2p: 28/10 

2q: 28/10

1. 1. Dagens opgave

      1. 1. Lav opgave 2.d1.2 (brug papir og blyant - ingen hjælpemidler kun formelsamling) - 6 minutter

----------------------------------------------------------

Bemærk 4/11

1. 2. Grundlæggende begreber i sandsynligheder

      1. Klavs gennemgår de to billeder nederst for at få begreber på plads

Du skal have styr på:

7. 1. Eksperiment, udfald, udfaldsrum, hændelse, stokastisk, fordeling, sandsynlighed = forventet frekvens, P(sekser), disjunkte hændelser, apriori sandsynlighed = teoretisk sandsynlighed, sandsynlighedsfelt, symmetrisk sandsynlighedsfelt, modsat hændelse = komplementære hændelse.

FOKUS: OG/ELLER

4. Og/eller regneregler

Opgaveeksempler: Hvis det er OG så er det GANGE - Hvis det er ELLER så er det PLUS

• Og-reglen: 

En restaurant kan servere 3 forretter, 4 hovedretter, 2 desserter og 7 forskellelige drikkevarer. 

Hvor mange forskellige aftensmåltider med tre retter og en drikkevare kan bestilles? 

Svar: 3 * 4 * 2 * 7 forskellige måltider med drikkevarer = 168

• Eller-reglen: 

En restaurant kan servere 3 forretter, 4 hovedretter, 2 desserter og 7 forskellelige drikkevarer. 

Hvor mange forskellige retter kan du vælge imellem, når du kun skal have en ret? 

Svar: 3 + 4 + 2 forskellige måltider = 9

• Gælder også ved sandsynligheder

• Og-reglen: 

Hvad er sandsynligheden for at slå først en 5'er og så en 4'er med to kast med en terning? 

Svar: 1/6 * 1/6 = 1/36

• Eller-reglen: 

Hvad er sandsynligheden for at en 5'er eller en 4'er i et kast med et kast med en terning? 

Svar: 1/6 + 1/6 = 2/6

FOKUS: TILBAGELÆGNING, RÆKKEFØLGE

5. Uden tilbagelægning, rækkefølge HAR betydning = PERMUTATIONER (ex: 2 elever vælges til formand og kasserer i en klasse) 

   1. 1. 1. Permutationsformlen = Antal muligheder når du vælger r ud af n og rækkefølgen har betydning: 

                          n! 

              P(n,r) = ------- 

                       (n-r)!

5. 1. 1. 2. Bestem antal mulige udtræk uden tilbagelægning, når rækkefølge har betydning

6. Uden tilbagelægning, rækkefølge har IKKE betydning  = KOMBINATIONER (ex: 2 elever vælges til elevrådet i en klasse)

   1. 1. 1. Kombinationsformlen = Antal muligheder når du vælger r ud af n og rækkefølgen IKKE har betydning: 

                            n! 

              K(n,r) = ------------ 

                       r! * (n-r)!

6. 1. 1. 2. Kombinatorik udvælg antal personer fra klasse af kvinder og mænd, rækkefølge med og uden betydning.

Abacus-træning

Opgaver i kombinatorik (facit efter opgaverne)

Opgave i sandsynlighed

• disse opgaver

2p og 2q: 30/10

1. 1. Dagens opgave

      1. 1. Lav opgave 5.d1.2 (brug papir og blyant - ingen hjælpemidler kun formelsamling) - 6 minutter

Bemærk 4/11

BINOMIALFORDELING

1. • 1. Afgør om der er tale om et binomialforsøg og find antalsparameteren ud fra tekst

Binomialmodel

X er en binomialfordelt stokastisk variabel. 

X står får antallet af succes, når et eksperiment udføres n gange.

P(X=7) betyder: Sandsynligheden for at få 7 succes. 

Formlen for at finde sandsynligheden P(X=r )for en bestemt binomialfordelt hændelse med r successer ud af n eksperimenter kaldes en binomialmodel og skrives som formel (188):

                    n!       r       n-r 

    P(X=r) = ------------ * p * (1-p)

              (n-r)! * r!

Opgaver

• 1. 1. Bestem p,  1−p og n i en binomialmodel givet antal

• 1. 2. Klavs viser:

Opgave: Beregn sandsynligheden med formel (188) for at få 5 seksere i 10 kast med en almindelig terning. 

Dvs: Sandsynligheden er b(10,⅙) og vi skal finde P(X=5).

PS: Svaret er P(X=5) = 1,3%

• 1. 1. Bestem P(X=x) for X en binomialfordelt stokastisk variabel Sæt tal ind i formel (188). Beregn i Nspire ved at skrive hele formel (188) i Nspire.

