2p 29/11

og 

2q: 2/12

1----------------------------------------------------------------------

1. Hvad er en funktion?

   1. 1. En funktion er en sammenhæng mellem to variable

         1. 1. Eksempel f(x) = 3x+4

            2. x er den uafhængige variabel

            3. f(x) (eller y) er den afhængige variabel

            4. f(2) = 12 betyder at x=2 hænger sammen med y=12 og at (2,12) danner et punkt på grafen for f(x). x og y hører sammen.

2. Hældningen af en graf er interessant: Se animation.

3. Se billedet til højre

   1. 1. f(x) angiver en funktion

      2. Når x=-2 indsættes i forskriften beregnes f(-2)=16. Punktet (-2,16) danner et punkt på grafen.

      3. Dette kan gentages for alle mulige andre x-værdier. Og reresultaterne kan skrives i en tabel.

      4. I et bestemt punkt har grafen en "stejlhed" - en hældning. Denne hældning kan "måles" med hældningen af en tangent. 

      5. For ethvert x kan hældningen af tangenten noteres i en tabel.

      6. Dermed har du sammenhængen mellem x og hældningen som er en sammenhæng mellem to variable - og dermed en funktion. Denne kaldes f'(x)

4. Find den nye funktion f' ved at undersøge f(x) hældning 

(Klavs på projektor, Nspire dokument)

2----------------------------------------------------------------------

Nu skal vi træne regneregler for at finde forskriften for den nye funktion f'(x) ud fra forkriften for f(x)

At differentiere

• Det hedder at differentiere. 

• Eller at finde den afledte. 

• Eller at finde f'(x)

• Husk at den afledte funktion fortæller om tangentens hældning af den oprindelige funktion. 

1. Potensfunktion - regneregel  (133)

Oprindelig funktion Differentierede funktion

           (133)      f(x) = xᵃ               =>             f'(x) = a x ᵃ¯¹

1. 1. 1. f(x) = x³ f'(x) = 3x²

      2. f(x) = x⁶ f'(x) = 6x⁵

      3. f(x) = x² f'(x) = 2x¹ = 2x

      4. f(x) = x⁵ f'(x) = 

      5. f(x) = x⁸ f'(x) = 

      6. f(x) = x⁶⁷     f'(x) = 

1. 1. 7. f(x) = x = x¹ f'(x) = 1x⁰ = 1*1 = 1

      8. f(x) = x⁰ = 1 Hældningen af en konstant funktion er 0 så f'(x)=0

Opgave: Differentier en simpel potensfunktion (forms #0)

3----------------------------------------------------------------------

2. Konstant gange en funktion - regneregel  (122)

Oprindelig funktion Differentierede funktion

(122)      k *  f(x)                   =>             k * f'(x)

2. 1. 1. f(x) = 2x³ f'(x) = 2 * f'(x) = 2 * 3x²  = 6x²

2. 1. 2. f(x) = 4x⁶ f'(x) = 4 * f'(x) = 4 * 6x⁵ = 24x⁵

2. 1. 3. f(x) = 1/2 * x³ f'(x) = 1/2 * f'(x) 

= 1/2 * 3x²  

= 3/2 * x²

2. 1. 4. f(x) = 3/4x⁶ f'(x) = 3/4 * f'(x) 

= 3/4 * 6x⁵ 

= 18/4 * x⁵

= 9/2 * x⁵

2. 1. 5. f(x) = 6x² f'(x) =

2. 1. 6. f(x) = 4x⁵ f'(x) =

1. Opgaver: 

   1. ThatQuiz 

(start på level=1 og sæt det op - højest 4 - potens skrives automatisk 

se billedet til højre)

1. 2. Træn her #1 (Google forms)

   3. Træn her #1,5 (Google forms - brøk gange potensfunktion)

   4. Træn her 2 (Goggle forms)

   5. Quizlet Live - potensfunktioner (lærerlink)

4----------------------------------------------------------------------

3. Konstant gange, sum og differens - regneregel  (122, 123, 124)

Oprindelig funktion Differentierede funktion

(122)      k *  f(x)                  =>             k * f'(x)

(123) f(x) + g(x) => f'(x) + g'(x)

(124) f(x) - g(x) => f'(x) - g'(x)

3. 1. 1. f(x) = 2x³ + 4x⁶ f'(x) = (2x³ + 4x⁶)'

= (2x³)'  + (4x⁶)' 

=  6x² + 24x⁵

3. 1. 2. f(x) = ¹ /₂ * x³ - ³/₄ x⁶ f'(x) = (¹ /₂ * x³ - ³/₄x⁶)'

= (¹ /₂ * x³)'  - (³/₄x⁶)'

