Proporción áurea
Proporción áurea
En las matemáticas , dos cantidades están en la proporción de oro si su relación es la misma que la relación de su suma a la mayor de las dos cantidades. La figura de la derecha muestra la relación geométrica. Expresado en forma algebraica, para las cantidades a y b con un > b ,
donde la letra griega phi (
) representa la proporción áurea. Su valor es:
Los segmentos de línea en la proporción áurea
El coeficiente de oro también se conoce como la sección áurea (latín: aurea secció ) o justo medio . Otros nombres incluyen extrema y media razón, sección media , proporción divina , sección divina (latín: divina secció ), proporción áurea , corte de oro , y el número de oro .
Algunos del siglo XX los artistas y arquitectos , entre ellos Le Corbusier y Dalí , han proporciónado sus trabajos para aproximar el coeficiente-sobre todo en la forma del rectángulo de oro , en la que la relación del lado más largo al más corto es el de oro coeficiente-creyendo esta proporción para ser estéticamente agradable (verAplicaciones y observaciones a continuación). matemáticos desde Euclides han estudiado las propiedades de la proporción áurea, incluyendo su aparición en las dimensiones de un pentágono regular y en un rectángulo de oro , que puede ser cortado en un cuadrado y un rectángulo más pequeño con la misma relación de aspecto . El coeficiente de oro también se ha utilizado para analizar las proporciones de los objetos naturales, así como los sistemas hechos por el hombre, tales como los mercados financieros , en algunos casos basados en ataques dudosas a los datos.
Se conocen al menos 1.000.000.000.000 dígitos decimales.
Un rectángulo de oro con a lado largo y b más corto , cuando se coloca al lado de un cuadrado con lados de longitud a, se producirá un parecido con el rectángulo de oro ya lado a + b y el lado más corto a . Esto ilustra la relación
Cálculo
Un método para encontrar el valor de φ es comenzar con la fracción de la izquierda. A través de la simplificación de la fracción y sustituyendo en b / a = 1 / φ,
1.1001111000110111011 ...
1,6180339887498948482 ...
1.9E3779B97F4A7C15F39 ...
.
Por lo tanto,
Multiplicando por φ da
que puede ser reorganizado para
El uso de la fórmula cuadrática , se obtienen dos soluciones:
y
Debido a φ es la relación entre las cantidades positivas φ es necesariamente positivo:
.
Historia
El número áureo ha fascinado a los intelectuales occidentales de diversos intereses durante al menos 2.400 años. Según Mario Livio :
Algunas de las mentes más grandes matemáticos de todas las edades, desde Pitágoras y Euclides en la antigua Grecia , a través del matemático italiano medieval Leonardo de Pisa y el astrónomo renacentista Johannes Kepler , a las actuales figuras científicas como Oxford físico Roger Penrose , han pasado horas y horas sobre esta simple relación y sus propiedades. Pero la fascinación por el cociente de oro no se limita sólo a los matemáticos. Los biólogos, artistas, músicos, historiadores, arquitectos, psicólogos, e incluso místicos han reflexionado y debatido sobre la base de su ubicuidad y la apelación. De hecho, es probablemente justo decir que la Proporción Áurea ha inspirado a los pensadores de todas las disciplinas como ningún otro número en la historia de las matemáticas.
Griego antiguo primero matemáticos estudian lo que ahora llamamos la proporción de oro debido a su frecuente aparición en la geometría . La división de una línea en "extrema y media razón" (la sección de oro) es importante en la geometría de regulares pentagramas y pentágonos . Euclides 's elementos ( griego : Στοιχεῖα ) proporciona la primera definición escrita conocida de lo que ahora se llama el oro relación: "Una línea recta se dice que ha sido cortada en extrema y media razón . cuando, como toda la línea es el segmento mayor, por lo que es la mayor a la menor " Euclides explica una construcción para cortar (seccionamiento) una línea "en extrema y media razón", es decir, la proporción áurea. A lo largo de los Elementos , varias proposiciones ( teoremas en la terminología moderna) y sus pruebas emplean la proporción áurea.
La proporción áurea es explorada en Luca Pacioli 's libro De divina proportione de 1509.
La primera aproximación conocida del (inverso) proporción de oro por una fracción decimal , declaró como "alrededor 0.6180340", fue escrita en 1597 por Michael Maestlin de la Universidad de Tübingen , en una carta a su antiguo estudiante Johannes Kepler .
Desde el siglo 20, la proporción áurea se ha representado por la letra griega φ ( phi , después de Fidias , un escultor que se dice que ha empleado ella) o menos comúnmente por τ ( tau , la primera letra del griego antiguo raíz τομή- que significa corte ).
El matemático Marcos Barr propuso utilizar la primera letra del nombre del escultor griego Fidias , phi , para simbolizar la proporción áurea. Por lo general, se utiliza la forma en minúsculas (φ). A veces, la forma mayúscula (Φ) se utiliza para larecíproca de la relación de oro, 1 / φ.
Cronología
Línea de tiempo de acuerdo con Priya Hemenway:
Fidias (490-430 aC) hizo las Partenón estatuas que parecen encarnar la proporción áurea.
