Forløb 4-3

Eksponentielle funktioner

Moduler i forløbet - Eksponentielle funktioner (nyeste øverst)

Hvorfor er dette modul vigtigt?

Virkelighedsnære spørgsmål

Hvad gør jeg, hvis jeg vil blive bedre til emner i dette forløb?

Modul 1: Eksponentiel funktion

Modul 2-1-3: Forskrift ud fra 2 punkter og regression

Modul 2-1-4: Opstilling af regneforskrift

Modul 2-1-5: Halvering og fordoblingskonstant

Modul 2-1-6: Halvering og fordoblingskonstant. Kendskab til eksponentiel funktion

Opgaver i eksponentielle funktioner: Yourskills Træning

Modul 2-1-7: Kendskab til eksponentielle funktioner (opsamling)

Moduler i forløbet - Eksponentielle funktioner (nyeste øverst)

Hvorfor er dette modul vigtigt?

Spørgsmål, som du kan svare på efter dette forløb:

Man kan fx stille spørgsmål om penge, befolkning, biologi, fysik og hverdagssituationer, hvor noget vokser eller aftager med en fast procent pr. tidsenhed, og dermed modelleres med en eksponentiel funktion.

Virkelighedsnære spørgsmål

En by har 25 000 indbyggere i dag og vokser med 2,1% om året. Hvor mange indbyggere forventes der om 10 år, hvis udviklingen er eksponentiel?
En kaffe er 90 °C varm, når den hældes op, og køles sådan, at temperaturen falder med 12% hvert 5. minut. Hvilken eksponentiel model kan beskrive temperaturen som funktion af tiden, og hvor varm er kaffen efter 20 minutter?
En bestemt bakteriekultur fordobler sin masse hver 6. time. Skriv en eksponentiel model for bakteriemængden, og bestem hvor mange gange større kulturen er efter 2 døgn i forhold til udgangspunktet.
Salget af en ny app stiger med 18% pr. måned de første år. I dag er der 50 000 aktive brugere. Hvor mange brugere forventes der om 8 måneder, hvis udviklingen er eksponentiel?
Værdien af en bil falder med 16% om året. Bilen koster 320 000 kr. som ny. Opskriv en eksponentiel model for bilens værdi, og bestem værdien efter 5 år.
Mængden af et lægemiddel i blodet falder med 35% pr. time. Startmængden er 120 mg. Hvor lang tid går der, før mængden er under 20 mg, hvis udviklingen beskrives ved en eksponentiel funktion?
En skole arbejder med CO₂‑udledning og får reduceret sin udledning med 7% om året via forskellige tiltag. Hvis den nuværende udledning er 40 ton om året, hvor stor er den så om 12 år ved eksponentiel udvikling?
En hjemmeside oplever, at antallet af daglige besøg vokser med 9% om ugen. I uge 0 er der 1 200 besøg om dagen. Efter hvor mange uger vil antallet af daglige besøg være mere end fordoblet, hvis udviklingen er eksponentiel?

Prompt: Opstil 10 virkelighedsnære spørgsmål, som man vil kunne svare på i matematik, når man kender kapitalfremskrivningsformlen og regneregler for procentregning

Prisen på æg er faldet med 400 procent siger Trump.mp4

Hvad gør jeg, hvis jeg vil blive bedre til emner i dette forløb?

Se videoer

1. 1. 1. 1. Se playlisten (hop over videoer med beviser)

Øv dig i opgaver

YOURSKILLS

På Abacus vælg træn selv opgaver

Modul 1: Eksponentiel funktion

Lektie til modulet:

Se introduktion til eksponentiel funktion (3:00)

Aktiviteter i modulet

Startopgaver 15 minutter (igen):

Gå til side 11 i dette dokument. Kopier promt 9 og sæt den ind i duck.ai eller mistral.ai

Klavs minder lige om "klasseregler"

Gældende for alle moduler i år:

Du er en del af et læringsfællesskab

1. Vær parat
  1. Medbring selv: TERNET papir, kuglepen/blyant, opladt computer.
  2. Formelsamling B

1. Vær en god kammerat. Timerne er til fordybelse.
  1. Timerne er ikke til toiletbesøg, at hente vand eller at snakke
  2. Elektronik: Mobiltelefoner i skab. Hvis du anvender din modil eller computer til ikke-faglige aktiviteter, vil Klavs bede dig forlade klasserummet.
  3. Larm går ud over andre

1. Hjælp dig selv
  1. Noter: Matematiknoter tages kun på papir ikke på computer.
  2. Kom til tiden og aflever til tiden (peerfeedback)
  3. Fravær? Skriv til mig på Lectio.