   = ³/₂ * x²  -   ⁹/₂* x⁵

4. Lineær funktion - regneregel  (127, 128)

Oprindelig funktion Differentierede funktion

(127)      ax + b                  =>           a

(128) k => 0

4. 1. 1. f(x) = 2x + 4 f'(x) = 2

      2. f(x) = - (¹/₂) * x-4 f'(x) = - ¹/₂

      3. f(x) = 98 f'(x) = 0

5. Differentiation af polynomium

   1. f(x) = 2x³ + ³/₄x⁶ + 3x + 4 f'(x) = (2x³ + ³/₄x⁶ + 3x + 4) '

= (2x³)' + (³/₄x⁶)' + (3x + 4)'

=  6x² + ⁹/₂ * x⁵ + 3

2. Opgaver: 

   1. ThatQuiz 

(start på level=5 og sæt det op - højest 10 - potens skrives automatisk - se billedet til højre)

2. 2. Differentier et polynomium i Google Forms

   3. Klavs opretter Rutineopgaver i Abacus: Differentier polynomium 1 og 2

   4. Træn her (Goggle forms)

   5. Quizlet Live: Differentier polynomium (lærerlink)

5----------------------------------------------------------------------

Gå tilbage og se på eksemplet 

f(x) = 2x² -4x (fra Nspire)

Her er f'(x) = 4x-4

Funktionen: f(-2) = 2*(-2)² -4*(-2) = 2*4 +8 = 16

Hældningen: f'(-2) = 4*(-2) -4 = -12 

Det betyder at grafen for f går gennem (-2;16) 

og at hældningen af tangenten til f(x) i punktet (-2;16) er 16. 

Grafen går derfor op når x bliver større

Nu kan du differentiere alle lineære funktioner, alle potensfunktioner og alle polynomier

2p ?/11

og 

2q: ?/11

1----------------------------------------------------------------------

1. 1. Dagens opgave

      1. 1. Lav opgave 2.d1.49 (brug papir og blyant - ingen hjælpemidler kun formelsamling) - 6 minutter

---------------------------------

1. 1. Træn her (Goggle forms)

   2. Quizlet Live: Differentier polynomium (lærerlink)

1. Hvad fortæller f'(x) for en funktion f(x)?

2. Differentier følgende funktioner

1. 1. 1. f(x) = x⁵

      2. f(x) = 6x²

      3. f(x) = 4x+5

      4. f(x) = 5x³ + 3x⁶ + 3x + 4 

2----------------------------------------------------------------------

1. Differentier forskellige funktioner

Oprindelig funktion Differentierede funktion

           (127)      f(x) = ax+b               =>             f'(x) = a

           (128)      f(x) = k               =>             f'(x) = 0

           (129)      f(x) = ln(x)               =>             f'(x) = 1/x

          (130)      f(x) = eˣ               =>             f'(x) = eˣ     

          (131)      f(x) = eᵏˣ               =>             f'(x) = keᵏˣ     

           (132)      f(x) = aˣ               =>             f'(x) = ln(a) * aˣ     

(136) f(x) = cos(x) => f'(x) = - sin(x)

(137) f(x) = sin(x) => f'(x) = cos(x)

1. Lineær funktion - regneregel  (127-128)

   1. 1. f(x) = 3x + 4 f'(x) = 3

      2. f(x) = 7    f'(x) = 0

3. Logaritme funktion - regneregel  (129)

   1. 1. f(x) = ln(x) f'(x) = 1/x

      2. f(x) = 7 * ln(x)    f'(x) = 7/x

4. Eksponentiel funktion - regneregel  (130-132)

   1. 1. f(x) = eˣ f'(x) = eˣ

      2. f(x) = 7 * e⁵ˣ    f'(x) = 7 * 5e⁵ˣ = 35e⁵ˣ

      3. f(x) = 4ˣ    f'(x) = 4ˣ * ln(4)

5. Potens funktion - regneregel  (133-135)

   1. 1. f(x) = 6x² f'(x) = 12x

5. 1. 2. f(x) = 1/x   f'(x) = - ¹/x ²

                          er det samme som 

f(x) = x¯ ¹ f'(x) = -1 x ¯²

5. 1. 3. f(x) = √x   f'(x) = ¹/( 2 √x )

                          er det samme som 

f(x) = x⁰´⁵ f'(x) = 0,5 x¯⁰´⁵ 

6. Trigonometriske funktioner - regneregel  (136-137)

   1. 1. f(x) = cos(x) f'(x) = - sin(x)

      2. f(x) = sin(x) f'(x) = cos(x)

Træn:

• Nye:

  • 1. Differentier forskellige funktioner Google forms

    2. Klavs opretter rutinetræning i Abacus: Differentier andre funktioner

    3. Differentier forskellige funktioner i forms #3

    4. Differentier ikke simple potensfunktioner Google forms (ret svær)

Quizlet Live (mange funktionstyper). Lærerlink

Kahoot (lærerlink)

Nu kan du differentiere næsten alle simple funktioner