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Reflexión de una onda en una cuerda con extremo fijo o libre.
En la figura adjunta se muestra la forma de comportarse una onda en una cuerda con extremo fijo o libre. En el primer caso se observa experimentalmente que la onda se refleja invertida. En el segundo se refleja sin invertir. El mismo fenómeno se presenta en el caso de las ondas sonoras que se propagan en un tubo cerrado o abierto, aunque en este último caso la reflexión es más difícil de explicar.
Reflexión en extremo fijo
Si la ecuación de la onda incidente en el instante t=0 es
yi(x,0) = f(x)
la ecuación de la onda reflejada en ese instante es
yr(x,0) = - f(-x)
Para construir la ecuación de una onda progresiva en el sentido positivo del eje x a partir de la ecuación de la onda en el instante t=0, hay que sustituir la variable x por la variable x-vt. Si la onda progresa en sentido negativo del eje x, la ecuación de la onda se construye sustituyendo la variable x por la variable x+vt.
En la figura anterior, la onda real incidente se mueve en sentido negativo del eje x y la reflejada se mueve en sentido positivo. Por lo tanto las ecuaciones de la onda incidente y reflejada son:
yi(x,t) = f(x+vt) e yr(x,t) = -f(-x+vt)
Reflexión con extremo libre
Si la ecuación de la onda incidente en el instante t=0 es
yi(x,0) = f(x)
la ecuación de la onda reflejada en ese instante es
yr(x,0) = f(-x)
La ecuación de la onda incidente en el instante t se obtiene sustituyendo la variable x por x+vt y la ecuación de la onda reflejada se obtiene sustituyendo la variable x por la variable x-vt, luego:
yi(x,t)=f(x+vt) e yr(x,t)=f(-x+vt)
Superposición de la onda incidente y reflejada
Aplicando el Principio de Superposición, la onda que se propaga en la cuerda con un extremo fijo es:
y= yi + yr = f(x+vt) + [-f(-x+vt)]
Si el extremo en el que se refleja la onda es un extremo libre, la ecuación de la onda incidente es yi=f(x+vt), la de la onda reflejada en extremo libre es yr= f(x-vt), luego la onda de superposición es:
y= yi + yr = f(x+vt) + f(x-vt)
Ondas estacionarias en cuerdas
Hay varios procedimientos básicos para excitar una vibración en una cuerda tensa como los siguientes:
i) Golpeando la cuerda una sola vez, como ocurre con el piano, proporcionando a la cuerda una energía debido al impulso aplicado.
ii) Frotando la cuerda, como ocurre cuando se tocan instrumentos de la familia del violín.
iii) Desplazando transversalmente un punto de la cuerda una pequeña distancia y liberando la cuerda.
En ambos casos se produce una superposición de vibraciones de muchos modos activados simultáneamente, cada uno con una amplitud.
Supongamos una cuerda elástica ligera de longitud L sujeta en sus extremos A y B. En la imagen adjunta la cuerda elástica en la posición de equilibrio está representada por una línea de puntos. Se desplaza el punto M de la cuerda hasta la posición C y se deja libre. El punto M comenzará a oscilar produciendo ondas hacia la izquierda y hacia la derecha que se reflejarán en los puntos A y B y se superpondrán con las ondas incidentes, estando los puntos A y B obligados a no oscilar.
La oscilación del punto M produce ondas periódicas que se reflejan en los extremos, superponiéndose con las ondas incidentes, originándose una onda estacionaria. Las condiciones de contorno de la cuerda exigen que los puntos A y B no puedan vibrar, determinando que la cuerda sólo pueda vibrar en determinadas frecuencias.
