Raíz cúbica de 9 dígitos

¿Qué es una raíz cúbica ?

( Sólo en caso de que usted no lo sepa . ) El cubo de un número es el propio número multiplicado dos veces más por sí mismo . Por ejemplo , 4 al cubo , normalmente por escrito de 4³ , es de 4 × 4 × 4 = 64 . La raíz cúbica va en la dirección opuesta , por lo que la raíz cúbica de 64 es 4 .

Para dar un ejemplo más , en cubos 657 = 6573 = 657 × 657 × 657 = 283 593 393 , por lo que la raíz cúbica de 283 593 393 es 657.

Hacerlo en tu cabeza

Ahora voy a tener que admitir que he usado una calculadora para calcular que 6573 = 283 593 393 (en realidad estoy mintiendo - lo hice en Python, pero eso no viene al caso ) . Pero yo estoy diciendo que usted puede aprender a calcular la raíz cúbica de números como 283593393 , por aritmética mental solo.

Primer Truco

Cuando digo " la raíz cúbica de números como 283593393 " , hay por supuesto algo especial 283593393 , que es que se trata de un cubo de un número entero , por lo que es el cubo de la raíz es un número entero. Aunque hay un número 999999999 hasta 9 dígitos de longitud , sólo 999 de estos números tienen raíces cúbicas que sean números enteros.

Pero si usted está dando una exhibición de sus poderes de cálculo mental para una audiencia, esto no es problema . Dar a alguien en su público una calculadora. Diles que piensen en un número de 3 dígitos , se multiplica por sí mismo dos veces y le dirá la respuesta (que será de 7 a 9 dígitos ) . A continuación, les dice cuál fue el número original . No solicite que le suministren un número de 9 dígitos al azar , debido a que un número de 9 dígitos al azar , probablemente no será un cubo de un número entero , y usted estará en problemas, y las siguientes estrategias no funcionan.

Raíces cúbicas de hasta 3 dígitos

Si tuviera que calcular la raíz cúbica de un número de 3 dígitos , sería bastante fácil. Aquí hay una tabla de cubos de 1 a 10 :

Para hacer raíces cúbicas de 9 dígitos, usted va a tener que estar familiarizado con estos primeros 10 cubos. Así que puede también memorizarlos. Y si los ha aprendido de memoria , entonces realmente no hay ningún truco para el cálculo de las raíces cúbicas .

Raíces cúbicas hasta 6 dígitos

¿Cuál es la raíz cúbica de 300 763 ?

La raíz cúbica de un número de 6 dígitos tiene que ser inferior a 100 , por lo que podría considerar la posibilidad de memorizar los primeros 100 cubos. Sin embargo esto es una ardua tarea, y tampoco procede , por lo que no voy a sugerir que deba memorizar muchos cubos.

Echemos un vistazo a los primeros 3 dígitos , que son " 300 " . Ahora 300 es mayor que 216 = 6³ y menos de 343 = 7³ . Lo que significa que 300 763 es mayor que 216 000 = 60³ y menos de 343 000 = 70³. Así que sabemos que nuestra respuesta está en algún lugar entre el 60 y el 70 .

Para obtener el último dígito fácilmente , tenemos que utilizar la aritmética modular , y para que sea realmente fácil , vamos a hacer la aritmética módulo 10 . Todo esto significa que está haciendo la suma, resta y multiplicación , manteniendo sólo el último dígito de la respuesta. Una versión de módulo 10 de la tabla anterior es como sigue :

Un curioso patrón emerge : si Cubicamos un número del módulo 10 dos veces, volvemos al punto de partida . Así que 8³ = 512 = 2 (mod 10 , donde " mod " es una abreviatura de "módulo "), y 2³ = 8 = 8 (mod 10 ) .

La aplicación de este modelo a nuestro cubo problema 300,763 , deducimos que el último dígito debe ser 3³ = 27 = 7 (mod 10 ) . Así que la respuesta debe ser un número entre 60 y 70 con el último dígito 7 , que sólo puede ser 67 .