Hvad vil du helt have:

1 øre i morgen og fordoblet i 30 dage
1 mio kr om 30 dage?

Eksponentiel funktion

Klavs forklarer eksemplet nedenfor

En eksponentiel vækst er en egenskab for en afhængig variabel, der stiger eller falder med en bestem procent for hver gang den uadhængige variabel stiger med 1.

Opgave 1: (se billedet nedenfor)
1. Bestem afhængig værdi af en eksponentialfunktion

Formelsamlingen

Eksponentiel funktion

1. 1. Klavs viser formlen for eksponentiel funktion.

1000 kroner vokser med 5% i rente hver termin

f(x) = b*(1+r)x med eksemplet: f(x) = 1000*(1+0,05)x . f(1), f(2), f(3), graf

f(0) = 1000*(1+0,05)⁰ = 1000 * 1 = 1000

f(1) = 1000*(1+0,05)¹ = 1000 * 1,05¹ = 1050

f(2) = 1000*(1+0,05)² = 1000 * 1,05* 1,05

f(3) = 1000*(1+0,05)³ = 1000 * 1,05* 1,05* 1,05

f(4) = 1000*(1+0,05)⁴ = 1000 * 1,05* 1,05* 1,05* 1,05

------ for hver gang x vokser med 1 vokser y med 1,05 gange - altså med 5%

VIGTIGT: Hvis funktionen falder med 5% for hver gang x vokser med 1 aftager y med 1-0,05 = 0,95 gange - altså med -5%

1. 1. Skriveformer:

f(x) = b * ( 1 + r )x

= b * ax

= b * ekx

= K0 * ( 1 + r )x

Navne: r = relative vækst (vækstprocenten skrevet som kommatal)

b = begyndelsesværdien

(svarende til x=0) - kan også betegnes begyndelseskapitalen K0 (stort K0)

a = r+1 = fremskrivningsfaktoren (det man ganger med for at komme til næste y-værdi når x vokser med 1, kaldes også grundtallet. Nogle gange benytter men F for fremskrivningsfaktor.

k - (lille k) ikke noget navn

f(x) er funktionværdien - kan også betegnes som Kapitalens værdi Kn efter n

terminer

Opgaver:
1. Betydningen af fremskrivningsfaktoren
2. Eksponentiel funktion Bestem fremskrivningsfaktor ud fra vækst i procent

Nyt:

1. 1. Betingelser:

a > 0 og a ≠ 1,

b > 0,

r > -1 og r ≠ 0

Vigtige regler om eksponentielle funktioner?

Grafen er voksende når a > 1 eller r > 0 eller k > 0

Grafen er aftagende når 0 < a < 1 eller -1 < r < 0 eller k < 0

Ingen nulpunkter - graf kun i 1. og 2. kvadrant.

Eksponentiel funktion

RESUME:

1. 1. Skriveformer:

f(x) = b * ( 1 + r )x

= b * ax

= b * ekx

= K0 * ( 1 + r )x

Formelsamling (bestemmelse af a og b i forskiften)

Se video om at finde a og b ud fra punkter (5:00)

Opgaver (se billedet for løsning)

Bestem b i eksponentiellefunktioner ud fra a og et punkt

Bestem b ud fra 1 kendt punkt og fremskrivningsfaktoren (formler)

Opgaver (se billedet for løsning)

Bestem a ud fra to punkter for eksponentielle funktioner

Bestem a ud fra 2 kendte punkter (eksempel)

Modul 2-1-3: Forskrift ud fra 2 punkter og regression

Lektie til modulet:

Aktiviteter i modulet

1p: 6/12

1q: 6/12

Grublespørgsmål (ikke 1p)

1. 3 tilfældige
2. Øverste tager en tusch og finder en tavle - de to øvrige følger med
3. 10 minutter i alt
4. Spørgsmål (Kilde)
  1. 1. - Anders Hvid (Cand.scient.soc, Dare Disrupt, etc) i Politiken
      - ”Det er svært at forstå.
      - Forestil dig, at Danmarks nationalarena Parken kunne fyldes op med vand som en balje.
      - Forestil dig så, at du sidder fastspændt på øverste række med en vandhane ved siden af dig.
      - Den drypper hvert minut. Først en dråbe, så to, næste gang fire, så otte osv. Det vil sige, at mængden af vand fordobles for hvert minut."
      - Forskriften for den eksponentielle funktion, der beskriver denne vækst er f(x)=0,25*2ˣ, hvor f(x) er mængden af gram vand i Parken til tiden x målt i minutter.
        Hvordan kan man ved brug af en formel kan beregne denne a-værdi.
        Forklar, hvordan man kan argumentere for at a=2.

