Ondas

Una onda es la propagación de la perturbación de las variaciones de una magnitud física.

Si la onda es de corta duración recibe el nombre de pulso.

Hay ondas que no requieren un medio material para su propagación, como las ondas electromagnéticas, producidas por oscilaciones de cargas eléctricas que producen campos eléctricos y magnéticos que se propagan, o las gravitacionales, producidas por cuerpos masivos acelerados, como estrellas binarias que giran rápidamente alrededor de su centro y que se propagan en el vacío. Hay otras especies de ondas que requieren un medio para su propagación, como el sonido que se propaga en gases, líquidos y sólidos; las ondas producidas en el agua cuando se deja caer un objeto o se produce un impulso por el aire; las ondas sísmicas que se propagan en los terremotos o en las explosiones subterráneas, etc.

Si se considera en una onda la propagación de una magnitud escalar en el espacio, como la variación de presión de un gas o del aire en el sonido, se trata de una onda escalar aunque este término no es muy usado. Si se considera la propagación de las perturbaciones de una magnitud vectorial que se propaga, se trata de una onda vectorial.

Las ondas vectoriales pueden ser longitudinales, transversales o de otros tipos.

Una onda vectorial longitudinal es aquella en la que la magnitud vectorial que vibra y se propaga lo hace paralelamente a la dirección de propagación de la onda.

La imagen dinámca anterior es una simulación de una onda longitudinal. Supongamos que es una onda de presión en el aire. En la imagen se señalan con sendas flechas los extremos de dos capas de aire, que se comprimen y se dilatan al paso de la perturbación. Las capas del aire oscilan en la misma dirección que la de propagación de la onda. Si se considera el vector de posición del centro de cada capa, éste oscila paralelamente a la dirección de propagación de la onda. Se trata de una onda longitudinal.

Una onda vectorial transversal es aquella en la que la magnitud vectorial que vibra y se propaga lo hace perpendicularmente a la dirección de propagación.

Si se dispone de una cuerda elástica tensa, como se muestra en la siguiente figura, y se hace oscilar perpendicularmente el extremo de la cuerda respecto de la dirección de la misma, se producen vibraciones de los puntos de la cuerda perpendiculares a la dirección de propagación.

En la primera de las imágenes siguientes, instante t, el pulso llega a un punto marcado en rojo en la cuerda, teniendo ya un desplazamiento vertical hacia arriba.

Las ondas superficiales en el agua no son transversales ni longitudinales. Los movimientos de las partículas del agua pueden ser circulares o elípticos, cambiando los radios de las circunferencias o los semiejes de las elipses con la profundidad. En aguas poco profundas (h<λ/2), las trayectorias son circulares disminuyendo el radio fuertemente con la profundidad y no habiendo desplazamiento en el fondo. En aguas profundas (h>>λ) las trayectorias son elipses en planos verticales, disminuyendo el eje menor de las elipses con la profundidad, de manera que en el fondo el eje menor es nulo.

En la segunda imagen, en el instante t+Δt, el punto rojo ha pasado ya por su máximo desplazamiento vertical mientras el pulso se desplaza horizontalmente. En el instante t+2Δt el pulso ya ha sobrepasado el punto rojo. La onda producida en la cuerda elástica es una onda transversal.

La cuerda tiene que ser elástica porque tras haber pasado el pulso por un pequeño tramo de longitud de la cuerda, en donde la cuerda aumenta ligeramente en longitud, ésta vuelve a su posición horizontal, disminuyendo su longitud a la inicial.

En relación con la ondas sonoras emitidas por un foco con una potencia P=0,80 W y frecuencia f=600 Hz, en el aire de densidad d=1,29 kg/m³, se dan a continuación algunos valores de magnitudes a una distancia r=1,5 m del foco. La amplitud de la onda escalar de presión es Δp_max=5,0 Pa frente al valor típico de la presión atmosférica P_atm≈1,0·10⁵ Pa. La amplitud de la onda vectorial longitudinal de desplazamiento de las capas de aire de A=3,0·10^{-6 m = 3,0} μm, que es muy pequeña frente a la longitud de onda λ=0,567 m.