Si la ecuación de la onda incidente es
yi=A sen(kx+ωt)
la ecuación de la onda reflejada será
yr=-A sen(-kx+ωt) = A sen(kx-ωt)
La onda de superposición es:
y= A sen(kx+ωt)+ A sen(kx-ωt) =2A sen(kx) cos (ωt)
Esta vibración en conjunto recibe el nombre de onda estacionaria. Ha desaparecido la variable característica de las ondas que se propagan, x-vt o x+vt. La amplitud de vibración es A =2A sen(kx). La ecuación de vibración de cada punto puede escribirse
y=A cos (ωt)
Hay puntos que no oscilan. Se llaman NODOS. En esos puntos la amplitud de oscilación A es cero.
2A sen(kx)=0
Luego los nodos se encontrarán en los puntos que cumplan que
k xNODOS = nπ
donde n puede ser 0,1,2,....
Siendo k=2π/λ , se obtiene
xNODOS = nλ/2
En la figura de la siguiente se presentan tres estados de una onda estacionaria. Uno de los estados es el de máxima amplitud de oscilación de la magnitud ondulatoria.
La distancia nodo-nodo es 0,50 m, luego la longitud de onda es l=2·0,50 =1,0 m
Los puntos que oscilan con la máxima amplitud 2A se denominan ANTINODOS o VIENTRES. En dichos puntos se cumplirá la ecuación:
2A sen(kx)= ±2A
por lo tanto sen (kx)=±1 y kx=(2n-1)π/2
xANTINODOS= (2n-1)λ/4
Si la distancia entre los extremos fijos es L, esta longitud deberá contener un número entero de semilongitudes de onda, puesto que los extremos fijos serán nodos.
L=nλ/2 y l=2L/n
Dado que la velocidad de propagación de las ondas en la cuerda está definida por la tensión F de la misma y la densidad de masa por unidad de longitud m y que la velocidad c de una onda periódica es la longitud de onda λ entre el periodo T o la longitud de onda por la frecuencia f, los valores de ésta quedan delimitados.
c = λ/T = λf = 2Lf/n
f= n c/(2L)
f= n/2L [F/μ]1/2
,
Siendo f1 = n/2L [F/μ]1/2 la frecuencia fundamental
Por lo tanto, las frecuencias con las que puede vibrar una cuerda, armónicos, son múltiplos de la frecuencia fundamental, que es el primer armónico.
fn=n f1
Ondas estacionarias en tubos sonoros
Para producir ondas estacionarias en los tubos sonoros de los instrumentos de viento, hay distintos tipos de mecanismos excitadores que hacen vibrar el aire:
i) Vibración de la lengüeta, como en los casos del oboe, el clarinete y el saxofón.
ii) Vibración de los labios de la persona en el caso de la trompeta.
iii) Formación de remolinos al hacer entrar el aire o al soplar, como es el caso de la flauta o del órgano.
Las características geométricas del tubo permiten amplificar determinados armónicos produciendo una distribución de intensidades respecto de las frecuencias característica de cada instrumento que es el timbre.
Cuando una onda de presión se propaga en un tubo entrando por un extremo abierto, la onda viajera se refleja en el otro extremo, esté cerrado o abierto aunque resulte paradójico, se superpone con la onda incidente y produce una onda estacionaria. La onda de presión será la suma de ondas armónicas con distintas frecuencias, amplitudes y fases iniciales. Cuando cualquier frecuencia de la onda sonora excitadora coincida con una de las frecuencias de resonancia del tubo sonoro, la amplitud de la onda estacionaria aumenta considerablemente.
En las figuras se representan dos tubos sonoros de longitud L. En la figura 1 el tubo está cerrado en un extremo, dicho punto es un nodo (N) de vibración de las capas de aire. El extremo abierto es un antinodo (A) de vibración. En términos de variaciones de presión en el extremo fijo hay la máxima variación de presión, es un antinodo de presión y el extremo libre es un nodo de variación de presión, allí la presión no varía y es igual a la presión atmosférica.
En la figura 2 los extremos del tubo son antinodos (A) de vibración o nodos de variación de presión.
