Movimiento armónico simple

Movimiento armónico simple es el movimiento de un objeto en una recta y que tiene por ecuación la siguiente o una equivalente:

x=A cos(ωt+φo)

El movimiento armónico simple se puede interpretar como la proyección de un movimiento circular uniforme sobre uno de sus diámetros, como se puede observar en la figura adjunta.

En la siguiente imagen el círculo rojo realiza un movimiento circular uniforme. El círculo azul se mueve en la proyección sobre un diámetro del movimiento del círculo rojo, realizando un movimiento armónico simple.

¿Qué magnitudes caracterizan el movimiento vibratorio armónico simple y qué relación hay entre algunas de ellas?

     En la siguiente figura el punto P realiza un movimiento circular uniforme de radio A, periodo T, velocidad angular ω=2π/T y ángulo inicial φo entre el radio y el eje x.

  El punto B realiza movimiento armónico simple en donde  A es la amplitud, ω es la frecuencia angular, T es el periodo, φo   es la fase inicial y "x" la elongación.

 La magnitud x es la elongación y la magnitud A es la amplitud, ambas se miden en metros en el S.I. La magnitud ω recibe el nombre de frecuencia angular y se mide en rad/s.

Las magnitudes ωt+φo y φo reciben el nombre de fase y fase inicial respectivamente  y se miden en radianes.

El tiempo T que tarda el objeto en realizar una oscilación recibe el nombre de periodo y la unidad en el S.I. es el segundo. El periodo es también el tiempo mínimo que transcurre entre dos estados idénticos de movimiento, dados por la elongación y velocidad. Esta definición alternativa y equivalente a la anterior, permite determinar el periodo en una gráfica.  

 La frecuencia f de un movimiento armónico simple es el número de oscilaciones por segundo, f=1/T. La unidad en el S.I. es el hercio (Hz).

 La frecuencia angular ω del movimiento armónico simple coincide con la velocidad angular del movimiento circular  del que es proyección, luego la relación entre la frecuencia angular, el periodo y la frecuencia es:

                                                                                            ω=2π/T=2πf

        La frecuencia angular se mide en rad/s.

         Otra forma de definir el periodo T es el tiempo que tiene que pasar a partir de un instante t para que la fase aumente en 2π radianes.

         En efecto:  

 ω(t+T)+φo=ωt+φo+2π

         De donde                                                                                        

                                                                                                        ωT=2π ;  T=2π/ω

       Las ecuaciones de la velocidad y de la aceleración en función del tiempo son:

Dado que la elongación en función del tiempo tiene por expresión x=A cos(ωt+φo), la aceleración se puede expresar en función de la elongación en la forma:

  a=-ω2x

Esta relación es muy importante porque si un objeto de masa que se mueve sobre el eje x está sometido a una sola fuerza de expresión F=-kx, aplicando la segunda ley de Newton, se tendrá:

-kx=ma

La aceleración del objeto tendrá por expresión

                                                                                                          a=-(k/m)x

que se puede identificar como la aceleración de un movimiento armónico simple, orientada siempre hacia el centro de la oscilación.

La ecuación anterior se puede escribir en la forma:

Por lo tanto:

Luego un cuerpo sometido a una fuerza F=-kx y que se mueva en el eje x, tiene una ecuación de movimiento:

Eligiendo un instante adecuado para el análisis de un movimiento vibratorio armónico simple (mvas)  puede cancelarse la fase inicial. Consideremos un mvas con fase inicial nula y de ecuación:

Este es el caso de una partícula que se mueve sobre una superficie horizontal y sin rozamiento sujeta al extremo de un muelle, cuyo otro extremo está fijo a la pared.

Gráficas del movimiento armónico simple

Considerando un movimiento armónico simple con fase inicial

x=A seno (ωt+φo)

 la gráfica de la elongación en función del tiempo es:

En esta gráfica se puede observar que el máximo valor de la elongación x es 0,04 m, luego la amplitud del movimiento armónico simple será A=0,04 m. Puede observarse que el tiempo mínimo que transcurre entre dos puntos con el mismo estado de movimiento (0,00 s; 0,02 m) y (0,40 s; 0,02 m) es de 0,40 s, luego el periodo es T=0,40 s y la frecuencia angular

                                                                                         ω=2π/T=2π/0,40=5π rad/s

En el instante t=0 la elongación es x=0,02 m y la velocidad, la pendiente de la gráfica x-t, es positiva luego

                                                                                              0,02=0,04· seno(φo)  

                                                                                     seno(φo)=0,50 ; ·φo=π/6 rad

         La ecuación del movimiento armónico simple representado es:

                                                                                       x=0,04·seno(5πt+π/6)  (m)

         La expresión de la velocidad en función del tiempo será

                                                                               v= dx/dt = 5π·0,04·cos(5πt+π/6) (m/s)

         La gráfica de la velocidad en función del tiempo es la siguiente:

Puede observarse comparando esta gráfica con la de la elongación, que la velocidad es máxima en los instantes en los que la elongación es nula y que la velocidad es nula en los puntos en donde la elongación tiene sus valores extremos.