Makkerpar

Eksponentiel funktion

RESUME:

1. 1. Skriveformer:

f(x) = b * ( 1 + r )x

= b * ax

= b * ekx

= K0 * ( 1 + r )x

Opgaver - lav individuelt (10 min)
1. Bestem b i eksponentiellefunktioner ud fra a og et punkt
2. Bestem a ud fra to punkter for eksponentielle funktioner

Vi skal bestemme forskriften for den funktion, der gennem (2,12) og (3;10)
1. Hvis funktionen er lineær - hvilke muligheder har vi?
2. Hvis funktionen er eksponentiel - hvilke muligheder har vi?

Benyt eksponentiel regression til at finde a og b i disse opgaver

1. Bestem a ud fra to punkter for eksponentielle funktioner

(samme som I løst før med formlen for a)

Bestem a og b ud fra 2 kendte punkter (formler)

Bestem b ud fra 1 kendt punkt og fremskrivningsfaktoren (formler)

Bestem a ud fra 2 kendte punkter (eksempel)

Bestem a og b ud fra 2 kendte punkter (ved regression)

Modul 2-1-4: Opstilling af regneforskrift

Lektie til modulet:

Aktiviteter i modulet

1p: 8/12

1q: 8/12

Grublespørgsmål

1. 3 tilfældige
2. Øverste tager en tusch og finder en tavle - de to øvrige følger med
3. 10 minutter i alt
4. Spørgsmål
  1. 1. Du har 1000 kr.
    2. Du sætter de 1000 kroner i banken, som giver dig 10% pa i rente
    3. Pengene står i banken i 10 år.
    4. Efter de 10 år hæver 1000 kroner og resten af pengene bliver i banken
    5. Nu går der 10 år mere, hvor renten stadig er den samme.
    6. Opskriv et regneudtryk som kan beregne det beløb, som du har stående i banken efter de 20 år i ét regneudtryk - uden mellemregninger.
    7. Skriv hele regneudtrykket ind i Nspire og beregn beløbet

Makkerpar

Er du matematik-klar?

Visning af hjemmeside

Fra ledelsen:

"Hej allesammen

Jeg er blevet gjort opmærksom på, at en anonym Instagramkonto misbruger GGs navn i forbindelse med deling af billeder af elever på GG.

Det er selvfølgelig uacceptabelt, at GG bliver forbundet med den slags aktiviteter, og gymnasiet har derfor anmodet Instagram om øjeblikkelig lukning af den pågældende profil.

Der er tilsyneladende sket billeddeling af elever uden forudgående samtykke. Billederne sættes ind i en sammenhæng, de ikke oprindeligt var tiltænkt, og dette skaber utryghed.

Hvis det er GG-elever, der står bag delingen, er der tale om et brud på gymnasiets Studie- og Ordensregler, hvilket kan udløse en alvorlig sanktion.

Da der kan være tale om deling af billeder af personer under 18 år, skal gymnasiet tage særlige hensyn. Jeg tager derfor kontakt til politiet snarest muligt med henblik på en evt. efterforskning."

Eksponentiel funktion

1. 1. Skriveformer:

f(x) = b * ( 1 + r )x

= b * ax

= b * ekx

= K0 * ( 1 + r )x

Opgave: Opstil en eksponentiel model og beregn (facit på sidste side)
1. 1. Vi gennemgår et par opgaver ved frivillige

1q hertil

Formelsamlings-escaperoom. (1q lavet, men ingen vinder)
Opgave om grafer for eksponentielle funktioner.
1. 1. OPGAVE og når I har løsninger SVAR HER

Lad os lige se på et eksempel på eksponentiel udvikling Radioaktivt henfald

Fortsæt evt. til Youskills modul

Opgave Forstå betydningen af a og b (spring over)

Opsamling: Hvad ved vi om eksponentille funktioner (formler og grafer)

Klavs' link

Modul 2-1-5: Halvering og fordoblingskonstant

Lektie til modulet:

Aktiviteter i modulet

1p: 12/12

1q: 15/12

Grublespørgsmål

1. 3 tilfældige
2. Øverste tager en tusch og finder en tavle - de to øvrige følger med
3. 10 minutter i alt
4. Spørgsmål
  1. 1. Udledningen af CO2 i verden var i 1958 315 megamange tons
    2. Udledningen af CO2 i verden var i 2020 422 megamange tons
    3. Hvor stor har den årlige procentvise vækst været i perioden?