• 1. 2. Bestem P(X=x) for X en binomialfordelt stokastisk variabel Beregn i Nspire med binompdf (se billedet til højre)

• 1. 3. Bestem middelværdi og spredning for andedam (binomial model) Benyt formel (189 og 190)

• 1. 4. Bestem P(X<=>r) for en binomialfordelt stokastisk variabel Benyt Nspire binomcdf (se billedet til højre)

2p 4/11

og 

2q: 5/11

1. 1. Dagens opgave

      1. 1. Lav opgave 5.d1.3 (brug papir og blyant - ingen hjælpemidler kun formelsamling) - 6 minutter

Binomialmodel

Eksempel:

Vi kaster en terning 5 gange. Hvad er sandsynligheden for at få 2 4'ere?

n er antalsparameteren = 5

r er antal succes = 2

p er sandsynligheden for succes = 1/6

                    5!          2         5-2 

    P(X=2) = ------------ * (1/6) * (1-1/6)

              (5-2)! * 2!

Formlen udregner sandsynligheden for at få 2 succes i et binomialeksperiment, der gentages 5 gange og har sandsynligheden for succes på 1/6.

Der er tre dele:

          5!       

    ------------     er antal måder man kan få 2 ud af 5

    (5-2)! * 2!

        2                                          

   (1/6)             er sandsynligheden for at få 2 succes    

          5-2 

   (1-1/6)           er sandsynlighed for at få 5-2 fiasko

Generelt:

n er antalsparameteren

r er antal succes

p er sandsynligheden for succes

                    n!       r       n-r 

    P(X=r) = ------------ * p * (1-p)

              (n-r)! * r!

Formlen udregner sandsynligheden for at få r succes i et binomialeksperiment, der gentages n gange og har sandsynligheden for succes på p.

Der er tre dele:

          n!       

    ------------ er antal måder man kan få r ud af n

    (n-r)! * r!

    r                                          

   p             er sandsynligheden for at få r succes    

        n-r 

   (1-p)         er sandsynlighed for at få n-r fiasko

Opgaver

• 1. 1. Bestem P(X=x) for X en binomialfordelt stokastisk variabel Beregn i Nspire med binompdf(n,p,r) (se billedet til højre)

• 1. 2. Bestem P(X<=>r) for en binomialfordelt stokastisk variabel 

Benyt Nspire binomcdf(n,p,mindst, højest) 

(se billedet til højre)

Hypotesetest

Et eksempel på en binomial-hypotesetest Klavs´ matematikprøve

Situation

• Klavs afholder en prøve i matematik. Prøven er en multiple choice test med 20 spørgsmål. I hvert spørgsmål er der 4 svar hvoraf 1 er rigtigt.

• Jørgen svarer 6 rigtige. Spørgsmålet er, om Jørgen kan sige, at han er dygtigere eller dummere end en chimpanse, der blot svarer helt tilfældigt. 

Hvis vi tester virkelig mange chimpanser, så vil nogle svar 0 rigtige, flere 1, flest 5 rigtige og nogle 6, 7, 8 og flere rigtige - ved ren tilfældighed. De vi fordele sig som på billedet nedenfor.

Hvad tester vi?

• Hypotese H0: Jørgen er ikke dygtigere end en chimpanse, der svarer helt tilfældigt. Dvs Jørgen har 25% chance for at ramme rigtigt i hvert spørgsmål. Kaldes p0 = 0,25. Som udgangspunkt tror vi at Jørgen er som en chimpanse. Ingen forskel derfor er Jørgens sandsynlighed p0 = 0,25.

• Alternativ hypotesen er HA, at Jørgen er dummere eller dygtigere end en chimpanse, men vi kender ikke hans sandsynlighed for at ramme rigtigt. P for Jørgen kender vi ikke. Den kaldes palternativ

Hvor sikre skal vi være?

• Hvis vi skal tro på, at Jørgen er anderledes end en chimpanse skal vi være så sikre, at Jørgen kun i 5% af rigtig mange forsøg ville ramme mange rigtige eller mange forkerte. De 5% kaldes signifikansniveauet.

Hvordan tester vi?

• Der er fire muligheder

  • Jørgen er lige så dygtig som en chimpanse - altså p0 = palternativ 

  • Jørgen er dygtigere end en chimpanse - altså p0 < palternativ  - Jørgen ligger til højre for chimpansen 

  • Jørgen er ikke lige så dygtig som en chimpanse - altså palternativ < p0 - Jørgen ligger til venstre for chimpansen 

  • Jørgen er enten ikke lige så dygtig ELLER dygtigere end en chimpanse p0 ≠ palternativ - Jørgen ligger enten til højre eller til venstre 

Testen

• Vi tester altid H0. Hvis X er en stokastisk variabel for antal rigtige svar er X binomialfordelt med b(20, ¼).