Platón (427-347 aC), en su Timeo , describe cinco posibles sólidos regulares (los sólidos platónicos : el tetraedro , cubo , octaedro , dodecaedro y icosaedro ), algunos de los cuales están relacionados con el número áureo.
Euclid (. c. 325-c 265 aC), en sus elementos , dio la primera definición grabada de la proporción áurea, que él llamó, según la traducción en Inglés, "extrema y media razón" (griego: ἄκρος καὶ μέσος λόγος).
Fibonacci (1170-1250) menciona la serie numérica ahora lleva su nombre en su Liber Abaci , la proporción de elementos secuenciales de la secuencia de Fibonacci se aproxima a la proporción áurea asintóticamente.
Luca Pacioli (1445-1517) define el número áureo como la "divina proporción" en su Divina Proportione .
Michael Maestlin (1550-1631) publica la primera aproximación conocida del (inverso) número áureo como una fracción decimal .
Johannes Kepler (1571-1630) demuestra que la proporción áurea es el límite de la relación de los números de Fibonacci consecutivos, y describe la proporción áurea como "joya preciosa": "La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras , y el otro la división de una línea en extrema y media razón, la primera podemos comparar a una medida de oro, el segundo podemos nombrar una joya preciosa ". Estos dos tesoros se combinan en eltriángulo de Kepler .
De Charles Bonnet (1720-1793) señala que en la espiral filotaxis de las plantas que va hacia la derecha y hacia la izquierda eran con frecuencia de dos series sucesivas de Fibonacci.
Martin Ohm (1792-1872) se cree que es el primero en utilizar el término goldener Schnitt (sección de oro) para describir esta relación, en 1835.
Édouard Lucas (1842-1891) da la secuencia numérica que ahora se conoce como la secuencia Fibonacci su nombre actual.
Marcos Barr (siglo 20) sugiere la letra griega phi ( φ ), la letra inicial del nombre del escultor griego Fidias, como un símbolo de la proporción áurea.
Roger Penrose (nacido en 1931) descubrió en 1974 el suelo de baldosas de Penrose , un patrón que se relaciona con la proporción áurea, tanto en la relación de áreas de los dos azulejos romboidales y en su frecuencia relativa dentro del patrón. Esto a su vez llevó a los nuevos descubrimientos sobre los cuasicristales .
Las solicitudes y observaciones
Estética
Historia de la estética (anterior al siglo 20)
De Divina Proportione , una obra en tres volúmenes por Luca Pacioli , fue publicado en 1509. Pacioli, un franciscano fraile , era conocido sobre todo como matemático, sino que también fue entrenado y muy interesado en el arte. De Divina Proportione exploró las matemáticas de la proporción áurea. Aunque a menudo se dice que Pacioli abogó por la aplicación de la proporción áurea para producir, armoniosas proporciones agradables, Livio señala que la interpretación se ha remontado a un error en 1799, y que Pacioli realidad defendido la Vitruvio sistema de proporciones racionales.Pacioli también vio la significación religiosa católica en la relación, lo que llevó al título de su obra. De Divina Proportione contiene ilustraciones de sólidos regulares por Leonardo da Vinci , amigo de mucho tiempo de Pacioli y colaborador.Muchas de las proporciones del Partenón se alegan para exhibir el número áureo.
Arquitectura
El Partenón 's fachada, así como elementos de su fachada y en otros lugares se dice por algunos que ser circunscrito por rectángulos áureos. Otros estudiosos niegan que los griegos tenían ninguna asociación estética con la proporción áurea. Por ejemplo, Midhat J. Gazale dice: "No fue hasta que Euclides, sin embargo, que se estudiaron las propiedades matemáticas de la proporción áurea. En Elementos (308 aC), el matemático griego simplemente considera ese número como un número irracional interesante, en relación con las proporciones medias y extremas. Su presencia en pentágonos regulares y decágonosfue debidamente respetado, así como en el dodecaedro (un poliedro regular cuyas caras son doce pentágonos regulares). De hecho, es ejemplar que la gran Euclides, en contra de generaciones de místicos que seguido, sería tratar con seriedad ese número como lo que es, sin asociar a él con excepción de sus propiedades objetivas ". Y Keith Devlin dice, "Ciertamente, la afirmación tantas veces repetida de que el Partenón de Atenas está basado en la proporción áurea es no compatible con las medidas reales. De hecho, toda la historia de los griegos y proporción de oro parece ser infundada. Lo único que sabemos con certeza es que Euclides, en su famoso libro de texto Elementos , escrito alrededor del año 300 aC, mostró cómo calcular su valor ". Cerca de las fuentes-contemporáneos como Vitrubio discutir exclusivamente proporciones que se pueden expresar en números enteros, es decir, acorde a diferencia de proporciones irracionales.
A 2.004 análisis geométrico de la investigación anterior a la Gran Mezquita de Kairouan revela una aplicación coherente de la proporción áurea en todo el diseño, de acuerdo con Boussora y Mazouz. Encontraron proporciones cercanas a la proporción áurea en la proporción global del plan y en el dimensionamiento del espacio de oración, el tribunal, y elminarete . Los autores señalan, sin embargo, que las áreas donde se encontraron proporciones cercanas a la proporción áurea no son parte de la construcción original, y la teoría de que estos elementos se añadieron en la reconstrucción.
