Punto del infinito

El punto del infinito, punto en el infinito o punto impropio es una entidad topológica y geométrica que se introduce a modo de cierre o frontera infinita del conjunto de los números reales. Cuando se añade a la recta real genera una curva cerrada (véase fig.1) conocida como recta proyectiva real,

, que no es equivalente a la recta real ampliada, que tiene dos puntos distintos en el infinito.

Topología T

Para que el punto en el infinito represente efectivamente el infinito real se define en

la topología formada por todos los conjuntos:

A, que son abiertos de
B, que son complementarios de conjuntos compactos (cerrados y acotados) de

Los conjuntos A son los abiertos de

que no contienen el : mientras que los conjuntos B son los que sí lo contienen.

Sea

una sucesión de números reales tales que . Dentro del conjunto de los números reales, esto quiere decir únicamente que:

fig.1: La "recta proyectiva real (ℝP¹)" con el punto del infinito

Pero esta misma condición implica en

, genera una curva cerrada.

que

Es decir, que en

se escribe también . Sin embargo, sólo en se puede decir que la sucesión converge, puesto que .

En el plano complejo

El punto del infinito también puede añadirse al plano complejo,

, de manera que se transforme en una superficie cerrada (véasefig.cp1 y fig.cp2), la recta proyectiva compleja,

fig.cp1: Proyección estereográfica del plano complejo extendido sobre la "esfera de Riemann".

, también llamada esfera de Riemann, una esfera sobre el plano complejo y desde cuyo polo superior se proyectan el resto de puntos de la esfera sobre el plano complejo. De este modo, se establece una biyectividad en la que a cada punto de la esfera le corresponde uno del plano complejo. El homólogo del punto desde el que proyectamos estereográficamente se convierte en el punto del infinito.

Rectas paralelas en ℝ²

Al igual que dos rectas secantes comparten un punto, dos rectas paralelas comparten una dirección, por lo que a esas direcciones también se las conoce como puntos impropios de esas rectas en las que se encuentran. Por ejemplo, en

fig.cp2: La "esfera de Riemann" puede ser visualizada como el plano complejo envuelto alrededor de una esfera.

no es posible determinar con exactitud la posición del punto del infinito mediante unas coordenadas absolutas

. Para conseguirlo, se acude a las coordenadas homogéneas, donde e representan la dirección del vector director de la recta. Las anteriores coordenadas absolutas