Основні властивості числових нерівностей

Розглянемо властивості числових нерівностей, які часто використовують під час розв’язування задач. Їх називають основними властивостями числових нерівностей.

Т е о р ем а 2.1. Якщо a>b і b>c, то a>c.

Аналогічно можна довести таку властивість: якщо a < b і b < c, то a < c.

Те о р ем а 2.2. Якщо a>b і c — будь-яке число, то a + c>b + c.

Аналогічно можна довести таку властивість: якщо a < b і c —будь-яке число, то a + c < b + c.

Оскільки віднімання можна замінити додаванням (a – c == a + (–c)), то теорему 2.2 можна сформулювати так:

якщо до обох частин правильної нерівності додати або від обох частин правильної нерівності відняти одне й те саме число,

то отримаємо правильну нерівність.

Н асл і д о к. Якщо будь-який доданок перенести з однієї частини правильної нерівності в другу, замінивши знак доданка на протилежний, то отримаємо правильну нерівність.

Т е ор ема 2.3. Якщо a>b і c — додатне число, то ac>bc. Якщо a>b і c — від’ємне число, то ac < bc.

Аналогічно можна довести таку властивість: якщо a < b і c — додатне число, то ac < bc. Якщо a < b і c — від’ємне число, то ac>bc.

Якщо обидві частини правильної нерівності помножити або поділити на одне й те саме додатне число, то отримаємо правильну нерівність (знак нерівності не змінюється)

Якщо обидві частини правильної нерівності помножити або поділити на одне й те саме від’ємне число та замінити знак нерівності на протилежний, то отримаємо правильну нерівність (знак нерівності змінюється)