         La expresión de la aceleración en función del tiempo es:

a= dv/dt =-(5π)20,04·seno(5πt+π/6) (m/s2)

         La gráfica de la aceleración en función del tiempo es:

La expresión de la aceleración puede escribirse en la forma

                                                                 a=dv/dt =(5π)20,04·seno(5πt+π/6+π) (m/s2)

         Si se comparan las expresiones de la elongación y de la aceleración, puede observarse que la aceleración tiene un adelanto de fase respecto de la elongación.

Aplicaciones

Movimiento de una partícula suspendida en el extremo de un muelle

En imagen se muestra un muelle ligero, de comportamiento lineal y de constante recuperadora k suspendido de un punto. En la segunda imagen se ha puesto una pequeña esfera de masa m en su extremo y en la tercera, se ha dejado llevar la masa a su posición de equilibrio bajo la acción de la fuerza del peso y la fuerza recuperadora del muelle.

En equilibrio se cumple:

mg-kxeq=0

xeq=mg/k

 Se desplaza hacia abajo la masa m una distancia x mayor que la del equilibrio y se libera en reposo. La partícula comenzará a oscilar. La Segunda ley de Newton para la masa m será:

mg – kx =ma

Si se establece un nuevo eje de coordenadas "y" orientado hacia abajo y cuyo origen esté en el punto de equilibrio de la masa m, la relación entre las variables x e y además de la ecuación de movimiento serán:

Despejando la aceleración, se tiene:

La partícula tendrá un movimiento armónico simple cuya frecuencia angular, ω, al cuadrado será:

La solución de la ecuación de movimiento será:

Movimiento del péndulo simple.

En la resolución de problemas de física es muy importante establecer sistemas de referencia adecuados. Para el análisis del movimiento de un péndulo conviene establecer un sistema de coordenadas curvo, sobre el trayecto de la partícula que oscila, con el origen de coordenadas en el punto de equilibrio y con sentido positivo el que marca el sentido positivo de medida del ángulo.

La relación entre el arco, s, el ángulo, θ, y el radio, L,  es:

s = θ L

Las fuerzas que actúan sobre la partícula del péndulo son el peso, mg, y la tensión,T, con la que tira el hilo inextensible.

Las fuerzas que actúan en la dirección radial producen la aceleración normal de la partícula. Considerando sentido positivo en la dirección radial hacia el centro de la circunferencia, en el sentido de la aceleración normal,  la "suma" de la tensión y de la componente del peso en la dirección radial, que es negativa, es igual a la masa por la aceleración normal de la partícula.

T – mg cosθ =m v2/L

Sin embargo la información que proporciona esta ecuación no es la adecuada para determinar la posición angular del péndulo en función del tiempo. Vamos a seguir enfocando la atención en las fuerzas tangenciales que actúan sobre la partícula. El peso aporta su componente tangencial. La tensión, al ser radial, no tiene componente en la dirección tangencial.

 La componente del peso en la dirección tangencial a la trayectoria es:

-mg seno θ

Para pequeños ángulos de desplazamiento se puede realizar la aproximación

seno θ ≈ θ

La segunda ley de Newton para la partícula es

-mg seno θ = m d2s/dt2

-mg  θ = m d2s/dt2

-mg  s/L = m d2s/dt2

-(g/L) s = d2s/dt2

La relación entre la aceleración y la coordenada espacial, s,  es la misma que en el movimiento armónico simple. El factor g/L se puede reconocer que es el cuadrado de la frecuencia angular de la oscilación,  luego la solución de la ecuación anterior es:

La partícula realizará un movimiento oscilatorio de ecuación idéntica a la del movimiento vibratorio armónico simple.

La frecuencia angular y el periodo de las oscilaciones serán:

Determinación de la gravedad por medio de un péndulo simple

Despejando la gravedad g, se obtiene una expresión de ésta en función de la longitud del péndulo y del periodo

g=4π2L/T2.

     Esta relación nos puede sugerir calcular la gravedad a partir de la longitud del péndulo y del periodo T del mismo, pero hay que tener en cuenta la incertidumbre que ha de acompañar a g que depende de las incertidumbres en las medidas de L y T.

