全体講演

松下 大介(北海道大学) : シンプレクティック多様体の代数ファイバー構造

既約シンプレクティック多様体は Calabi-Yau 多様体, Abel 多様体と共に First Chern 類が 0 の射影多様体の構成元素を成している. このクラスに属する一番単純な例としては K3 曲面があげられる. 高次元の既約シンプレクティック多様体は K3 曲面と様々な幾何的性質を共有すると考えられており, 本講演では代数的ファイバー構造についていくつかの結果を紹介する.

池田 京司(大阪大学) :代数的サイクルと微分形式

ある代数多様体において同じホモロジー類を定める異なる二つの部分多様体がその代数多様体上での代数的な変形により互いに移り合うかどうか, つまり代数的サイクルとして代数的に同値かどうかを判定することは一般には容易でない. この講演では微分形式を用いて定義されるある不変量を計算することにより与えられた代数的サイクルが代数的に同値でないことを示す方法を紹介する. 射影空間の超曲面や代数曲線のヤコビ多様体などの具体例を用いてこの不変量がどのように計算されるのかを解説する.

加藤 毅(京都大学) : 指数定理への誘い

岸本 大祐(京都大学) : Nilpotency classes of self homotopy groups

安田 健彦(数理研) : モティビック積分入門

モティヴィック積分はKontsevichによりp進積分の類似として考案された. 代数多様体に付随するアーク空間のうえで、代数多様体のカテゴリーの Grothendieck環（の局所化の完備化）に値をとるような積分である. これは特に双有理同値な代数多様体の不変量を比較するのに役に立つ. 今回の講演では、モティヴィック積分の基本的なアイデアを解説する.

山形 紗恵子(東北大学) :Coxeter群の境界について

群 G が, 2 つの Gromov hyperbolic 空間 X, Y に幾何学的に作用しているとする. このとき, X と Y の間の G-同変な擬等長写像から, X と Y の境界の間の G-同変な同相写像を導く方法が知られている．今度は, X, Y を CAT(0) 空間として同様のことを考えてみる. つまり, 群 G が, 2 つの CAT(0) 空間 X, Y に幾何学的に作用しているとき, X と Y の間の G-同変な擬等長写像から, X と Y の境界の間の G-同変な同相写像を, X, Y が Gromov hyperbolic 空間のときと同様の方法で導くことが出来るのか？という問題を考えてみる．この問いに対する答えは No で, Bowers-Ruane が反例を与えている. 今回,この問題に対する別の反例を, ある Coxeter 群と,その Coxeter system の自己同型写像を用いて構成することが出来たので,このことについて解説する．

代数セッション

福山 浩司(京都大学D1) : ベクトル束のモジュライとTorelliの定理

非特異な代数曲線はそれに付随するヤコビ多様体によって決定される、というのが曲線のTorelliの定理である。ヤコビ多様体は直線束のモジュライだが、階数の高いベクトル束のモジュライからも代数曲線を復元することができることを、ベクトル束のモジュライの基本的な性質と併せて解説する。

星 裕一郎(数理研M2) :双曲型曲線の数論的基本群とそのカスプ化

岡田 拓三(数理研M2) :Nonrational Fano varieties

広瀬 大輔(北海道大学M2) :F-thresholdsとjumping coefficients

tight closure論は,Hochster,Hunekeにより純可換環論的問題を扱うために生まれたが,最近ある種の特異点との対応がある事が解ってきた. 例えばtestイデアルと乗法イデアルとの間には対応が見つかっている.Mustata,高木,渡辺の定めたF-thresholdも上の対応を利用してjumping coefficientとの対応を目指したものだ. このF-thresholdを中心に解説する.

井川 雄亮(東京大学M2) :一般クンマー曲面について

K3曲面Xが,トーラスを有限群の作用で商を取り特異点解消したものとして表されるとき,Xを一般クンマー曲面という．阪大の藤木明先生は,トーラスと有限群の組(T,G)で一般クンマー曲面を生成するものを分類し,その結果の副産物として商多様体の特異点解消の際に現れるADE配置を決定した．(1988) 今回は逆にこのADE配置をもつK3曲面が一般クンマー曲面であることを示した．これは,Nikulinの1975年の結果および,Barthの 1998年の結果の一般化でもある．

宮本 昌芳(東京大学M2) :スカラー型一般Verma加群の間の準同型について

複素簡約リー代数の放物型部分代数の既約有限次元(一次元) 表現から誘導される表現を、(スカラー型)一般Verma加群と呼ぶ.講演では、このような加群の間に非自明な準同型が存在する条件を決定する問題について解説する.これは現在未解決であるが、単なるVerma加群の場合は、Bernstein, Gelfand, Gelfand による有名な定理である.また、スカラー型の場合は、いくつかの特殊な状況においては決定されている.

塩田 翠(東京大学M2) :Comparison of double affine Hecke algebra and elliptic Hecke algebra

double affine Hecke algebara と、elliptic Hecke algebra の比較を行った．将来的には Cherednik の手法、その他を用いてn変数の直交多項式に対する応用を見込んでいる．

川口 良(大阪大学D1) :トーリック曲面上におけるゴナリティ予想の部分的解決

代数曲線の分類に用いられる不変量の一つであるゴナリティに関して M.GreenとR.Lazarsfeldによって考えられたゴナリティ予想(1986)は、 M.AproduによってHirzebruch曲面上の曲線に関しては解決された(2002). この結果をトーリック曲面上の曲線に対して拡張するのが本研究の目標であり、現在までにその一部については解決することができた.