El suizo arquitecto Le Corbusier , famoso por sus contribuciones a la moderna estilo internacional , centra su filosofía de diseño de los sistemas de la armonía y proporción. La fe de Le Corbusier en el orden matemático del universo estaba estrechamente ligada a la proporción áurea y la serie de Fibonacci, que ha calificado de "ritmos aparentes a simple y clara en sus relaciones con los otros. Y estos ritmos se encuentran en la raíz misma de las actividades humanas. Ellos resuenan en el hombre por una fatalidad orgánica, la misma inevitabilidad fina que hace que el trazado de la sección áurea por niños, ancianos, los salvajes y los sabios ".
Le Corbusier utiliza explícitamente la proporción áurea en su Modulor sistema para la escala de proporción arquitectónica . Vio a este sistema como una continuación de la larga tradición de Vitruvio "de Leonardo da Vinci Hombre de Vitruvio ", la obra de Leon Battista Alberti , y otros que utiliza las proporciones del cuerpo humano para mejorar la apariencia y función de la arquitectura . Además de la proporción áurea, Le Corbusier basa el sistema de medidas humanas , los números de Fibonacci , y la doble unidad. Él aceptó la sugerencia de la proporción áurea en las proporciones humanas a un extremo: se secciona la altura de su modelo del cuerpo humano en el ombligo con las dos secciones en proporción áurea, luego subdividido esas secciones en proporción áurea en las rodillas y la garganta; él utilizó estas proporción áurea proporciones en el Modulor sistema. De Le Corbusier 1927 Villa Stein en Garches ejemplifica la aplicación del sistema Modulor. El plan de la villa de planta rectangular, la elevación, y la estructura interna. Estrechamente aproximadas rectángulos áureos
Otro arquitecto suizo Mario Botta , basa muchas de sus diseños en figuras geométricas. Varias casas privadas que diseñó en Suiza se componen de cuadrados y círculos, cubos y cilindros. En una casa que él diseñó en Origlio , la proporción áurea es la proporción entre la sección central y las secciones laterales de la casa.
En un libro reciente, el autor Jason Elliot especuló que la proporción de oro fue utilizado por los diseñadores de la Jahan Square Naqsh-e y la mezquita Lotfollah adyacente.
Pintura
El filósofo del siglo 16 Heinrich Agripa dibujó un hombre sobre una estrella de cinco puntas dentro de un círculo, lo que implica una relación con la proporción áurea.
Leonardo da Vinci ilustraciones 's de poliedros en De proportione divina ( en la Divina Proporción ) y sus puntos de vista que algunas proporciones corporales muestran la proporción áurea han llevado a algunos investigadores a especular que él incorporó la proporción áurea en sus pinturas. Sin embargo, el sugerencia de que la Mona Lisa , por ejemplo, emplea proporciones proporción de oro, no es apoyado por nada en los propios escritos de Leonardo. Del mismo modo, aunque el Hombre de Vitruvio es a menudo se muestra en relación con la proporción áurea, la proporción de la cifra en realidad no coincide con él, y el texto sólo menciona cocientes de números enteros.
Salvador Dalí , influido por las obras de Matila Ghyka , utiliza explícitamente la proporción áurea en su obra maestra, El sacramento de la última cena . Las dimensiones del lienzo son un rectángulo áureo. Un enorme dodecaedro, en perspectiva de modo que los bordes aparecen en proporción áurea entre sí, está suspendido por encima y detrás de Jesús y domina la composición.
Mondrian se ha dicho que han utilizado la sección de oro extensivamente en sus pinturas geométricas, aunque otros expertos (entre ellos el crítico Yve-Alain Bois ) han cuestionado esta afirmación.
Un estudio estadístico sobre 565 obras de arte de diferentes grandes pintores, realizado en 1999, encontró que estos artistas no habían utilizado la proporción áurea en el tamaño de sus lienzos. El estudio concluyó que la proporción media de los dos lados de las pinturas estudiadas es de 1.34, con promedios de artistas individuales que van desde 1.04 (Goya) a 1,46 (Bellini). Por otro lado, Pablo Tosto listado con más de 350 obras de artistas de renombre, entre ellos más de 100 que tiene lienzos con rectángulo áureo y la raíz-5 proporciones, y otros con proporciones como root-2, 3, 4 y 6.
Diseño del libro
Cánones de la página de la construcción
Según Jan Tschichold ,
Hubo un momento en que las desviaciones de las proporciones verdaderamente hermosas páginas 2:03, 1: √ 3, y la sección áurea eran raros. Muchos libros producidos entre 1550 y 1770 muestran estas proporciones exactamente, a menos de medio milímetro.
Muchas de las proporciones del Partenón se alegan para exhibir el número áureo.
El dibujo del cuerpo de un hombre en un pentagrama sugiere relaciones con la proporción áurea.
Michael Maestlin , primero en publicar una aproximación decimal del cociente de oro, en 1597
Diseño
Algunas fuentes afirman que la proporción áurea se usa comúnmente en el diseño de todos los días, por ejemplo en la forma de postales, naipes, carteles, televisores de pantalla ancha, fotografías, placas de interruptores de luz y los coches.