En uno o en otro caso se pueden tener más antinodos y nodos intercalados en una serie: Nodo-Antinodo-Nodo-Antinodo..., abreviadamente NANA...
La distancia Nodo-Antinodo consecutivo es l/4, luego:
Tubo cerrado por un extremo y abierto por el otro
La longitud L efectiva del tubo sonoro será un número impar de veces la distancia nodo-antinodo
L=(2n-1)λ/4 y λ=4L/(2n-1)
Si c es la velocidad del sonido, c=λ fn , por lo que las frecuencias audibles serán:
fn=c/λ= (2n-1) c/4L
Tubo abierto por ambos extremos
En un tubo abierto L=nλ/2 ; c=λ fn
fn=c/λ=n c/2L
Instrumentos musicales
Una flauta es esencialmente semejante a un tubo de órgano abierto como los que se muestran en la figura. En los instrumentos con lengüeta o boquilla, como los tubos de órgano de embocadura de flauta o de boquilla, y los instrumentos de metal en los que los labios actúan como lengüetas, el extremo donde está la boquilla o la lengüeta es aproximadamente un extremo cerrado, siendo un nodo, N, de vibración. El extremo libre es un antinodo, A, o vientre de vibración.
Luego si L es la longitud de un tubo de órgano de boquilla, la relación con la longitud de onda λ mayor del sonido del tubo será:
λ = L/4
El comportamiento de un tubo de órgano de boquilla es análogo al de una cuerda fija por un extremo e impulsada transversalmente en el otro extremo. Si la amplitud de la oscilación forzada es A, la amplitud de la onda estacionaria es 2A. Para una onda estacionaria de ecuación
y=2 A sen kx cos ωt
¿Qué coordenada x tendrá un punto cuya amplitud de oscilación sea A?
A=2A sen kx ; 1/2 = sen kx ; 1/2 =sen (2πx/λ)
π/6 =2πx/λ L: x=λ/12
Luego está bastante cerca del nodo de coordenada x=0.
Resonancia
Se dice que un sistema está en resonancia cuando está sometido a un impulso periódico de la misma frecuencia que una de las frecuencias naturales de oscilación del sistema. Como consecuencia, la amplitud de oscilación se hace relativamente grande.
Un ejemplo de resonancia es la que se produce en un columpio. Si aplicamos impulsos en un columpio cada vez que pasa por la posición más baja y en el mismo sentido, la amplitud de la oscilación se hace cada vez mayor. Si se le aplican impulsos a intervalos de tiempo que no coinciden con múltiplos del periodo, o si los impulsos no son periódicos el columpio se parará.
Supongamos que una cuerda sujeta por un extremo está sometida en el otro extremo a un movimiento periódico transversal en uno y otro sentido. Se producirán ondas en la cuerda por la superposición de la onda incidente y la reflejada en el extremo fijo. Si la frecuencia de oscilación no coincide con una frecuencia natural de oscilación de la cuerda, se formarán oscilaciones extrañas en la cuerda. Sin embargo, si la frecuencia de oscilación impulsora coincide con una cualquiera de las frecuencias naturales de oscilación de la cuerda, ésta entra en resonancia y la amplitud de los antinodos o vientres será mucho mayor que la del extremo accionado. El extremo accionado no será un nodo, pero se encontrará mucho más próximo a un nodo que a un vientre cuando la cuerda entre en resonancia y puede considerarse como un nodo de vibración.
Supongamos una cuerda horizontal de longitud L fija por un extremo, como se muestra en la figura adjunta.
