Oscilaciones forzadas. 

Supongamos una partícula de masa m en el extremo de un muelle de constante k, cuyo otro extremo está fijo, sobre una superficie horizontal y sin rozamiento como se muestra en la imagen. Supongamos que en posición de equilibrio la partícula está sometida a una fuerza

F=F0seno(ωt)

La segunda ley de Newton establece para la partícula que:

-kx + F0seno(ωt) = ma

De donde                                                                       a= -(k/m)x +( F0/m)seno(ωt)

Por lo tanto

Supongamos que en t=0, x=0 y v=0.

Si se prueba una función x1=C·seno(ωt), se tiene: 

Sustituyendo en la ecuación anterior, se tiene:

Luego la función x=C·seno(ωt) cumple la ecuación de movimiento siendo

Para una frecuencia angular ω =  ω0  la amplitud C de la oscilación se hace infinita. Se dice que la oscilación está en resonancia

Propiamente la ecuación exacta de la ecuación de movimiento es:

Aplicación

Un cuerpo de masa m=0,050 kg está sujeto a un muelle de constante recuperadora k=20 N/m cuyo otro extremo está fijo en una pared. El cuerpo se apoya sobre una superficie horizontal y sin rozamiento. Estando el cuerpo en equilibrio se aplica una fuerza F=0,20·seno(16t). Escribir la ecuación de movimiento y representar la gráfica t-x del mismo.

                                                                                   0,20/0,050/(202-162)=0,02778 (m)

La ecuación de movimiento es:

                                                                                x=0,02778·[seno 16t –(16/20)seno 20t]

                                                                                     x=0,02778·[seno 16t - 0,8· seno 20t]

                                                                                    La gráfica del movimiento es la siguiente:

¿Cuál será la gráfica t-x si la frecuencia angular de la fuerza aplicada es ω=19,5 rad/s?

Se puede observar que la amplitud de las oscilaciones crece y parece haber una relación de proporcionalidad directa de la amplitud con el tiempo.

En la imagen dinámica se puede ver la oscilación del sistema masa-muelle cuando la frecuencia de la fuerza aplicada es muy diferente de la frecuencia natural de oscilación del sistema.

Si la frecuencia de la fuerza aplicada está muy próxima a la frecuencia de oscilación del sistema masa-muelle, la amplitud de las oscilaciones crece considerablemente. 

Resonancia

¿Qué ocurrirá si la frecuencia de la fuerza aplicada coincide con la frecuencia natural de las oscilaciones de sistema masa-muelle?

En ese caso

                                                                                             -kx+F0seno(ωot)=ma

y

                                                                                            a= -(k/m)x+(F0/m)seno(ωot)

                                                                                            a= -ωo2x+(F0/m)seno(ωot)

La solución de la ecuación anterior se puede poner como suma de dos funciones, x=x1(t)+x2(t), siendo x1=x1(t) la función que satisface la ecuación completa y x2=x2(t) la función que cumple la ecuación anterior con el segundo miembro nulo que corresponde a una oscilación libre.

Para buscar la función x1=x1(t), se ha de buscar una función del tipo x1=Ct seno(ωot) o x1=Ct cos (ωot).

La primera función conduce a una ecuación absurda:

luego hay que descartarla.

Vamos a probar la segunda función:

De donde C=-Fo/(2ωom) y

Si en t=0, x=0 y v=0 ; 0=B

Además

La gráfica t-x de la oscilación es la siguiente:

La amplitud de la oscilación crece indefinidamente.

Cuando la frecuencia de oscilación de un sistema coincide con la frecuencia de una fuerza externa, la amplitud de la oscilación crece indefinidamente. Se dice que el sistema está en resonancia.

En la imagen se representa la oscilación del sistema masa-muelle en resonancia.