Optimización
Música
Ernő Lendvaï analiza Béla Bartók obras 's por estar basada en dos sistemas opuestos, el de la proporción áurea y la escala acústica , aunque otros estudiosos de la música rechazan ese análisis.ç compositor francés Erik Satie utilizó la proporción áurea en varios de sus piezas, incluyendo Sonneries de la Rose + Croix .El coeficiente de oro también es evidente en la organización de las secciones de la música de Debussy 's Reflets dans l'eau (Reflejos en el agua) , a partir deimágenes (1 ª serie, 1905), en el que "la secuencia de teclas está marcada por los intervalos de 34, 21, 13 y 8, y el clímax principal se sienta en la posición phi ".
El musicólogo Roy Howat ha observado que los límites formales de La Mer se corresponden exactamente con la sección áurea.Trezise encuentra la evidencia intrínseca "notable", pero advierte que no hay evidencia escrita o reportado sugiere que Debussy buscó conscientemente tales proporciones.
Pearl Drums posiciona las salidas de aire en sus modelos Masters prima basada en la proporción áurea. La compañía afirma que esta disposición mejora la respuesta de graves y ha solicitado una patentesobre esta innovación.
Aunque Heinz Bohlen propuso la no-repetición de octava 833 centavos escala basado en sonidos de combinación , la afinación cuenta con relaciones basadas en el número áureo. Como intervalo musical la relación de 1.618 ... es ... 833,090 centavos
Naturaleza
Adolf Zeising , cuyos intereses principales eran las matemáticas y la filosofía, que se encuentra la proporción áurea se expresa en la disposición de las ramas a lo largo del tallo de las plantas y de las venas en las hojas. Él extendió sus investigaciones a los esqueletos de los animales y las ramificaciones de sus venas y nervios, a las proporciones de compuestos químicos y la geometría de los cristales , incluso con el uso de la proporción de los esfuerzos artísticos. En estos fenómenos que vio la proporción de oro que funciona como una ley universal. En el marco de su plan para las proporciones del cuerpo humano a base de oro-ratio, Zeising escribió en 1854 de una ley universal "en el que se contiene el suelo -principio de todo esfuerzo formativo para la belleza y la integridad en los reinos de la naturaleza y el arte, y que impregna, como un ideal espiritual suprema, todas las estructuras , formas y proporciones , ya sea cósmico o individual,orgánico o inorgánico , acústico o óptico , el cual encuentra su realización más plena posible, sin embargo, en la forma humana ".
En 2010, la revista Ciencia informó que la proporción de oro está presente a escala atómica en la resonancia magnética de giros en los cristales de niobato de cobalto.
Desde 1991, varios investigadores han propuesto las conexiones entre la proporción áurea y genoma humano ADN
Sin embargo, algunos han argumentado que muchas de las aparentes manifestaciones de la proporción áurea en la naturaleza, sobre todo en lo que se refiere a las dimensiones de los animales, son en realidad ficticia.
Representación de las proporciones en un manuscrito medieval. Según Jan Tschichold : "... proporción Página 2:03 proporciones 1:1:2:3 Margen Área de texto proporcionado en la sección de oro"
La proporción áurea es la clave para la búsqueda de la sección de oro .
Un detalle de un tabuliforme Aeonium enTrädgårdsföreningen , Göteborg
Estudios de percepción
Los estudios realizados por psicólogos, a partir de Fechner , se han ideado para poner a prueba la idea de que la proporción de oro juega un papel en la percepción humana de la belleza . Mientras Fechner encontró una preferencia por relaciones rectángulo centrado en la proporción áurea, los siguientes intentos para probar cuidadosamente esta hipótesis han sido, en el mejor, no concluyentes.
Matemáticas
Cociente de oro conjugado
La raíz negativa de la ecuación cuadrática para φ (la "raíz conjugada") es
El valor absoluto de esta cantidad (≈ 0.618) corresponde a la relación de longitud tomada en orden inverso (longitud del segmento más corto sobre la longitud del segmento más largo, B / A ), y se refiere a veces como la relación de conjugado de oro . [ 11 ] Se denota aquí por la capital Phi ( Φ ):
Alternativamente, Φ se puede expresar como
Esto ilustra la propiedad única de la proporción áurea entre los números positivos, que
o su inversa:
Esto significa 0,61803 ...: 1 = 1:1.61803 ....
Pruebas cortas de la irracionalidad
Contradicción de una expresión en su mínima expresión
Recordemos que:
el todo es la parte más larga, más la parte más corta;
el todo es la parte más larga que la parte más larga es la parte más corta.
Si llamamos a toda la n y la parte más larga m , entonces la segunda declaración anterior se convierte en
n es m como m es n - m ,
o, algebraicamente
Para decir que φ es medios racionales que φ es una fracción n / m , donde n y m son números enteros. Podemos tomar n / m para estar en condiciones y precios más n y m sea positivo. Pero si n / m es en su mínima expresión, entonces la identidad marcada (*) arriba dice m / ( n - m ) es en términos aún más bajos. Esa es una contradicción que se deriva de la suposición de que φ es racional.