Si se somete al extremo O a un movimiento vibratorio armónico perpendicular a la cuerda de ecuación
y=B cos(ωt)
se formará una onda armónica que se reflejará en el extremo fijo P, superponiéndose la onda incidente con la reflejada formando una onda estacionaria que está restringida a que se cumplan las siguientes condiciones:
y(x=0,t) = B cos(ωt)
y(x=L,t) = 0
Por otra parte la ecuación de una onda estacionaria en general es:
y(x,t)=A sen(kx+α).cos(ωt)
por lo tanto se tendrán las ecuaciones:
A sen(k·0+a) cos(ωt) =B cos(wt) (1)
A sen(k L+a) cos(ωt) =0 (2)
Para que se cumpla la ecuación (2) se ha de cumplir que:
sen(k.L+α)=0
Es decir: kL+α=pπ , donde p=1,2,3,...
de donde α=pπ-kL
para que se cumpla la ecuación (1) se ha de tener
A sen(pπ-kL)=B
o bien
A = B/sen(pπ-kL)
Si el denominador de la expresión fuera cero, la amplitud sería infinita. En este caso se dice que la cuerda está en resonancia.
Esto ocurriría teóricamente cuando:
pπ-kL=0 ; y dado que k=2π/l , se tiene que
pπ=2πL/l y l=2L/p
Siendo c=λf ; c=2Lf/p ; f=p c/(2L)
Estas frecuencias son las mismas que las frecuencias naturales de oscilación de la cuerda.
En resumen: si en un sistema se propaga una onda con una frecuencia igual o muy próxima a una de las frecuencias naturales de oscilación del sistema, éste entrará en resonancia, estado en el que la amplitud de las oscilaciones se hace muy grande.
Problemas
1. a) Un tubo de longitud L=34 cm tiene uno de los extremos abierto a la atmósfera y el otro extremo cerrado. Calcula la menor frecuencia de excitación sonora para la que se formará una onda estacionaria en el interior del tubo.
b) ¿Cuál sería su frecuencia si suponemos ahora que el tubo tiene sus dos extremos abiertos a la atmósfera?
Dato: Velocidad de propagación del sonido en el aire v=340 m/s.
Solución
a) Cuando se excita con sonido un tubo cerrado por un solo extremo, se produce en éste un nodo, N, de vibración. Para que se tenga una onda estacionaria tiene que producirse un antinodo, A, en el extremo abierto. Si no hay más antinodos ni nodos en el tubo, la longitud de la onda λ será la máxima para que se produzca la onda estacionaria y la distancia
NA= λ /4=L
Luego λ =4L ; v=λf; ;
f = v/4L = 340/(4·0,34) = 250 Hz
b) Si el tubo está abierto por los dos extremos, se produce en cada uno de ellos un antinodo, A, y en el centro del tubo habrá un nodo, N. Si no hay más antinodos, la longitud de onda será la máxima para la que se produzca la onda estacionaria. La distancia AA será:
AA = λ/2
Luego λ=2L ; v=λf ; v=2Lf ;
f=v/2L=340/(2·0,34)=500 Hz
2. Las cuerdas de una guitarra vibran entre dos puntos fijos. Considere que la cuerda de una guitarra mide 0,65 m de longitud y vibra con una frecuencia fundamental de 440 Hz.
a) ¿Cuál es la longitud de onda del armónico fundamental? Calcule la velocidad de propagación de las ondas que, por superposición, han generado la onda estacionaria en la cuerda.
b) Calcule la frecuencia del segundo armónico y dibuje el perfil de su onda estacionaria, indicando en qué posiciones de la cuerda se localizan nodos y vientres.
Solución
a) Si se hace vibrar una cuerda de guitarra se produce una oscilación del punto que se hace vibrar que se transmite por la cuerda produciendo una onda, se refleja en los extremos y se superponen las ondas, produciendo una onda estacionaria. Cuando la cuerda vibre en el armónico fundamental, sus dos extremos son nodos, N, de vibración y no hay más nodos en la cuerda. La distancia entre nodo y nodo es media longitud de onda, luego:
λ/2 = 0,65 ; λ=2·0,65 =1,30 m
v=λf = 1,30·440 = 572 m/s
b) En los extremos de la cuerda habrá siempre nodos de vibración. La distancia entre dos nodos consecutivos es λ/2. Si L es la longitud de la cuerda se tendrá:
L=nλ/2: λ=2L/n ; v=λf ; v=(2L/n)f ; f=n v/2L
f2=2 572/(2·0,65)= 880 Hz
Otra forma: la frecuencia fundamental f1 cumple
f1=v/2L.
