Ondas armónicas

Ecuación de las ondas armónicas unidimensionales. Magnitudes fundamentales

Supongamos una onda que en el instante t=0 tuviera por expresión

y=A sen (kx+φo)

donde k, por ahora, sería una constante que tendría que medirse en radianes/metro para que al multiplicarla por “x” que se mide en metros nos diera radianes, las unidades en las que se mide el argumento del seno.

 El término φo recibe el nombre de fase inicial y se mide en radianes.

         ¿Qué expresión tendría la onda en el instante t si se propaga en el sentido positivo del eje Ox con velocidad v?  Habrá que cambiar la variable x por la x-vt, por lo tanto se tendrá la onda de ecuación

                                                        y = A sen [k(x-vt)+φo]

que también se puede escribir en la forma

                                                        y = A sen [kx-kvt+φo]

la magnitud kv se simboliza mediante la letra ω, luego la onda se puede escribir:

                                                   y=A sen [kx-ωt+φo]

o bien en la forma

                                                    y=A cos [kx-ωt+φo’]

en donde la fase inicial sería distinta que la utilizada en la función seno.

         La importancia de estas ondas radica en que cualquier onda se puede expresar como suma de ondas armónicas mediante un procedimiento llamado análisis de Fourier, de aquí la importancia de las ondas armónicas.

Ejemplo: Sea la onda armónica de ecuación

                                  y=2,0·sen(4π x-2π t) (cm)

 En la figura adjunta  se representa la onda en tres instantes próximos, t=0 s, t=0,1 s y t=0,2 s. 

La fase de la onda puede escribirse:

               4π(x-t/2)

pudiendo reconocer fácilmente la velocidad de la onda, que es v=+1/2 m/s, positiva; dado que  es  el  factor  v  de  la  expresión  entre paréntesis (x-vt).  

Entre los instantes 0 s y 0,2 s; el estado de perturbación y=0 avanza una distancia (1/2)·0,03 =0,015 m. Puede comprobarse en la figura que el punto x=0, tiene un valor de perturbación y=0 en t=0. Al cabo de 0,2 s ese estado de perturbación, y=0, lo tiene el punto con x=0,1 m.

Magnitudes características de las ondas armónicas

         A: amplitud. Se mide en las unidades de la magnitud que se propaga. En una onda sonora la amplitud puede ser la de la presión. Se mediría entonces en Pascales (Pa). Si la magnitud que se considera es el vector desplazamiento de las capas de aire, se medirá en metros. Si es una onda electromagnética, representada por el campo eléctrico, se medirá en Newtons/Culombios o Voltios/metro. Si es una onda transversal en una cuerda tensa y la magnitud que se considera es el desplazamiento de cada elemento de cuerda, la magnitud ondulatoria se mide en metros.

         k: número de ondas.

                        Se mide en radianes/metro (rad/m)

         ω: frecuencia angular.

                        Se mide en radianes/segundo (rad/s)

         φo: fase inicial.

                         Se mide en radianes

         kx-ωt+φo: fase.

                         Se mide en radianes

          λ: longitud de onda, es la distancia mínima entre dos puntos con el mismo estado de perturbación, por ejemplo dos crestas consecutivas

                          Se mide en metros.

         T: periodo, es el tiempo en el que la magnitud que vibra tarda en dar una oscilación completa.

                       Se mide en segundos.

         f: frecuencia de la onda, es el número de oscilaciones por segundo de la magnitud que vibra y se propaga. Si una oscilación se produce en un tiempo T, en un segundo el número de oscilaciones es 1/T.

                         Se mide en hercios (s-1).

       ¿Qué relaciones hay entre k, ω, la velocidad v de la onda, λ, T y f?

         Si la coordenada de un punto aumenta en una longitud de onda l, la fase aumenta en 2p radianes dado que se vuelve a tener el mismo estado de  perturbación, el valor de la misma y su variación por unidad de tiempo), luego:

                                                                   k(x+λ)-ωt + φo = kx-ωt + φo + 2π

                                                                     luego  kλ=2π  ;  k=2π/λ

         La magnitud k recibe el número de ondas porque podría interpretarse como el número de ondas ( una onda sería una oscilación completa)  que caben en 2π metros.

         Si el tiempo aumentase en un periodo T, magnitud que vibra y se propaga tomaría el mismo valor y para ello la fase tendría que disminuir en 2π radianes

                                                       kx-ω(t+T) + φo = k- ωt + φo- 2π

                                                          luego ωT=2π ; ω=2 π /T=2 π f

         Dado que kv=ω , se tiene que v= ω/k =(2 π /T)/(2 π /λ)=λ/T

·        ¿Qué valores tienen estas  magnitudes en la onda armónica  representada?

Se pueden reconocer automáticamente la longitud  de onda  λ=0,50 m  y la amplitud  A=0,020 unidades.  Se   puede   calcular

                                                         k=2π/ λ =2 π /0,50=4 π  rad/m

 y dado que

                                                                    v=Δx/ Δ t=0,05/0,1= 0,5 m/s

                                                                   ω=kv=4 π ·0,5=2 π  rad/s

Además en t=0 y x=0 se tiene que y=0  y es creciente, luego si es armónica es tipo seno y de fase inicial φo=0, luego

                                                                     y=0,020 sen (4 π x-2 π t)   (m)

·        Suponiendo que es una onda transversal en una cuerda, ¿qué velocidad tendrá el punto x=0,25 en el instante t=1/3?

v=dy/dt=0,020·(-2π)·cos(4π·0,25-2π·[1/3])

                                                                                        v= -0,20π (m/s)

Problemas de ondas armónicas

1.    Una onda armónica transversal de frecuencia  f=2,0  Hz, longitud de onda λ  = 20 cm y  amplitud A = 4,0 cm, se propaga por una cuerda en el sentido positivo del eje  OX. En el instante de tiempo t=0 y en el punto  x=0  la elongación es  y su pendiente es positiva

a) Expresa matemáticamente la onda y represéntala gráficamente en (t = 0  ; 0 ≤ x≤ 40 cm)

b) Calcula la velocidad de propagación de la onda y determina, en función del tiempo, la velocidad de oscilación transversal de la partícula situada en x=5  cm.     

2.               Por una cuerda tensa situada a lo largo del eje OX se propaga, en el sentido positivo de dicho eje, una onda transversal armónica. En la figura 1 se muestra el perfil de la onda en t=0 , y en la figura 2 se representa, en función del tiempo, el desplazamiento transversal del punto de la cuerda situado en x=0.

a) Determina las siguientes magnitudes de la onda: amplitud, longitud de onda y velocidad de propagación.

b) Escribe la ecuación de la onda.