村井 聡(大阪大学M2) :cyclic polytopeとstacked polytopeのalgebraic shiftingについて

単体的球面の f-vector の完全な特徴付けに関する予想は g-予想として知られている.Gil Kalai は algebraic shifting を用いて g-予想を解決する手段として、任意の単体的球面についてshifting theoretic upper bound relation と呼ばれる関係式が成り立つことを予想した.今回の結果は上限定理と下限定理に使われる cyclic polytope とstacked polytope の境界複体の場合について Kalai の提唱した関係式が確に成り立つことを示したものである.

幾何セッション

木田 良才(京都大学D1) :Classification of the mapping class groups up to measure equivalence

Gromov は幾何学的群論における擬等長 (quasi- isometry) の概念の測度論における類似として, 測度同値 (measure equivalence) の概念を導入した. 擬等長の場合と同様に, 測度同値により離散群を分類することは 基本的な問題である. 講演では曲面の写像類群の測度同値による分類について紹介する.

本多 正平(京都大学M2) :曲率を下から抑えた多様体の極限空間について

本セッション講演ではいくつかの球面定理を紹介する. 球面定理とは、「適当な条件を満たすRiemann多様体は球面と（微分）同相である」という主張を指す. この適当な条件にはどんなものがあるか、が問題となる. ここでは特に、多様体の極限を見て得られる球面定理等について説明する.

山川 大亮(京都大学M2) :ADHMN構成に現れるNahm方程式の解のモジュライ空間

モノポールとNahmデータ, 及びP^1から旗多様体へのbased rational mapの間の対応は, HurtubiseとMurrayによってモノポールの構造群がA,B,C,D型の場合に証明されている．講演ではA型の場合に, Nahmデータのモジュライ空間にhyperKähler多様体の構造が入る事について紹介する．

二木 昌宏(東京大学M2) :モース理論と擬正則曲線

多様体の余接束の完全ラグランジュ部分多様体に境界条件を持つ擬正則円盤のモジュライが、ラグランジュ部分多様体のファイバー方向の rescaleの極限で、元の多様体のモース・ホモトピーと呼ばれるモース理論的対象に退化することが深谷-Oh(Asian J. Math. 1, 1997)で示されている。本講演ではこの定理と、関連する話題についてレヴューを行う。

野沢 啓(東京大学M2) :多様体上の擬群構造のはめ込みに沿った倉西族について

擬群はモデル空間 X (n次元ユークリッド空間 等)上の局所微分同相の部分集合である. 擬群Gによる多様体 M 上の擬群構造とは M の局所座標系でその座標変換写像が全てGに属しているもののことを言う. 複素構造や葉層構造が例である. 一つ固定した擬群構造の変形を考えるとき、全ての変形の可能性を含む変形の族を倉西族という. 十分良い擬群による擬群構造については既に構成されている. 本講演では、二つの多様体 M,Nとはめ込み f:N → Mと M,N 上のお互い適合した十分良い擬群による擬群構造の組があるとすると、それらを組として変形するときの倉西族の構成について述べる.

Gengyu Zhang(東京工大M2) :Crosscap numbers of two-component links

We define the crosscap number of a 2-component link as the minimum of the first Betti numbers of connected, non-orientable surfaces bounding the link. We discuss some properties of crosscap numbers of 2-component links.

酒井 洋範(都立大D1) : D加群とGromov-Witten不変量

Gromov-Witten不変量とはコンパクトなケーラー多様体内の正則曲線の数である． Gromov-Witten不変量を実際に計算することは非常に難しいが, あるD加群から微分幾何学的手法によりGromov-Witten不変量が復元できることがある．本講演では,複素射影空間のFano超曲面についてこの手法が適用できることを紹介する．

味好 武史(大阪市立D1) :Lie Groupoidを構造群とするPrincipal bundleのlocal structure

Lie groupoid とは対象と射の集合が多様体である groupoid をいい, Lie groupoid 間の射として principal groupoid bundle の例である Hilsum-Skandalis morphismが現れる．そして２つの Lie groupoid が Morita 同値であるとき同じ smooth stack を与える．本公演では principal groupoid bundle に対応するものを多様体の開被覆による張り合わせで構成し,それがどのような条件の下で Morita 同値と同じ条件を与えるのかを説明する．

梅田 早希(奈良女子M2) :流体のかき混ぜの位相的なカオス的実現について

いま, 容器に入った液体の中に何本かの棒を差し込み, これらを周期的に動かすことによって液体をかき混ぜることを考える. この棒の一周期の動きを見てやると,これは棒によって穴の空けられた曲面（＝液面）上の写像類群の元を定める. この元が位相的カオスを実現するようなもの（＝pseudo-Anosov型）であれば, 対応する液体のかき混ぜは効率的であることが期待される. この講演ではこのようなかき混ぜ器を2~3個の歯車からなる単純な機構で実現する方法について紹介する.