Por lo tanto el segundo armónico cumplirá la relación
f2=2f1=2·440= 880 Hz
En la imagen adjunta se muestra dos estados extremos de vibración de la cuerda, con los puntos de máxima amplitud de vibración, vientres, simbolizados por V, y los puntos de oscilación nula, nodos, simbolizados por N. Cuando en un vientre la elongación es positiva, en el otro vientre la elongación es negativa.
3. Un tubo de órgano abierto en los dos extremos tiene dos armónicos sucesivos con frecuencias de 240 y 280 Hz.
a) ¿Cuál es el número n del orden del armónico
de frecuencia 240 Hz?
b) ¿Cuál es la longitud del tubo?
Dato: La velocidad del sonido es v=340 m/s.
Solución
a) Cada extremo del tubo de órgano será un antinodo de vibración. La distancia entre dos antinodos es nλ/2. Si L es la longitud del tubo se cumplirá:
L=nλn/2 ; λn=2L/n; λnfn=v ; (2L/n)fn=v
fn=n v/2L; fn+1=(n+1)v/2L; fn+1/fn=(n+1)/n
280/240 =(n+1)/n; 280n=240(n+1) ; 40n=240
n = 240/40 = 6
b) fn=n v/2L; L=nv/2fn=6·340/(2·240)=4,25 m
4. a) ¿Qué es una onda estacionaria? Explique qué condiciones deben cumplirse para que se forme una onda estacionaria en un tubo con los dos extremos abiertos a la atmósfera?
Se tiene un tubo de longitud L=1,7 m que tiene los dos extremos abiertos a la atmósfera.
b) Calcule las dos frecuencias de excitación sonora más bajas que producirán ondas estacionarias en el tubo?
c) Represente para cada una de las frecuencias anteriores la onda estacionaria que se forma en el tubo, señalando la posición
de los nodos y vientres que aparecen.
Dato: velocidad del sonido en el aire, v=340 m/s.
Solución
a) Una onda estacionaria es la superposición de dos ondas periódicas de la misma amplitud y frecuencia que se mueven en sentidos opuestos. Se producen oscilaciones de la magnitud ondulatoria. En determinados puntos llamados vientres o antinodos, si la amplitud de cada onda inicial es A, la amplitud de la onda estacionaria es 2A. En otros puntos llamados nodos la amplitud de vibración es nula.
Para que se forme una onda estacionaria en un tubo con los dos extremos abiertos a la atmósfera, se debe el tubo se debe excitar con una onda de presión de cierta duración. Esta onda de presión se podrá expresar como suma de muchas ondas periódicas, algunas de cuyas frecuencias coincidirán con las frecuencias naturales de oscilación del tubo abierto por los dos extremos, produciéndose un fenómeno de resonancia. Se mantendrán las frecuencias naturales de oscilación y disminuirán rápidamente las frecuencias distintas a las naturales de oscilación.
b) L=nλn/2 ; λn=2L/n; λnfn=v ; (2L/n)fn=v
fn=n v/2L
fn=n 340/(2·1,7)=10n
Luego f1=10 Hz y f2=20 Hz.
c)
En la figura 1 se representa el tubo de órgano con las posiciones de los vientres, V, y del nodo, N, para la frecuencia más baja de vibración. En la figura 2 se muestran las posiciones de vientres y nodos para la segunda frecuencia de vibración. Se representan los perfiles de las ondas de presión en los instantes en los que los puntos tienen la máxima elongación de presión. La línea media representaría una variación nula de presión respecto de la presión atmosférica.