• Da vi tror at Jørgen er anderledes end chimpansen er p0 ≠ palternativ og vi skal lave en dobbeltsidet test. Jørgen ligger enten højere eller lavere end chimpanserne (tror vi)

Resultater:

• Se billedet til højre

Konklusion: 

1. Da vi ville være 95% sikre på, at Jørgen ikke bare var heldig må vi altså kræve, at han svarer rigtigt på 10 eller flere eller 1 eller færre korrekte for at adskille sig fra en chimpanse. 

--------------------------------------------------------------------------------------------

Hypotesetest: AI billeder

Tag testen. Tæl og husk, hvor mange af de 7 svar du fik rigtige. 

Hypotesetest - kan du genkende AI generede billeder?

1. Vi prøver at svare på 7 spørgsmål for at se, om vi kan se forskel på ægte og AI generede billeder. Der er 50% change for at gætte rigtigt hver gang.

   1. 1. 1. 1. 1. Hypotesetest

                  1. 1. Binomialeksperimentet er "AI billeder" ovenfor. Succes er "kan genkende et AI billede" fiasko er "kan ikke genkende et AI billede"

                     2. Nulhypotese: Du kan ikke se forskel

                     3. Alternativhypotese: Du kan se forskel

                     4. Da vi holder fast i nulhypotesen er sandsynligheden for succes (altså at du ikke kan se forskel) p=1/2

                     5. Vi har udført eksperimentet 7 gange så n=7. 

                     6. Signifikansniveau er 5%.

                     7. Hvis dit resultat ligger i den kritiske mængde så har du overbevist os om, at du kan se forskel.

Se beregning på billedet til højre

--------------------------------------------------------------------------------------------

Fælles opgave: Slikfabrikken og kvalitetskontrol

En slikfabrik fremstiller chokolader og har et kvalitetskrav, som siger, at 90% af chokoladerne skal være fejlfri, dvs. uden skader, misfarvninger eller andre defekter. Hvis der er flere end 90% fejlfrie er produktionen for langsom. Hvis der er færre end 90% fejlfrie er det for dyrt at kassere de fejlramte chokolader.

Hver uge udtages en stikprøve af 200 chokolader fra produktionslinjen for at sikre, at kvaliteten overholdes. For at holde styr på kvaliteten bruger fabrikken en binomial hypotesetest til at vurdere, om chokoladerne opfylder kvalitetskravene.

Brug et signifikansniveau på 5%.

---

Opgaver:

1. Formulering af hypoteser:  Skriv nulhypotesen og alternativhypotesen, der kan bruges til at teste, om andelen af fejlfri chokolader er 90%.

2. Opstilling af binomialtest: Brug en binomial hypotesetest til at afgøre, om produktionslinjen lever op til kvalitetskravet. 

   1. Kritisk og acceptområde:  Bestem kritisk og acceptområdet for testen ved et signifikansniveau på 5%.

   2. Hypotesetest – Fortolkning:  I de næste fire uger er der taget en stikprøve på 200 stk. chokolage. Der blev fundet 173, 164, 191 og 195 stykker fejlfrie chokolager. Afgør om nulhypotesen kan accepteres eller afvises i hver af de fire uger. Forklar, hvad resultatet betyder for kvaliteten af chokoladerne.

   3. Fortolkning af resultat:  Forklar, hvad det betyder, hvis resultatet ligger inden for acceptområdet, og hvad det betyder, hvis det ligger i det kritiske område.

   4. Tilpasning af test:  Hvad ville der ske, hvis fabrikken hævede kvalitetskravet til 95% fejlfri chokolader? Hvordan ville du ændre hypoteserne og kritisk område?

   5. Test ved lavere signifikansniveau og fastholder kravet om 90% fejlfrie:  Hvis man reducerer signifikansniveauet fra 5% til 1%, hvordan påvirker det så kritisk område? Forklar ændringen.

2p hertil mandag

--------------------------------------------------------------------------------------------

Colasmagning

Klavs: Til print: bordækning og svarkort

• Kan man smage forskel? SMAGSTEST underholdning (3:28)

  • Hvad er jeres indtryk? 

  • Kan man smage forskel på cola? 

  • Hvem herinde kan?

Sådan gør vi: Hypotesetest (binomialfordeling) (5:00)

Vi laver binomialtest i Nspire (n=9, p=1/3). 

Kan du smage forskel?

--------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------

Link til Hans Rosling og Kahoot til svar (med 3 spørgsmål)