Ecuación Cuadrática

Una ecuación cuadrática es una ecuación polinómica de segundo orden en una única variable

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con

. Debido a que es una ecuación polinómica de segundo orden , el teorema fundamental del álgebra garantiza que tiene dos soluciones. Estas soluciones pueden ser tanto real , o ambos complejo .

Entre sus muchos otros talentos , el mayor general Stanley en Gilbert y la opereta de Sullivan los Piratas de Penzance impresiona a los piratas con su conocimiento de las ecuaciones de segundo grado en la "Canción del General de División " de la siguiente manera : "Yo soy el verdadero modelo de un moderno Mayor General , he vegetal información , animal y mineral , sé que los reyes de Inglaterra, y cito las luchas históricas, desde Marathon a Waterloo, con el fin categórico , estoy muy bien familiarizado demasiado con cuestiones matemáticas , entiendo ecuaciones , tanto la simple y cuadrática , Acerca teorema del binomio que estoy lleno de una " noticia mucho o - con muchos hechos alegres sobre el cuadrado de la hipotenusa " .

Las raíces

se encuentran completando el cuadrado.

Despejando

entonces da

Esta ecuación se conoce como la fórmula cuadrática .

La primera solución conocida de una ecuación cuadrática es la que figura en el papiro de Berlín desde el Imperio Medio ( ca. 2160-1700 aC) en Egipto. Este problema se reduce a resolver

( Smith 1953 , p . 443 ) . Los griegos fueron capaces de resolver la ecuación de segundo grado por métodos geométricos, y de Euclides ( ca. 325-270 aC) de datos contiene tres problemas que involucran ecuaciones cuadráticas . En su Arithmetica trabajo, el matemático griego Diofanto ( ca. 210-290 ) resolvió la ecuación cuadrática , pero dando una sola raíz , incluso cuando ambas raíces fueron positivos (Smith 1951 , p . 134 ) .

Varios matemáticos indios dieron normas equivalentes a la fórmula cuadrática . Es posible que ciertas construcciones que datan de ca. 500 BC representan soluciones de la ecuación , pero aún debe ser éste el caso, no hay constancia del método de solución (Smith 1953 , p . 444 ) . El matemático hindú Aryabhata ( 475 o 476-550 ) dio una regla para la suma de una serie geométrica que muestra el conocimiento de las ecuaciones de segundo grado con dos soluciones (Smith 1951 , p 159 ; . . Smith 1953 , p 444 ), mientras que Brahmagupta ( . CA 628 ) parece haber considerado sólo uno de ellos ( Smith 1951 , p 159 ; . Smith 1953 , pp 444-445 ) . Del mismo modo, Mahāvīra ( ca. 850 ) tenían sustancialmente la regla moderna de la raíz positiva de una cuadrática. Sridhara ( ca. 1025 ) dio la raíz positiva de la fórmula cuadrática , según lo declarado por Bhāskara ( ca. 1150 ; Smith 1953 , pp 445-446 ) . Los matemáticos persas al- Khwarizmi ( ca. 825 ) y Omar Khayyam ( ca. 1100 ) también dieron normas para encontrar la raíz positiva .

Viète fue uno de los primeros en sustituir los métodos geométricos de solución con los análisis , a pesar de que aparentemente no captó la idea de una ecuación general cuadrática (Smith 1953 , pp 449-450 ) .

Una forma alternativa de la ecuación de segundo grado se da dividiendo ( ◇ ) a través de :

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Por lo tanto,

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Esta forma es útil si

, donde denota mucho mayor , en cuyo caso la forma usual de la fórmula cuadrática puede dar resultados numéricos inexactos para una de las raíces . Esto se puede evitar mediante la definición