Si φ eran racional , entonces sería la razón de los lados de un rectángulo con lados enteros. Pero también es una razón de los lados, que también son números enteros, del rectángulo más pequeño obtenido mediante la eliminación de un cuadrado. La secuencia de la disminución de longitudes de los lados enteros formados mediante la supresión de los cuadrados no puede continuar indefinidamente, por lo que φ no puede ser racional.
Derivación de la irracionalidad de √ 5
Otra prueba corta, tal vez más conocido-de la irracionalidad de la proporción áurea hace uso de la clausura de los números racionales bajo la suma y la multiplicación. Si
es racional, entonces también es racional, lo cual es una contradicción, si ya se sabe que la raíz cuadrada de un no número cuadrado natural es irracional.
Formas alternativas
La fórmula φ = 1 + 1 / φ se puede ampliar de forma recursiva para obtener una fracción continua de la proporción de oro:
y su recíproco:
Los convergentes de estas fracciones continuas (1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, ..., o 1/1, 1/2, 2/3, 3 / 5, 5/8, 8/13, ...) son las relaciones de los sucesivos números de Fibonacci .
La ecuación φ 2 = 1 + φ produce asimismo la continua raíz cuadrada o irracional infinito, formulario:
Aproximaciones a la proporción áurea recíproca por fracciones continuas finitas, o proporciones de los números de Fibonacci
Una serie infinita se puede derivar de expresar phi: [ 66 ]
También:
Estos corresponden al hecho de que la longitud de la diagonal de un pentágono regular es φ veces la longitud de su lado, y las relaciones similares en un pentagrama .
Geometría
El número φ convierte con frecuencia en geometría , en particular en las figuras con pentagonal simetría . La duración de un habitual pentágono 's diagonal es φ veces su lado. Los vértices de un habitual icosaedro son los de tres mutuamente ortogonales rectángulos áureos .
No hay general conocido algoritmo para organizar un número dado de nodos de manera uniforme sobre una esfera, por cualquiera de varias definiciones de distribución uniforme (véase, por ejemplo, un problema de Thomson ). Sin embargo, unos resultados útiles aproximación de dividir la esfera en bandas paralelas de igual superficie y la colocación de un nodo en cada banda de longitudes separadas por una sección de oro del círculo, es decir, 360 º / Phi ≅ 222.5 °. Este método fue utilizado para organizar los 1500 espejos del estudiante participativo satélite Starshine-3 .
División de un segmento de línea
El siguiente algoritmo produce una construcción geométrica que divide un segmento de línea en dos segmentos de línea donde la relación del tiempo para el segmento de línea más corto es el cociente de oro:
Tener un segmento de línea AB, construir un BC perpendicular en el punto B, con BC mitad de la longitud de AB. Dibuje la hipotenusa AC.
Dibuja un arco con centro C y radio de BC. Este arco se cruza con el AC hipotenusa en el punto D.
Dibuja un arco con centro en A y radio AD. Este arco se cruza con el segmento de línea AB original en el punto S. Point S divide el segmento AB original en segmentos de línea AS y SB con longitudes en la proporción áurea.
Aproximados y verdaderas espirales doradas . El verde espiral está hecha de cuartos de círculo tangente al interior de cada cuadrado, mientras que el rojo de caracol es una espiral de oro, un tipo especial de espiral logarítmica . Porciones superpuestas aparecen amarilla . La longitud del lado de un cuadrado dividido por el de la siguiente cuadrado más pequeño es el número áureo.
El triángulo de oro, pentágono y pentagrama
Triángulo de oro
El triángulo de oro puede ser caracterizado como un triángulo isósceles ABC con la propiedad de que bisectriz del ángulo C produce un nuevo triángulo CXB que es un triángulo semejante al original.
Si el ángulo de BCX = α, entonces XCA = α debido a la bisección, y CAB = α debido a los triángulos semejantes; ABC = 2α de la simetría isósceles original, y BXC = 2α por similitud. Los ángulos de un triángulo suman 180 º, de manera 5α = 180, dando α = 36 °. Así que los ángulos del triángulo de oro son, pues, 36 ° -72 ° -72 °. Los ángulos del triángulo isósceles obtusos restante AXC (a veces llamado el gnomon de oro) son 36 ° -36 ° -108 °.
Supongamos XB tiene longitud 1, y lo llamamos longitud BC φ. Debido a la triángulos isósceles XC = XA y BC = XC, así que estos son también de longitud φ.Longitud de CA = AB, por lo tanto, es igual a φ + 1. Pero el triángulo ABC es similar al triángulo CXB, por lo que AC / AC = BC / BX, y así de CA también es igual a φ 2 . Así φ 2 = φ + 1, lo que confirma que φ es de hecho la proporción áurea.
Del mismo modo, la relación entre el área del triángulo más grande AXC a la CXB más pequeño es igual a φ, mientras que la inversa relación es φ - 1.
División de un segmento de recta de acuerdo a la proporción áurea
Pentágono
En un pentágono regular la relación entre un lado y una diagonal es
(es decir, 1 / φ), mientras que la intersección diagonales sección entre sí en la proporción áurea.
