Dioptrio esférico. Invariante de Abbe

Un dioptrio es una superficie de separación de dos medios de distinto índice de refracción.

Se dice que el dioptrio es esférico si la superficie de separación de dos medios de distinto índice de refracción, n y n', pertenece a una superficie esférica.

El invariante de Abbe es una ecuación que relaciona las posiciones del objeto y de la imagen en la refracción de la luz en un dioptrio esférico, cuando los ángulos de incidencia y refracción de los rayos en el dioptrio son pequeños.

La ecuación del invariante de Abbe y la del aumento lateral de la imagen en un dioptrio esférico son claves para deducir las ecuaciones de los espejos esféricos y de las lentes delgadas.

En la imagen adjunta se muestra un dioptrio esférico de radio OC=R. 

Dado un punto A luminoso y el centro C de la superficie esférica, la recta que contiene al segmento AC es el eje óptico y el punto O de intersección con la superficie esférica es el centro óptico

Para hallar el invariante de Abbe es conveniente determinar los signos de las magnitudes que intervienen en la deducción.  

En la medida de ángulos de los rayos con el eje óptico, se giran los rayos hasta coincidir con el eje óptico.

En la medida de ángulos de los rayos con la normal PC a la superficie del dioptrio, se giran los rayos hacia la normal.

En la medida del ángulo de la normal OC a la superficie del diptrio en el punto de incidencia P del rayo AP, se hace girar la recta normal con centro en C hacia el eje óptico.

Se consideran magnitudes lineales positivas aquellas que están por encima del eje óptico. Son negativas, las que están por debajo del eje óptico.

Se consideran magnitudes angulares positivas las que resultan de medir en sentido opuesto al de giro de las agujas del reloj; siendo negativas las que se miden en el sentido de giro de las agujas del reloj. 

Aplicando la ley de la refracción o ley de Snell: 

            n sen i = n' sen i'                             (1)

Para ángulos pequeños   sen i=i  , sen i' = i' ; por lo tanto

              n · i = n' · i'                                     (2)

       Esta ecuación fue deducida por primera vez por el físico alemán Ernst Abbe (1840-1905), y recibe el nombre de  invariante porque presenta la misma forma en ambos miembros.

      La relación es muy importante en la óptica geométrica, porque permite deducir a partir de ella las ecuaciones de los espejos planos, de los espejos esféricos, dioptrios planos, lentes delgadas o gruesas, sean convergentes o divergentes, sistemas de dos o más lentes. 

        Ha de tenerse en cuenta que sólo es válida en óptica paraxial, en la que los ángulos que forman los rayos con el eje óptico o con la normal a la superficie de refringencia son tales que el seno o la tangente de los mismos coinciden con los ángulos expresados en radianes en alguna o algunas cifras significativas.

         Aplicación 2

            Supón que la varilla anterior fuera cóncava del mismo radio. ¿Dónde estaría la imagen?

            Esta imagen sería virtual. Si se hiciera un seguimiento de la marcha de los rayos, éstos divergerían en el dioptrio cóncavo, confluyendo sus prolongaciones a 3,6 cm a la izquierda del centro óptico. Esta imagen sería el objeto para el siguiente dioptrio.

Dioptrios esféricos. Distancias focales f y f'

 Llevando estos valores al invariante de Abbe, como se observa a la derecha de la imagen, se obtiene la expresión de la distancia focal objeto.

  Hay que tener en cuenta que si el dioptrio está en el aire, n=1 y n'=n, siendo n el índice de refracción del dioptro.