5. a) Explique qué condiciones deben cumplirse para que se forme una onda estacionaria en una cuerda con los dos extremos fijos.
Una cuerda de longitud L=1,5 m tiene ambos extremos fijos. Cuando se excita transversalmente con una frecuencia f=100 Hz se forma una onda estacionaria con dos vientres.
b) Calcule la longitud de onda y la velocidad de propagación de ondas en dicha cuerda.
c) ¿Para qué frecuencia inferior a la dada se formará una onda estacionaria en la cuerda?
Solución
a) Para que se produzca una onda estacionaria en una cuerda con dos extremos fijos hay que hacer vibrar un punto de la misma con una determinada frecuencia. Una onda transversal en cuerda de longitud L y masa por unidad de longitud μ, tiene una velocidad de propagación v=[T/μ]1/2. En el modo fundamental se puede producir una onda estacionaria de longitud de onda λ=L/2 y frecuencia
f=v/λ=(2/L)[T/μ]1/2
Si se hace oscilar el centro de la cuerda con frecuencia f se producirá una onda estacionaria.
b) Dado que en la onda estacionaria hay dos vientres, se tendrán tres nodos; luego
λ/2=L/2; λ=L=1,5 m; v=λf=1,5·100 = 150 m/s
c) La frecuencia fundamental corresponde al estado de la cuerda con dos nodos, luego
λ/2=L: λ=2L=2·1,5=3,0 m; f=v/λ =150/3,0 = 50 Hz
6. a) Explique en qué consisten las cualidades intensidad, tono y timbre de una onda sonora y con qué propiedad física de las ondas están relacionadas.
La primera cuerda de una guitarra (Mi) vibra a 329,63 Hz en el modo fundamental. La cuerda tiene una longitud de 75 cm.
b) Calcule la velocidad de propagación de las ondas en la cuerda.
c) ¿A qué distancia de uno de los extremos se debe presionar la cuerda para producir la nota Sol, de frecuencia 392 Hz?
Solución
a) La intensidad de una onda sonora es la energía transmitida por la misma por unidad de área transversal a la dirección de propagación y por unidad de tiempo.
El tono de un sonido es una característica relacionada con el conjunto de frecuencias que lo componen. El tono puede ser alto, medio o bajo según que las frecuencias sean altas, medias o bajas.
El timbre es una característica del sonido relacionado con la distribución de amplitudes de las distintas frecuencias que componen un sonido. Dos sonidos con igual conjunto de frecuencias, por ejemplo una frecuencia fundamental y los múltiplos de la misma o armónicos, con distintas distribuciones de amplitudes tienen timbres diferentes. En el timbre también influye la forma de elevación del sonido, del mantenimiento del mismo y del apagado.
b) Si f1=329,63 Hz y L=75cm; λ1/2=L;
λ1=2L=2·75 = 150 cm =1, 50 m
v=λ1f1=1,50·329,63 = 494 m/s
c) f=392 Hz; v=λf; l=v/f=494/392=1,26 m. d=λ/2=1,26/2=0,63 m
7. Considere dos tubos sonoros de la misma longitud, L =1,36 m, el primero con sus dos extremos abiertos a la atmósfera y el segundo con uno abierto y otro cerrado.
a) Calcule, para cada tubo, la menor frecuencia de excitación sonora para la que se formarán ondas estacionarias en su interior. Determine la longitud de onda correspondiente en cada caso. Tome como velocidad de propagación del sonido en el aire v =340 m/s.
b) Represente la onda estacionaria que se forma dentro de cada tubo, indicando la posición de nodos y vientres.
Solución
a) Si los dos extremos del tubo de longitud L están abiertos a la atmósfera y se forma una onda estacionaria en el tubo por efecto de una excitación sonora periódica de amplitud A de vibración de las capas del aire, en los extremos del tubo la amplitud será 2·A, siendo vientres de vibración.