Odom construcción El triángulo de oro
George Odom ha dado una construcción muy simple para φ implica un triángulo equilátero: si un triángulo equilátero inscrito en un círculo y el segmento de recta que une los puntos medios de dos lados se produce para intersectar el círculo en uno de los dos puntos, entonces estos tres puntos están en proporción áurea.Este resultado es una consecuencia directa del acordes intersección teorema y se puede utilizar para construir un pentágono regular, una construcción que atrajo la atención del geómetra canadiense señalado HSM Coxeter , que lo publicó en el nombre de Odom como un diagrama en el American Mathematical Monthlyacompañado de la sola palabra "¡He aquí!"
Pentagram
La proporción de oro juega un papel importante en la geometría de estrellas de cinco puntas . Cada intersección de aristas secciones otras aristas en la proporción áurea. También, la relación de la longitud del segmento más corto para el segmento delimitado por los dos bordes de intersección (un lado del pentágono en el centro de la estrella de cinco puntas) es φ, como los cuatro colores ilustración.
El pentagrama incluye diez triángulos isósceles : cinco aguda y cinco obtusos triángulos isósceles. En todos ellos, la proporción del lado largo al lado más corto es φ. Los triángulos agudos son triángulos de oro . Los triángulos isósceles obtusos son gnomones oro .
Teorema de Ptolomeo
Las propiedades proporción de oro de un pentágono regular se pueden confirmar mediante la aplicación del teorema de Ptolomeo al cuadrilátero formado por la eliminación de uno de sus vértices. Si el borde y diagonales largo del cuadrilátero son b , y los bordes cortos son una , entonces el teorema de Ptolomeo da b 2 = a 2 + ab que los rendimientos
Sean A y B son los puntos medios de los lados EF y ED de un triángulo equilátero DEF. Extienda AB para satisfacer la circunferencia circunscrita de DEF en C.
Triángulo cuyos lados forman una progresión geométrica
Scalenity de triángulos
Si las longitudes de los lados de un triángulo forman una progresión geométrica y están en la relación de 1: r : r 2 , donde R es la relación común, entonces R debe estar en el intervalo φ-1 < r <φ, que es una consecuencia de la desigualdad triangular (la suma de cualquiera de los dos lados de un triángulo debe ser estrictamente más grande que la longitud de la tercera parte). Si r = φ entonces los dos lados más cortos son 1 y φ pero su suma es φ 2 , por lo que r <φ. Un cálculo similar muestra que r > φ-1. Un triángulo cuyos lados están en la proporción 1: √ φ: φ es un triángulo rectángulo (porque 1 + φ = φ 2 ) conocido comotriángulo de Kepler .
Considere la posibilidad de un triángulo con lados de longitudes de un , B , y C en orden decreciente. Definir el "scalenity" del triángulo que es el menor de los dos coeficientes de un / b y b / c . El scalenity es siempre menor que φ y se puede hacer tan cerca como se desee para φ.
El triángulo de oro, rombo, y triacontaedro rómbica
Un rombo dorado es un rombo cuyas diagonales están en la proporción áurea. El triacontaedro rómbico es un politopo convexo que tiene una propiedad muy especial: todas sus caras son rombos de oro. En el rombo triacontaedro el ángulo diedro entre dos rombos adyacentes es 144 °, que es el doble del ángulo isósceles de un triángulo de oro y cuatro veces su ángulo más agudo.
Una estrella de cinco puntas de color para distinguir sus segmentos de línea de diferentes longitudes. Los cuatro longitudes están en proporción áurea entre sí.
Relación con la secuencia de Fibonacci
La matemática de la proporción áurea y de la sucesión de Fibonacci están íntimamente interconectados. La sucesión de Fibonacci es:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, ....
La expresión de forma cerrada (conocido como Binet fórmula 's, a pesar de que ya era conocido por Abraham de Moivre ) para la secuencia de Fibonacci consiste en la proporción áurea:
Por lo tanto, si un número de Fibonacci se divide por su predecesor inmediato en la secuencia, el cociente se aproxima φ; por ejemplo, 987/610 ≈ 1,6180327868852. Estas aproximaciones son alternativamente menor y mayor que φ, y convergen en φ como los números aumentan de Fibonacci, y:
La proporción de oro en un pentágono regular se puede calcular usando el teorema de Ptolomeo .
Más en general:
donde anteriormente, las relaciones de términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci, es un caso cuando
.
Por otra parte, las sucesivas potencias de φ obedecen la Fibonacci recurrencia :
Esta identidad permite que cualquier polinomio en φ a ser reducido a una expresión lineal. Por ejemplo:
Uno de rombos de la triacontaedro rómbica
Sin embargo, esto no es una propiedad especial de φ, porque polinomios en cualquier solución de x a una ecuación de segundo grado se pueden reducir de una manera análoga, mediante la aplicación de:
para coeficientes dados un , b tales que x satisface la ecuación. Incluso de manera más general, cualquier función racional (con coeficientes racionales) de la raíz de un irreductible N TH-grado del polinomio sobre los números racionales se puede reducir a un polinomio de grado n - 1. Expresado en términos de la teoría de campos , si α es una raíz de un irreductible n º-grado del polinomio, luego
tiene grado n sobre , con la base .Simetrías
La proporción de oro y número áureo inversa tienen un conjunto de simetrías que preservan y se interrelacionan ellos. Ambos son preservadas por las transformaciones lineales fraccionales
Todas las caras de la triacontaedro rómbica son rombos de oro
- este hecho se corresponde con la identidad y la ecuación de segundo grado de definición. Además, que se intercambian por los tres mapas
- que son recíprocos, simétrica con respecto a , y (proyectivamente) simétrica alrededor de 2.Más profundamente, estos mapas forman un subgrupo del grupo modular
isomorfo al grupo simétrico en 3 letras, correspondiente alestabilizador del conjunto
de 3 puntos estándar en la línea proyectiva , y las simetrías se corresponden con el mapa cociente
- el subgrupo que consiste en los 3-ciclos y la identidad fija los dos números, mientras que los 2 ciclos intercambian estos, realizando así el mapa.