Makkerpar

Er du matematik-klar?

Eksponentiel funktion

1. 1. Skriveformer:

f(x) = b * ( 1 + r )x

= b * ax

= b * ekx

= K0 * ( 1 + r )x

Klavs gennemgår fordoblingskonstant og halveringskonstant formler 105 og 112

Opgaver:

Aflæs fordoblings- eller halveringskonstant (3 min) eller denne "papirudgave"
Udfyld tabel opgave med fordopling/halvering
Beregning af fordoblings- og halveringskonstant (7 min) eller denne "papirudgave"
Bestem fordoblings- eller halveringstiden ud fra procentændring (5 min)

Tænkeopgaven

Fordoblingskonstant

Halveringskonstant

Modul 2-1-6: Halvering og fordoblingskonstant. Kendskab til eksponentiel funktion

Lektie til modulet:

Aktiviteter i modulet

1p: 18/12

1q: ?/12

Ibrahim og Rosa - prøve

Grublespørgsmål

1. 3 tilfældige
2. Øverste tager en tusch og finder en tavle - de to øvrige følger med
3. 10 minutter i alt
4. Spørgsmål til højre

Makkerpar

Opgave om grafer for eksponentielle funktioner. (10 minutter)
1. 1. 1. OPGAVE og når I har løsninger SVAR HER
    2. Kræver kendskab til ln(x) og globalt minimum

Repetetionsvideo (8 min)

Opstilling af model

Lad os lige se på et eksempel på eksponentiel udvikling Radioaktivt henfald

Opgaver:

Fordobling- eller halveringskonstanten for befolkningsvækst (5 min)

Par (20 minutter): Lav opgaver her
1. Svar på de to spørgsmål (nedenfor) ikke på selve opgaven i opgaveteksten
  1. Find forskriften for funktionen ved at benytte de to punkter. Benyt forskellige metoder (formler, regression)
  2. Find
    1. 1. stigningsfaktoren
      2. den relative vækst
      3. grundtallet
      4. den procentvise vækst
      5. fremskrivningsfaktoren
      6. vækstraten
      7. begyndelsesværdien

Formelsamlings-escaperoom. (1q lavet, men ingen vinder)

Fortsæt evt. til Yourskills modul

Tænkeopgaven

Fordoblingskonstant

Halveringskonstant

Opgaver i eksponentielle funktioner: Yourskills Træning

Lektie til modulet:

Aktiviteter i modulet

Opgaver

Alt på siden under denne overskrift er ikke opdateret

Modul 2-1-7: Kendskab til eksponentielle funktioner (opsamling)

Lektie til modulet:

Aktiviteter i modulet

Opgave om fremskrivning af antal flygtninge fra 2014 og frem
1. Se videoen frem til 8:50.
  1. 1. Opstil selv en model ved at anvende eksponentiel regression ud fra data fra filmen for 2011, 2012 og 2013 og lav fremskrivningen til 2020, 2024 og 2050. Sammenlign med påstandene i videoen.
    2. Hvordan vurderer du din egen models rækkevidde?

Opgave om opslag fra Facebook Hold på 3 (20 min)

Læs opslaget og besvar følgende:
- - Er det korrekt, at 2% af BNP på 2784 mia kr. i 2022 svarer til 56 mia?
  - Er det korrekt, at dette er cirka 19 mia mere end de 37,7 mia kr. som Danmark brugte i 2022 på forsvaret?
  - Er det korrekt, at hvis de 37,7 mia som anvendes i 2022 på forsvaret fremskrives med en årlig vækst på 1,81% frem til 2030 så stiger dette beløb til 43,5 mia?
  - Er det korrekt, at hvis de 37,7 mia som anvendes i 2022 på forsvaret fremskrives med en årlig vækst på 1,81% frem til 2040 så stiger dette beløb til 78 mia?
  - Er det korrekt, at hvis de 37,7 mia som anvendes i 2022 på forsvaret fremskrives med en årlig vækst på 1,81% frem til 2040 så stiger dette beløb til 94 mia?