Raíces cúbicas hasta 9 dígitos

¿Cuál es la raíz cúbica de 580093704 ?

Usando las mismas técnicas , podemos calcular fácilmente los primeros y últimos dígitos de la raíz cúbica de un número de 9 dígitos ( suponiendo, como ya se ha dicho , que es conocido por ser el cubo de un número entero ) . Así , por ejemplo , mirando a 580093704 , comparamos 580-512 y 729 , para deducir que la raíz cúbica es entre 800 y 900 . El último dígito es 4 , por lo que el último dígito de la raíz cúbica debe ser 4³ = 64 = 4 (mod 10 ) .

Todo lo que queda por encontrar es la cifra media. Desafortunadamente hemos extraído toda la información que pueda de comparaciones de tamaño y mod 10 aritmética , y tenemos que pensar en otra cosa . Un "algo más" es un módulo diferente. Sin embargo, esto significa hacer divisiones largas en la cabeza para conseguir los restos , lo que es , posiblemente, demasiado trabajo . Necesitamos un módulo para el que exista un atajo fácil. Y tiene que ser más grande que 10 , si se trata de elegir de forma única la respuesta correcta de 10 posibilidades.

Hay dos candidatos principales , que son 9 y 11 .

Modulo 9 es fácil de calcular , ya que se calcula el resto de un número dividido por 9 con sólo añadir los dígitos. Por ejemplo 580093704 = 5 8 0 0 9 3 7 0 4 = 36 mod 9 = 3 6 (mod 9 ) = 9 (mod 9 ) = 0 . Un problema con 9 es que no es más grande que 10 . Sin embargo , esto podría no ser completamente fatal .

Hay un atajo para modulo 11 , pero es un poco más difícil . Comenzando desde el extremo derecho , se suma y se resta alternativamente los dígitos. Así 580093704 = 4 - 0, + 7-3 + 9-0 + 0-8 + 5 = 14 = 4 - 1 = 3 (módulo 11 ) . ( En este caso afortunadamente terminó con un número positivo menor que 11 , pero puede que tenga que ajustar la respuesta a una serie de esta gama , añadiendo o restando 11 . )

Para hacer uso de estos módulos , es necesario calcular las tablas de cubos mod 9 y 11 :

Lamentablemente hay un problema con el mod 9 , que es que sólo hay 3 posibles cubos mod 9 , lo que significa que yendo por el otro camino que hay, todavía va a tener de 3 o 4 opciones.

Mod. 11 funciona mejor , y podemos ver que cada valor de 0 a 10 se produce sólo una vez en la lista de cubos modulo 11 ( de 0 a 10 ) , lo que significa que las raíces de cubo se pueden calcular modulo 11 .

Volviendo de nuevo al ejemplo práctico , 580093704 = 3 módulo 11 , por lo que (mirando la tabla, que , por cierto , tendrá que memorizar ) la raíz cúbica = 9 modulo 11 . Ya hemos determinado que el primer dígito es 8 y el último dígito es 4. Si pensamos en la raíz cúbica como 8x4 , por alguna x , entonces tenemos la ecuación 4 - x + 8 = 9 modulo 11, es decir 12 - x = 9 modulo 11 , por lo que x = 3 módulo 11 . Lo que da una respuesta definitiva (y correcta) de 834.

conclusión

Así que ahí lo tienen , la forma de calcular raíces cúbicas de 9 números de dos dígitos en su cabeza. Hay una cierta cantidad de memorización y la suma y resta más incómoda por hacer, y es probable que tenga que acomodarse con éstas antes de intentarlo como un truco . Le sugiero que también le será mucho más fácil si se asegura de que se pueda ver el número al que está calculando la raíz cúbica de , para que no se acumule con la carga mental adicional de tener que memorizar el número.