemento de longitud Δx sufre una deformación ΔΨ.

El módulo de Young de la varilla es:

La unidad del módulo de Young en el S.I. es el Pa.

De la expresión anterior se deduce que:

La fuerza neta que experimentará un elemento de longitud dx será:

dF=F(x+dx)-F(x)

La segunda ley de Newton del movimiento del elemento dx es: