1p: 4/12

1q: 1/12

1. Eksponentiel funktion

   1. 1. Klavs viser formlen for eksponentiel funktion). (99)

f(x) = b*(1+r)x   med eksemplet: f(x) = 1000*(1+0,05)x . f(1), f(2), f(3), graf

f(0) = 1000*(1+0,05)⁰ = 1000 * 1 = 1000

f(1) = 1000*(1+0,05)¹ = 1000 * 1,05¹ = 1050

f(2) = 1000*(1+0,05)² = 1000 * 1,05* 1,05

f(3) = 1000*(1+0,05)³ = 1000 * 1,05* 1,05* 1,05

f(4) = 1000*(1+0,05)⁴ = 1000 * 1,05* 1,05* 1,05* 1,05

------ for hver gang x vokser med 1 vokser y med 1,05 gange - altså med 5%

VIGTIGT: Hvis funktionen falder med 5% for hver gang x vokser med 1 aftager y med 1-0,05 = 0,95 gange - altså med -5%

1. 1. 2. Skriveformer: 

f(x)   = b * ( 1 + r )x

= b * ax

= b * ekx

= K0 * ( 1 + r )x 

2. Navne:      r = relative vækst (vækstprocenten skrevet som kommatal)

b = begyndelsesværdien 

(svarende til x=0)  - kan også betegnes begyndelseskapitalen K0 (stort K0)

a = r+1 = fremskrivningsfaktoren (det man ganger med for at komme til næste y-værdi når x vokser med 1, kaldes også grundtallet

k - (lille k) ikke noget navn

f(x) er funktionværdien - kan også     betegnes som Kapitalens værdi Kn efter n terminer

1. Opgaver: (se billedet)

   1. Bestem afhængig værdi af en eksponentialfunktion

3. Se: Funktionsbegrebet (4 min) - repetition

4. Se: Introduktion til: Renteformlen contra eksponentielle funktioner Video  (se kun frem til 3:53)

5. Opgaver:

   1. Betydningen af fremskrivningsfaktoren

   2. Eksponentiel funktion Bestem fremskrivningsfaktor ud fra vækst i procent

6. Nyt:

   2. 1. Betingelser: 

a > 0 og a ≠ 1,  b > 0, r > -1 og r ≠ 0

6. 2. 2. Formler: 

a = 1+r = ek       r = a-1 = ek-1      

k = ln(r+1) = ln(a) 

Vigtige regler om eksponentielle funktioner?

Grafen er voksende når a > 1 eller r > 0 eller k > 0

Grafen er aftagende når 0 < a < 1 eller -1 < r < 0 eller k < 0

Ingen nulpunkter - graf kun i 1. og 2. kvadrant.

Klavs' link

1p: 5/12

1q: 5/12

Grublespørgsmål

1. 1. 3 tilfældige

   2. Øverste tager en tusch og finder en tavle - de to øvrige følger med

   3. 10 minutter i alt

   4. Spørgsmål (Kilde)

      1. 1. • Anders Hvid (Cand.scient.soc, Dare Disrupt, etc) i Politiken

            • ”Det er svært at forstå. 

            • Forestil dig, at Danmarks nationalarena Parken kunne fyldes op med vand som en balje. 

            • Forestil dig så, at du sidder fastspændt på øverste række med en vandhane ved siden af dig. 

            • Den drypper hvert minut. Først en dråbe, så to, næste gang fire, så otte osv. Det vil sige, at mængden af vand fordobles for hvert minut. 

              1. Hvor lang tid vil der gå, før Parken er fyldt, og du drukner?

              2. Hvor lang tid går der før Parken er halv fuld?«.

Makkerpar

Spørgsmål til Peerscholar opgaven

Eksponentiel funktion

RESUME:

1. 1. 1. Skriveformer: 

f(x)   = b * ( 1 + r )x

= b * ax

= b * ekx

= K0 * ( 1 + r )x 

2. Se Bestemmelse af forskrift ud fra to punkter i eksponentialfunktion (3,5 min). Benytter desværre ikke formlen for b, men a er ok.

   1. 1. Formel for b for f gennem 1 punkt (formel 110)

      2. Formel for a for f gennem 2 punkter (formel 109)

3. Opgaver

   1. Bestem b i eksponentiellefunktioner ud fra a og et punkt

   2. Bestem a ud fra to punkter for eksponentielle funktioner

Klavs' link

1p: 6/12

1q: 6/12

Grublespørgsmål (ikke 1p)

1. 1. 3 tilfældige

   2. Øverste tager en tusch og finder en tavle - de to øvrige følger med

   3. 10 minutter i alt

   4. Spørgsmål (Kilde)

      1. 1. • Anders Hvid (Cand.scient.soc, Dare Disrupt, etc) i Politiken

            • ”Det er svært at forstå. 

            • Forestil dig, at Danmarks nationalarena Parken kunne fyldes op med vand som en balje. 

            • Forestil dig så, at du sidder fastspændt på øverste række med en vandhane ved siden af dig. 

            • Den drypper hvert minut. Først en dråbe, så to, næste gang fire, så otte osv. Det vil sige, at mængden af vand fordobles for hvert minut." 

            • Forskriften for den eksponentielle funktion, der beskriver denne vækst er f(x)=0,25*2ˣ, hvor f(x) er mængden af gram vand i Parken til tiden x målt i minutter.

              1. Hvordan kan man ved brug af en formel kan beregne denne a-værdi.

              2. Forklar, hvordan man kan argumentere for at a=2.

Makkerpar

Eksponentiel funktion

RESUME:

1. 1. 1. Skriveformer: 

f(x)   = b * ( 1 + r )x

= b * ax

= b * ekx

= K0 * ( 1 + r )x 

2. Opgaver - lav individuelt (10 min)

   1. Bestem b i eksponentiellefunktioner ud fra a og et punkt

   2. Bestem a ud fra to punkter for eksponentielle funktioner

4. Vi skal bestemme forskriften for den funktion, der gennem (2,12) og (3;10)

   1. Hvis funktionen er lineær - hvilke muligheder har vi? 

   2. Hvis funktionen er eksponentiel - hvilke muligheder har vi?

Benyt eksponentiel regression til at finde a og b i disse opgaver

2. 3. Bestem a ud fra to punkter for eksponentielle funktioner 

(samme som I løst før med formlen for a)

1p: 8/12

1q: 8/12

Grublespørgsmål

1. 1. 3 tilfældige

   2. Øverste tager en tusch og finder en tavle - de to øvrige følger med

   3. 10 minutter i alt

   4. Spørgsmål

      1. 1. Du har 1000 kr.

         2. Du sætter de 1000 kroner i banken, som giver dig 10% pa i rente

         3. Pengene står i banken i 10 år.

         4. Efter de 10 år hæver 1000 kroner og resten af pengene bliver i banken

         5. Nu går der 10 år mere, hvor renten stadig er den samme.

         6. Opskriv et regneudtryk som kan beregne det beløb, som du har stående i banken efter de 20 år i ét regneudtryk - uden mellemregninger.

         7. Skriv hele regneudtrykket ind i Nspire og beregn beløbet

Makkerpar

Er du matematik-klar?

Visning af hjemmeside

Fra ledelsen:

"Hej allesammen  

Jeg er blevet gjort opmærksom på, at en anonym Instagramkonto misbruger GGs navn i forbindelse med deling af billeder af elever på GG. 

Det er selvfølgelig uacceptabelt, at GG bliver forbundet med den slags aktiviteter, og gymnasiet har derfor anmodet Instagram om øjeblikkelig lukning af den pågældende profil.  

Der er tilsyneladende sket billeddeling af elever uden forudgående samtykke. Billederne sættes ind i en sammenhæng, de ikke oprindeligt var tiltænkt, og dette skaber utryghed. 

Hvis det er GG-elever, der står bag delingen, er der tale om et brud på gymnasiets Studie- og Ordensregler, hvilket kan udløse en alvorlig sanktion.  

Da der kan være tale om deling af billeder af personer under 18 år, skal gymnasiet tage særlige hensyn. Jeg tager derfor kontakt til politiet snarest muligt med henblik på en evt. efterforskning."

Eksponentiel funktion

1. 1. 1. Skriveformer: 

f(x)   = b * ( 1 + r )x

= b * ax

= b * ekx

= K0 * ( 1 + r )x 

1. Opgave: Opstil en eksponentiel model og beregn (facit på sidste side)

   1. 1. Vi gennemgår et par opgaver ved frivillige

1q hertil

4. Formelsamlings-escaperoom. (1q lavet, men ingen vinder)

5. Opgave om grafer for eksponentielle funktioner. 

   1. 1. OPGAVE og når I har løsninger SVAR HER

6. Lad os lige se på et eksempel på eksponentiel udvikling Radioaktivt henfald

1. Fortsæt evt. til Youskills modul

7. Opgave Forstå betydningen af a og b (spring over)

Opsamling: Hvad ved vi om eksponentille funktioner (formler og grafer)

Klavs' link

1p: 12/12

1q: 15/12

Grublespørgsmål

1. 1. 3 tilfældige

   2. Øverste tager en tusch og finder en tavle - de to øvrige følger med

   3. 10 minutter i alt

   4. Spørgsmål

      1. 1. Udledningen af CO2 i verden var i 1958 315 megamange tons

         2. Udledningen af CO2 i verden var i 2020 422 megamange tons

         3. Hvor stor har den årlige procentvise vækst været i perioden?

Makkerpar

Er du matematik-klar?

Eksponentiel funktion

1. 1. 1. Skriveformer: 

f(x)   = b * ( 1 + r )x

= b * ax

= b * ekx

= K0 * ( 1 + r )x 

Klavs gennemgår fordoblingskonstant og halveringskonstant formler 105 og 112

Opgaver:

1. Aflæs fordoblings- eller halveringskonstant (3 min) eller denne "papirudgave"

2. Udfyld tabel opgave med fordopling/halvering

3. Beregning af fordoblings- og halveringskonstant (7 min) eller denne "papirudgave"

4. Bestem fordoblings- eller halveringstiden ud fra procentændring (5 min)

5. Kahoot

6. Se lige denne video om tabel og fordoplingskonstant (1:00)

7. Find a i eksponentielle funktioner ud fra fordoblings eller halveringskonstanten (7 min)

1p: 18/12

1q: ?/12

Ibrahim og Rosa - prøve

Grublespørgsmål

1. 1. 3 tilfældige

   2. Øverste tager en tusch og finder en tavle - de to øvrige følger med

   3. 10 minutter i alt

   4. Spørgsmål til højre

Makkerpar

4. Opgave om grafer for eksponentielle funktioner. (10 minutter)

   1. 1. 1. OPGAVE og når I har løsninger SVAR HER

         2. Kræver kendskab til ln(x) og globalt minimum

Repetetionsvideo (8 min)

Opstilling af model

Lad os lige se på et eksempel på eksponentiel udvikling Radioaktivt henfald

Opgaver:

1. Fordobling- eller halveringskonstanten for befolkningsvækst (5 min)

1. Par (20 minutter): Lav opgaver her

   1. Svar på de to spørgsmål (nedenfor) ikke på selve opgaven i opgaveteksten

      1. Find forskriften for funktionen ved at benytte de to punkter. Benyt forskellige metoder (formler, regression)

      2. Find 

         1. 1. stigningsfaktoren

            2. den relative vækst

            3. grundtallet

            4. den procentvise vækst

            5. fremskrivningsfaktoren

            6. vækstraten 

            7. begyndelsesværdien

Formelsamlings-escaperoom. (1q lavet, men ingen vinder)

Fortsæt evt. til Yourskills modul

Opgaver

1. Bestem a ud fra to punkter for eksponentielle funktioner

2. Bestem b i eksponentiellefunktioner ud fra a og et punkt

3. Bestem b i eksponentiellefunktioner ud fra a og et punkt med a i regneforskrift

4. Bevis for a i eksponentielle funktioner

5. Bevis for b i eksponentielle funktioner

6. Bevis for fordoblingskonstanten i eksponentielle funktioner

7. Eksponentielle funktioner - a og b grafisk

8. Eksponentielle funktioner - funktionsværdier med lommeregner

9. Eksponentielle funktioner - funktionsværdier uden lommeregner

10. Eksponentielle funktioner - Genkend graf

11. Eksponentielle funktioner - Genkend regneforskrift

12. Eksponentielle funktioner - Opbyg grafisk forståelse af eksponentielle funktioner

13. Eksponentielle funktioner - væksraten (i trin)

14. Eksponentielle funktioner ud fra tekst Vandreduer

15. Find a i eksponentielle funktioner ud fra fordoblings eller halveringskonstanten

16. Find a ud fra k i eksponentielle funktioner

17. Find k ud fra a i eksponentielle funktioner

18. Ordne regneforskrifterne for aftagende eksponentielle funktioner efter hvilken der er stejlest

19. Ordne regneforskrifterne for voksende eksponentielle funktioner efter hvilken der er stejlest

1. Opgave om fremskrivning af antal flygtninge fra 2014 og frem

   1. Se videoen frem til 8:50.

      1. 1. Opstil selv en model ved at anvende eksponentiel regression ud fra data fra filmen for 2011, 2012 og 2013 og lav fremskrivningen til 2020, 2024 og 2050. Sammenlign med påstandene i videoen.

         2. Hvordan vurderer du din egen models rækkevidde?

2. Opgave om opslag fra Facebook Hold på 3 (20 min) 

• Læs opslaget og besvar følgende:

  • • Er det korrekt, at 2% af BNP på 2784 mia kr. i 2022 svarer til 56 mia?

    • Er det korrekt, at dette er cirka 19 mia mere end de 37,7 mia kr. som Danmark brugte i 2022 på forsvaret?

    • Er det korrekt, at hvis de 37,7 mia som anvendes i 2022 på forsvaret fremskrives med en årlig vækst på 1,81% frem til 2030 så stiger dette beløb til 43,5 mia?

    • Er det korrekt, at hvis de 37,7 mia som anvendes i 2022 på forsvaret fremskrives med en årlig vækst på 1,81% frem til 2040 så stiger dette beløb til 78 mia?

    • Er det korrekt, at hvis de 37,7 mia som anvendes i 2022 på forsvaret fremskrives med en årlig vækst på 1,81% frem til 2040 så stiger dette beløb til 94 mia?