Las ondas en el agua pueden aparentar ser ondas transversales, pero es una superposición de ondas longitudinales y transversales. Para ondas en el agua con profundidad mayor que la longitud de onda, un pequeño objeto flotando en el agua tendría un movimiento circular en un plano vertical al paso de una onda.

En la siguiente imagen se representan las trayectorias de gotas, en color azul, superficiales y profundas de un líquido al paso de una onda. Las gotas superficiales tienen movimientos circulares. Conforme aumenta la profundidad las trayectorias son elipses más achatadas. En color rojo se representan los centros de las circunferencias y elipses.

Estas ondas superficiales en líquidos no son ni transversales ni longitudinales.

Ecuación general de una onda que se propaga en una dirección sin deformarse

En la figura adjunta se tiene una onda de corta duración que se propaga sin deformarse con velocidad v hacia la derecha. En el sistema de referencia (x’,y’) que acompaña a la onda, la función de la misma es

y’=f(x’)

El sistema de referencia (x’y’) se mueve con la velocidad v de la onda hacia la derecha respecto del sistema de referencia (x,y). En el instante t el eje y’ se habrá desplazado una distancia vt hacia la derecha,

La relación entre las coordenadas x y x’ de un punto del perfil de la onda es:

x’=x-vt

Además los valores de la perturbación en ambos sistemas son iguales

y’=y

Por lo tanto y=f(x-vt)

Si una onda progresiva se propaga en la dirección del eje x y en sentido positivo sin deformarse, es función de la variable x-vt.

Si la onda se propagase en sentido negativo del eje x, sería función de la variable x+vt.

Ejemplo: una onda de corta duración que tuviese una forma análoga a la de la figura, podría tener como ecuación en el instante t=0 la siguiente:

¿Qué función tendrá la onda en el instante t si se propaga con velocidad v=4 m/s en sentido positivo del eje x?

Según se ha analizado previamente, para escribir la ecuación de la onda basta con sustituir la variable x por la variable x-4t, luego la ecuación de la onda será:

Sin embargo la ecuación de onda

No es sólo función de la variable x-4t y puede representar a una onda de un pulso cuyo valor máximo va disminuyendo conforme transcurre el tiempo, es una onda atenuada.

Aplicación 1:

Una onda tiene por ecuación

y=0,020sen (2px/5) (m)

en el instante t= 0 y se propaga en sentido positivo del eje x con velocidad v=20 m/s. ¿Cuál es su ecuación en cualquier instante?

Habrá que sustituir la variable x por la variable x-20.t en la ecuación de la onda, luego ésta será:

y=0,020sen [2p(x-20t)/5)]

Aplicación 2:

¿Cuál será la velocidad de la onda siguiente y=0,05cos[2px/9-p t /4+p/3]

Ahora está enmascarada la variable x-vt, pero extrayendo factor común 2p/9 de los términos que contienen las variables x y t , se podrá ver cuál es el factor del tiempo y dicho factor será la velocidad.

y=0,05cos[2p/9(x-9 t /8)+p/3] , la velocidad es 9/8 y la onda se propaga en sentido positivo.

Propiedad de las ondas que se propagan sin deformarse. Ecuación diferencial de las ondas

Esta propiedad recibe el nombre de ecuación diferencial de las ondas que se propagan en el eje x.

Si las perturbaciones Ψ de una magnitud física que se propagan cumplen la ecuación

Donde C es una constante, la velocidad de la onda es

Principio de superposición de las ondas

Esta ecuación está de acuerdo con un principio observado en las ondas, el Principio de superposición de las ondas que establece que si dos ondas se pueden propagar por separado en un medio, también se puede propagar cualquier combinación lineal de las mismas.

Si y₁=ψ₁(x+vt) e y₂=ψ₂(x+vt) son dos ondas que se pueden propagar independientemente en un medio o en el vacío, en su caso; siendo v positiva o negativa independientemente en cada función, también se puede propagar cualquier onda que sea combinación lineal de ambas.

y_s= a ψ₁(x+vt)+b ψ₂(x+vt)