La distancia de nodo a nodo es media longitud de onda, l/2; luego l/2=L ; l=2L=2·1,36=2,72 m
Dado que c=l·f ; 340=2,72·f ;
f=125 Hz.
Si un extremo del tubo está abierto, frente al dispositivo excitador, y el otro está cerrado, el primero será un vientre de vibración y el segundo, el cerrado, será nodo de vibración. La distancia nodo-antinodo es λ/4, luego λ /4=L ; λ =4L=4·1,36=5,44 m; c= λ ·f ; 340=5,44·f ;
f=62,5 Hz
b) Onda estacionaria con los dos extremos del tubo abiertos:
c)
A: vientre de vibración.
N: nodo de vibración.
La línea punteada representa el valor de la amplitud de oscilación de la capa de aire respecto del centro, en donde es cero. Las oscilaciones de las capas de aire serían horizontales.
Onda estacionaria en un tubo con un extremo abierto y el otro cerrado:
En el extremo abierto se forma un vientre de vibración y en el cerrado, un nodo de vibración.
8. Se desea construir una flauta de forma que cuando estén tapados todos los agujeros emita como armónico fundamental la nota musical Do de 522 Hz. Si la flauta se comporta como un tubo sonoro de extremos abiertos, determine la longitud de la misma y represente gráficamente dentro de la flauta, la onda que se genera. Tome como velocidad de propagación del sonido en el aire c =340 m/s.
Solución
Si la flauta emite como armónico fundamental y se comporta como un tubo abierto por los dos extremos, en cada extremo habrá un antinodo de vibración, A, y en el centro un nodo, N, de vibración. La distancia entre antinodo y antinodo consecutivo es media longitud de onda. Si L es la longitud de la flauta, se cumplirá
L=λ/2; además c= λ ·f ; 340= λ ·522 ; λ =0,651 m y L=0,651/2=0,326 m
En el interior de la flauta de genera una onda estacionaria, superposición de la onda producida con la reflejada en los extremos.
Las líneas discontinuas representan los extremos de las oscilaciones de una magnitud ondulatoria.
9. a) La frecuencia fundamental de vibración de la sexta cuerda de una guitarra es f = 329,63 Hz. Representa gráficamente, para el modo fundamental y los dos armónicos sucesivos, la forma de la onda a lo largo de la cuerda si su longitud es l = 0.75 m. Indica la posición de los nodos y los vientres. b) ¿Se propagan con la misma velocidad todos los armónicos en dicha cuerda? Calcula la(s) velocidad(es) de propagación.
Solución
a) En el modo fundamental de vibración, los nodos están en los extremos de la cuerda. En el primer armónico los nodos están en los extremos y uno en el centro de la cuerda. En el segundo armónico hay cuatro nodos, dos en los extremos y otros dos situados a distancia de 0,75/3=0,25 m de los extremos.
b) Sí, se propagan con la misma velocidad la onda en los sucesivos armónicos porque la velocidad de propagación de las ondas sólo depende de la tensión de la cuerda y de la masa por unidad de longitud. La longitud de onda en el armónico fundamental es λ=2L=2·0,75=1,5 m. Dado que la frecuencia fundamental es f=369,23 Hz; la velocidad de propagación de las ondas es:
c= λ ·f=1,5·369,23=554 m/s.
10. Un altavoz P situado sobre una probeta llena de agua está conectado a un generador de señales cuya frecuencia se puede variar. Cuando ésta es f=1000 Hz y la temperatura t=25,0 ºC se va retirando agua hasta que se observa en la boca una máxima intensidad del sonido. Datos: coeficiente adiabático γ=1,40 ; R=8,30 J mol-1 K-1
Masa molecular (promediada del aire)=29,0 g.
a) ¿Para qué longitud de la columna de aire ocurrirá esto?
b) Se sigue retirando agua de la cubeta. ¿Cuál será la segunda longitud de la columna de aire para que se observe una máxima intensidad sonora en la boca?