Otras propiedades
La proporción de oro tiene la expresión más simple (y la convergencia más lenta) como un desarrollo en fracción continua de un número irracional (ver formas alternativas arriba). Es, por ello, uno de lospeores casos de aproximación teorema de Lagrange y es un caso extremal de la desigualdad de Hurwitz para aproximaciones diofánticas . Tal vez por eso los ángulos cerca de la proporción áurea suele aparecer en filotaxis (el crecimiento de las plantas).
La definición de polinomio de segundo grado y la relación conjugada conducen a valores decimales que tienen su parte fraccionaria en común con φ:
Una espiral de Fibonacci que se aproxima a la espiral de oro , utilizando Fibonacci secuencia cuadrados tamaños de hasta 34.
La secuencia de los poderes de φ contiene estos valores de 0,618 ..., 1.0, ... 1.618, 2.618 ...; más en general, cualquier potencia de φ es igual a la suma de las dos potencias inmediatamente anteriores:
Como resultado, se puede descomponer fácilmente cualquier poder de φ en un múltiplo de φ y una constante. La múltiple y la constante son siempre los números de Fibonacci adyacentes. Esto nos lleva a otra característica de las potencias positivas de φ:
Si
, a continuación:
Cuando se utiliza el número áureo como base de un sistema de numeración (ver base de proporción áurea , a veces apodado phinary o φ-nario ), cada número entero tiene una representación de terminación, a pesar de ser irracional φ, pero cada fracción tiene una representación no concluida.
La proporción áurea es una unidad fundamental del campo de números algebraicos y es un número Pisot-Vijayaraghavan . En el campo tenemos , donde es el -ésimo número Lucas .
El coeficiente de oro también aparece en la geometría hiperbólica , como la distancia máxima desde un punto en un lado de un triángulo ideales a la más estrecha de los otros dos lados: esta distancia, la longitud del lado del triángulo equilátero formado por los puntos de tangencia de un círculo inscrito en el triángulo ideal, está a 4 ln φ.
Expansión decimal
Expansión decimal del número áureo puede calcularse directamente a partir de la expresión
con √ 5 ≈ 2.2360679774997896964. La raíz cuadrada de 5 se puede calcular con el método babilónico , a partir de una estimación inicial como x φ = 2 y la iteración
para n = 1, 2, 3, ..., hasta que la diferencia entre x n y x n -1 se convierte en cero, hasta el número deseado de dígitos.
El algoritmo de Babilonia para √ 5 es equivalente al método de Newton para resolver la ecuación x 2 - 5 = 0. En su forma más general, el método de Newton se puede aplicar directamente a cualquierecuación algebraica , incluyendo la ecuación x 2 - x - 1 = 0 que define la proporción áurea. Esto le da una iteración que converge a la propia razón áurea,
para una estimación inicial apropiada x φ como x φ = 1. Un método ligeramente más rápido es volver a escribir la ecuación como x - 1 - 1 / x = 0, en cuyo caso la iteración de Newton se convierte
Estas iteraciones todos convergen cuadráticamente , es decir, cada paso más o menos duplica el número de dígitos correctos. Por consiguiente, la proporción de oro es relativamente fácil de calcular conprecisión arbitraria . El tiempo necesario para calcular n dígitos del número áureo es proporcional al tiempo que se necesita para dividir dos n números dígitos. Esto es considerablemente más rápido que los algoritmos conocidos para los números trascendentales π y e .
Una alternativa fácil programar usando sólo la aritmética de enteros es calcular dos grandes números de Fibonacci consecutivos y dividirlos. La relación de los números de Fibonacci F 25001 y F 25000 , cada uno más de 5.000 dígitos, produce más de 10.000 dígitos significativos de la proporción áurea.
La proporción de oro φ se ha calculado con una precisión de varios millones de dígitos decimales (secuencia A001622 en OEIS ). Alexis Irlande realiza cálculos y la verificación de los primeros 17 mil millones dígitos.
Pirámides
Ambas pirámides de Egipto y los regulares matemáticos pirámides cuadradas que se parecen a ellos pueden ser analizados con respecto a la proporción de oro y otras relaciones.
Pirámides matemáticos y triángulos
Una pirámide en el que la apotema (altura inclinada a lo largo de la bisectriz de una cara) es igual a φ veces la semi-base (la mitad de la anchura de la base) es a veces llamado una pirámide de oro . El triángulo isósceles que es la cara de una pirámide de este tipo puede ser construido a partir de las dos mitades de un rectángulo de oro en diagonal dividir (de tamaño semi-base por apotema), que une los bordes del medio de longitud para hacer la apotema. La altura de esta pirámide es
veces la semi-base (es decir, la pendiente de la cara es ); el cuadrado de la altura es igual al área de una cara, los tiempos de φ el cuadrado de la semi-base.