     Para determinar la incertidumbre Δg  de g , a partir de las incertidumbres de L, ΔL, y de T, ΔT; se puede realizar el siguiente proceso, aunque la incertidumbre calculada es mayor que la que proporciona el cálculo estadístico.

Se aplican logaritmos neperianos y se diferencian después  ambos miembros de la expresión de la gravedad g en función de la longitud L del péndulo y del periodo T

El paso a la relación entre incertidumbres es:

Si se supone que ΔL=0, entonces Δg=(2g/T)ΔT

Ejemplo

El tiempo de 10 oscilaciones de un péndulo de longitud L=1,00 m es de 20,2 s. Calcula la incertidumbre en el periodo del péndulo y la estimación de la gravedad con su incertidumbre. Supondremos que la incertidumbre en el tiempo de medida de un observador experimentado es de Δt=0,2 s.

         En este caso 10T=t . T=t/20=20,2/10=2,02 s

La gravedad es   g=4π2L/T2=4π2·1,00/2,022=9,68 ms-2

        Incrementando ambos miembros de la expresión 10T=t se tiene: 10ΔT=Δt ; luego la incertidumbre del periodo es

ΔT=Δt/10=0,2/10=0,02 s

La expresión de la gravedad es  g=(9,68 ± 0,19) m s-2

Se puede observar que en la incertidumbre de 0,19 m s-2,  se han utilizado dos cifras diferentes de cero dado que la primera es 1.

El análisis estadístico conduce a una expresión que se puede relacionar con la anterior:

Esta es la expresión que habría que utilizar para la incertidumbre de g si se considerasen las incertidumbres de L y de T.

Una forma más adecuada para calcular la gravedad es:

•  Utilizar la expresión

T=(2π/g1/2)L1/2

• Medir los periodos, T, de 10 oscilaciones para n péndulos de diferentes longitudes, L, para las que la incertidumbre en la medida de la longitud sea pequeña respecto de la longitud.

• Representar en una gráfica el periodo T frente a L1/2 de los n pares de valores de las medidas.

• Trazar la recta que más se aproxime a dichos puntos que no tiene por qué pasar por el origen de coordenadas.

• Hallar numéricamente la pendiente.

• Calcular g a partir de la expresión de la pendiente 2π/g1/2

• Trazar las rectas de máxima y mínima pendiente que basculando en el centro del segmento de recta anterior, deje por debajo y por encima la mitad de los puntos aproximadamente.

• Calcular gmax y gmin a partir de dichas pendientes y determinar la incertidumbre de la pendiente

Δg=(gmax-gmin)/2

•  Aplicar la regla de selección de las cifras significativas para acotar las cifras decimales de la incertidumbre y de la gravedad.

Movimiento oscilatorio de un densímetro

Un densímetro es un instrumento que sirve para medir la densidad de un líquido. Sin un densímetro se pone con cuidado en un líquido en el que flota, el nivel del líquido marca en la parte estrecha del tubo del densímetro una posición sobre una escala en la que se puede leer la densidad del líquido cuando se alcance el equilibrio.

Si el densímetro no se pone en el punto de equilibrio, se producen oscilaciones armónicas.

En las dos imágenes siguientes se muestras un densímetro en equilibrio flotando en un líquido de densidad d en la primera y el densímetro en posición más baja respecto de su posición de equilibrio.

Supongamos un eje Ox orientado hacia abajo con origen en la superficie del líquido. En la primera figura el densímetro está en equilibrio. La masa del densímetro es m, la densidad del líquido es d, el volumen del densímetro sumergido es Vo y la gravedad es g. La superficie transversal del tubo superior es S. Se va a determinar la ecuación de movimiento del centro de gravedad del densímetro.

En equilibrio se tiene la ecuación:

P – E = 0

m g - d Vo g=0

Cuando el volumen V del tubo sumergido sea mayor que Vo, la segunda ley de Newton para el tubo será:

mg – d Vg =m d2x/dt2

Donde V=Vo+Sx, luego:

Esta ecuación es análoga a la de un movimiento armónico simple

                                                                                           a=-ω2x

El tubo oscilará con un movimiento vibratorio armónico simple de frecuencia angular y periodo:

Movimiento oscilatorio de un barco

El fondo de un barco es aproximadamente plano, de sección S, y los costados son prácticamente verticales. La parte sumergida tiene una altura, calado, H. La densidad del agua en la que flota el barco es d. Se puede calcular  la masa m del barco en función del calado H.

Las fuerzas que actúan sobre el barco son el peso, mg, y el empuje, E.