Solución
a) La velocidad del sonido en un gas supuesto ideal es
v=(γRT/Mmol)1/2=(1,4·8,3·(273+25)/0,029)1/2=346 m s-1
Se produce una onda estacionaria en la que una capa estrecha de aire sobre la superficie del agua no puede vibrar, es un nodo. La capa de aire adjunta al altavoz con amplitud A, no siendo estrictamente un nodo de vibración, pero está muy cerca de un nodo y se considera en general que es un nodo. Al ir retirando el agua aparecerá el primer antinodo o vientre de presión en la boca. La distancia entre un nodo y el antinodo consecutivo es λ/4, luego L=l/4.
Siendo v=λf ; ; L=v/4f=346/(4·1000)=0,086 m
b) La distribución de nodos y antinodos ahora será: N A N A. La distancia entre el primer nodo y el antinodo de la boca será L=3λ/4, luego λ=4L/3.
v=λf=(4L/3)f; L=3(v/4f)=3·0,086=25,8 cm
11. Un emisor E de ondas sonoras fijo en el fondo de un barco envía verticalmente en el agua vibraciones sinusoidales cuya frecuencia f es regulable. Las ondas se reflejan en el fondo del mar y vuelven al barco en donde son detectadas por un micrófono R. Variando la frecuencia, las variaciones de presión alcanzan ciertos valores máximos. Un máximo de intensidad relativo de la señal es detectada en R para las frecuencias consecutivas f1=1000 Hz y f2=1010 Hz. La velocidad del sonido en el agua del mar es c=1500 m/s ¿Cuál es la profundidad H del mar?
Solución
Las ondas emitidas por el barco hacia el fondo del mar se reflejan en el fondo y se superponen con las ondas incidentes produciendo ondas estacionarias. Cuando se detecta un máximo relativo de intensidad de la señal, se tiene un antinodo de presión en el micrófono R. Además en el fondo del mar se tendrá otro antinodo de presión. La distancia entre antinodo y antinodo de presión es λ/2. Si hay n espacios internodales, se tendrá la ecuación:
H=nλ1/2
Si se aumenta la frecuencia de la señal desde que se produzca un vientre o antinodo en el micrófono, disminuirá la longitud de onda de la misma. Cuando se tenga en el micrófono otro antinodo habrá aumentado en una unidad el número de espacios entre nodos, luego
H=(n+1)λ2/2, siendo c=λf. Luego se tendrá el sistema de ecuaciones:
n(c/2f1)=H (n+1)(c/2f2)=H
De donde
n=2f1H/c n=2f2H/c-1
H=c/[2(f2-f1)=1500/[2(1010-1000)]=75 m
12. Un cordón de goma sometido a una tensión de 0,59 N tiene una masa por unidad de longitud de 0,0047 kg/m. El cordón, de longitud L=0,70 m, se fija en sus extremos y se hace vibrar. a) ¿Qué fenómeno ondulatorio se producirá cuando se haga vibrar la cuerda? b) Calcular las frecuencias de oscilación del cordón. c) ¿A partir de qué frecuencia se percibirá la onda sonora emitida?
Solución
a) Cuando se haga vibrar la cuerda se formarán ondas que se reflejarán en los extremos, produciendo ondas estacionarias. Sólo persistirán aquellas ondas que forman ondas estacionarias con nodos en los extremos.
b) Los dos extremos de la cuerda serán nodos de la onda estacionaria producida. Además aparecerán otros nodos en su interior. La distancia de nodo a nodo será de media longitud de onda, l/2. Luego L=nl/2 ; l=2L/n.
Siendo c=lf ; f=c/l=n·c/2L, donde
c) Las frecuencias audibles por el oído humano están entre 20 Hz y 20.000 Hz. La primera frecuencia audible sería 8·3=24 Hz >20 Hz.
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