El medial triángulo rectángulo de la pirámide "de oro" (ver diagrama), con lados
Una pirámide cuadrada regular se determina por su triángulo rectángulo medial, cuyas aristas son apotema de la pirámide (a), semi-base (b) y la altura (h), el ángulo de inclinación de la cara también está marcada. Proporciones matemáticas b: h: una de
es interesante en sí mismo, lo que demuestra a través del teorema de Pitágoras a la relación o . Este " triángulo de Kepler " es la única proporción correcta triángulo con longitudes de arista en progresión geométrica, así como el triángulo 3-4-5 es la única proporción triángulo rectángulo con longitudes de arista enprogresión aritmética . El ángulo con la tangente
corresponde al ángulo que el lado de la pirámide hace con respecto al suelo, 51.827 ... grados (51 ° 49 '38 ").
Una forma de pirámide casi similar, pero con proporciones racionales, se describe en el papiro matemático de Rhind (la fuente de una gran parte de los conocimientos modernos de la antigua matemática egipcia ), basado en el triángulo 03:04:05,] la cuesta cara que corresponde al ángulo de la tangente 4/3 es 53,13 grados (53 grados y 8 minutos).] La altura inclinada o apotema es de 5/3 o 1.666 ... veces la semi-base. El papiro Rhind tiene otro problema pirámide, así, de nuevo con pendiente racional (expresado como carrera en ascenso). Matemáticas egipcias no incluían la noción de los números irracionales, y la pendiente racional inversa (ejecutar / subida, multiplicado por un factor de 7 para convertir a sus unidades convencionales de palmas por codo) se utilizó en la construcción de las pirámides.
Otra pirámide matemática con proporciones casi idénticas a las del "oro" uno es el que tiene el perímetro igual a 2π veces la altura, o h: b = 4: π. Este triángulo tiene un ángulo de la cara de los 51.854 ° (51 ° 51 '), muy cerca del 51,827 ° del triángulo de Kepler . Esta relación pirámide corresponde a la relación de coincidencia
y y son de particular interés en relación con las pirámides de Egipto.
.
Son conocidas pirámides de Egipto muy cerca en proporción a estas pirámides matemáticas.
Pirámides de Egipto
En la mitad del siglo XIX, Röber estudió varias pirámides de Egipto, incluyendo Kefrén, Micerino y algunos de los grupos de Giza, Sakkara y Abusir, y fue interpretado como diciendo que la mitad de la base del lado de la pirámide es el medio centro del lado , formando lo que otros autores identificados como el triángulo de Kepler ;. muchas otras teorías matemáticas de la forma de las pirámides también se han explorado
Una pirámide egipcia es muy cerca de una "pirámide de oro", la Gran Pirámide de Giza (también conocido como la Pirámide de Keops o Khufu). Su pendiente de 51 ° 52 'está muy cerca de los "dorados" pirámide de inclinación de 51 ° 50' y la pirámide de inclinación basado en π de 51 ° 51 '; otras pirámides de Giza (Kefrén, 52 ° 20', y Micerino, 50 ° 47 ') también están muy cerca. Ya sea que la relación con la proporción áurea en estas pirámides es por diseño o por accidente sigue abierto a la especulación. Varias otras pirámides egipcias están muy cerca de lo racional 3:04:05 forma.
Echando más leña a la controversia sobre la autoría de arquitectura de la Gran Pirámide, Eric Temple Campana , matemático e historiador, afirmaron en 1950 que las matemáticas egipcias no han apoyado la capacidad de calcular la altura de inclinación de las pirámides, o la relación con la altura, a excepción en el caso de la pirámide 03:04:05, ya que el triángulo de 3:04:05 fue el único triángulo rectángulo conocido por los egipcios y que no conocía el teorema de Pitágoras, ni ninguna manera de razonar sobre los irracionales como π o φ .
Michael arroz afirma que las autoridades principales en la historia de la arquitectura egipcia han argumentado que los egipcios conocían bien la proporción de oro y que es parte de la matemática de las Pirámides, citando Giedon (1957). Los historiadores de la ciencia siempre han debatido si los egipcios tenían tal conocimiento o no, afirmando más bien que su aparición en un edificio egipcio es el resultado de la casualidad.
En 1859, el Pyramidologist John Taylor afirmó que, en la gran pirámide de Giza , la proporción áurea está representada por la relación de la longitud de la cara (la altura de la pendiente), inclinada en un ángulo de θ a la tierra, a la mitad de la longitud del lado de la base cuadrada, equivalente a la de la secante del ángulo θ. Los dos longitudes anteriores fueron aproximadamente 186,4 y 115,2 metros respectivamente. La relación de estas longitudes es la proporción áurea, precisa a más dígitos que cualquiera de las mediciones originales. Del mismo modo, Howard Vyse , de acuerdo con Matila Ghyka, informó de la gran altura pirámide 148,2 m, y un medio a base de 116,4 m, obteniéndose 1,6189 para la relación de altura inclinada a un medio base, de nuevo más precisa que la variabilidad de los datos.