El empuje es igual al peso del fluido desalojado. Si la parte del barco sumergida tiene una altura H y su sección horizontal es S, el volumen sumergido es SH. La masa de agua desplazada es dSH y el peso del agua desplazada es dSHg. En equilibrio se cumple que  

mg - dSHg=0;  m=dSH

Supongamos un eje x de coordenadas orientado hacia abajo y cuyo origen esté fijo en el centro de gravedad del barco en la posición de equilibrio, sistema de referencia inercial, y que el barco está oscilando de manera que en un instante su centro de gravedad se ha desplazado una distancia x hacia abajo.

Con estas condiciones el barco tiene un empuje hacia arriba igual a  dS(H+x)g. 

La ecuación de movimiento del centro de gravedad del barco será:

La deducción de la ecuación de movimiento es análoga a la del densímetro. El periodo de las oscilaciones es:

Oscilaciones forzadas. Resonancia

Supongamos una partícula de masa m en el extremo de un muelle de constante k, cuyo otro extremo está fijo, sobre una superficie horizontal y sin rozamiento como se muestra en la imagen. Supongamos que en posición de equilibrio la partícula está sometida a una fuerza

F=F0seno(ωt)

La segunda ley de Newton establece para la partícula que:

-kx + F0seno(ωt) = ma

De donde                                                                       a= -(k/m)x +( F0/m)seno(ωt)

Por lo tanto

Supongamos que en t=0, x=0 y v=0.

Si se prueba una función x1=C·seno(ωt), se tiene: 

Sustituyendo en la ecuación anterior, se tiene:

Luego la función x=C·seno(ωt) cumple la ecuación de movimiento siendo

Para una frecuencia angular ω =  ω0  la amplitud C de la oscilación se hace infinita. Se dice que la oscilación está en resonancia

Propiamente la ecuación exacta de la ecuación de movimiento es:

Aplicación

Un cuerpo de masa m=0,050 kg está sujeto a un muelle de constante recuperadora k=20 N/m cuyo otro extremo está fijo en una pared. El cuerpo se apoya sobre una superficie horizontal y sin rozamiento. Estando el cuerpo en equilibrio se aplica una fuerza F=0,20·seno(16t). Escribir la ecuación de movimiento y representar la gráfica t-x del mismo.

                                                                                   0,20/0,050/(202-162)=0,02778 (m)

La ecuación de movimiento es:

                                                                                x=0,02778·[seno 16t –(16/20)seno 20t]

                                                                                     x=0,02778·[seno 16t - 0,8· seno 20t]

                                                                                    La gráfica del movimiento es la siguiente:

¿Cuál será la gráfica t-x si la frecuencia angular de la fuerza aplicada es ω=19,5 rad/s?

Se puede observar que la amplitud de las oscilaciones crece y parece haber una relación de proporcionalidad directa de la amplitud con el tiempo.

En la imagen dinámica se puede ver la oscilación del sistema masa-muelle cuando la frecuencia de la fuerza aplicada es muy diferente de la frecuencia natural de oscilación del sistema.

Si la frecuencia de la fuerza aplicada está muy próxima a la frecuencia de oscilación del sistema masa-muelle, la amplitud de las oscilaciones crece considerablemente. 

Resonancia

¿Qué ocurrirá si la frecuencia de la fuerza aplicada coincide con la frecuencia natural de las oscilaciones de sistema masa-muelle?

En ese caso

                                                                                             -kx+F0seno(ωot)=ma

y

                                                                                            a= -(k/m)x+(F0/m)seno(ωot)

                                                                                            a= -ωo2x+(F0/m)seno(ωot)

La solución de la ecuación anterior se puede poner como suma de dos funciones, x=x1(t)+x2(t), siendo x1=x1(t) la función que satisface la ecuación completa y x2=x2(t) la función que cumple la ecuación anterior con el segundo miembro nulo que corresponde a una oscilación libre.

Para buscar la función x1=x1(t), se ha de buscar una función del tipo x1=Ct seno(ωot) o x1=Ct cos (ωot).

La primera función conduce a una ecuación absurda:

luego hay que descartarla.

Vamos a probar la segunda función:

De donde C=-Fo/(2ωom) y

Si en t=0, x=0 y v=0 ; 0=B

Además

La gráfica t-x de la oscilación es la siguiente:

La amplitud de la oscilación crece indefinidamente.

Cuando la frecuencia de oscilación de un sistema coincide con la frecuencia de una fuerza externa, la amplitud de la oscilación crece indefinidamente. Se dice que el sistema está en resonancia.

En la imagen se representa la oscilación del sistema masa-muelle en resonancia.