Forløb

Hvorfor vi skal arbejde med matematiske modeller?

1. Se denne video (2 min) om, hvordan matematiske modeller er beslutningsgrundlag for, hvordan Danmark åbnes efter Corona-lockdown (7/4 2020).

   1. 1. Hvad var "den røde og den grønne kurve" under Corona-epidemien?

      2. Hvad er forudsætningen for modellens beregninger? Og hvorfor er de vigtige?

      3. Hvad mener Kaare med "et følsomhedsscenarie?"

2. Læs: Én ud af 35 af de økonomiske prognoser rammer rigtigt ( 3 minutter til at læse). Og besvar quizzen kortlink.dk/2s7zp 

3. Se et eksempel på, hvordan en model kan bruges i en politisk diskussion (6:20) i valgkampen 2019. Hvem er "det grønneste parti ?"

4. Et eksempel på en matematisk model, der ligger til grund for beslutninger omkring karantæne ifm Coronavirus epidemi. 

Kig på alle eksemplerne til højre på, at matematik anvendes i mange forskellige sammenhænge og på måder, der har konsekvenser for os alle sammen.

Her er en podcast om "10 formler, der forandrede verden". Lyt fx til afsnittet (30 min) om Ls Lm modellen, der forklarer økonomiske sammenhænge. Ikke nu - en anden dag.... https://formler.podbean.com/

I artiklen Økonomiske prognoser: Sigter godt men rammer skidt (meget skidt, faktisk), kan se du konkrete eksempler på, hvordan mange forskellige matematisk/økonomiske modeller forudsiger meget forskellige resultater af den økonomiske vækst i Danmark.

I denne artikel kan du se en gennemgang af en simpel version af de matematiske modeller, som danner baggrund for vurderingen af fiskebestandene og dermed baggrund for hvor store fangstkvoter EU kan fastsætte for de enkelte landes fiskeri i de kommende år.

I denne rapport gennemgås konkrete modeller og der er særligt fokus på betydningen af de matematiske/økonomiske modellers betydning for den politiske beslutningsproces. 

Udarbejdet af en tværfaglig arbejdsgruppe, Teknologirådets rapporter 1995/4

Her er ChatGPTs forklaring på hvorfor matematiske modeller er vigtige:

Matematiske modeller er afgørende inden for forskellige områder af videnskab, teknologi, økonomi og samfundet som helhed af flere grunde:

Forudsigelse og Planlægning:

• Matematiske modeller tillader forudsigelser baseret på tidligere data og observationer. Dette gør det muligt at planlægge fremtidige begivenheder, ressourceallokering, og træffe informerede beslutninger.

Problemløsning:

• Matematiske modeller hjælper med at løse komplekse problemer ved at forenkle dem til en form, der kan analyseres og forstås. De giver en struktureret tilgang til at håndtere komplekse situationer og finde løsninger.

Optimering:

• I mange situationer er der behov for at optimere ressourcer eller processer for at opnå det bedst mulige resultat. Matematiske optimeringsmodeller gør det muligt at finde de mest effektive løsninger inden for givne begrænsninger.

Forståelse af Sammenhænge:

• Matematiske modeller hjælper med at forstå sammenhænge mellem forskellige variabler og fænomener. Dette bidrager til at opbygge teorier og konceptuelle rammer, der kan forklare og forudsige virkeligheden.

Design og Udvikling:

• Inden for teknologi og ingeniørarbejde anvendes matematiske modeller til at designe og udvikle nye produkter, systemer eller teknologier. Dette sikrer en systematisk tilgang og hjælper med at forudsige, hvordan disse vil opføre sig under forskellige forhold.

Simulering:

• Matematiske modeller bruges til simulering, hvor man kan efterligne virkningen af forskellige variabler i en kontroleret virtuel verden. Dette er særligt nyttigt, når det er vanskeligt eller dyrt at udføre virkelige eksperimenter.

Videnskabelig Forskning:

• Inden for videnskabelig forskning giver matematiske modeller et redskab til at formulere og teste hypoteser. De hjælper med at kvantificere observationer og opdage mønstre i data.

Beslutningsstøtte:

• Virksomheder og organisationer anvender matematiske modeller som beslutningsstøtteværktøjer. Dette gælder inden for områder som økonomi, markedsføring, logistik og mere.

Samlet set spiller matematiske modeller en afgørende rolle i vores evne til at analysere komplekse situationer, forudsige resultater og træffe velinformerede beslutninger. De er en vigtig del af det videnskabelige og teknologiske fundament, der driver fremskridt og innovation.

Opsamling på dette modul:

Læringsmål:

1. Du har set konkrete eksempler en bred anvendelse af matematiske modeller

2. Du har set hvor stor en rolle resultater fra matematiske kan have i mange aspekter i vores alle sammens liv. Fra politiske beslutninger om fiskekvoter til økonomiske beslutninger og skatter og afgifter til sundhedsfaglige beslutninger i forbindelse med en pandemi.

Faglige pointer:

1. Matematik kan være svært. Og matematiske modeller er ikke lettere - fordi det er et samspil mellem matematik og andre fag. Men det er for vigtigt til at overlade kendskabet til matematiske modeller alene til teknokrater.

2. Fordi matematiske modeller påvirker beslutningsprocesser er det af demokratisk betydning, at vi alle beskæftiger os med dette arbejde.

Hvordan kan matematik være en del af en værktøjskasse

1. Fag

2. Metode

3. Genstandsfelt

Beviser eller "ren" matematik

• Faget matematik anvender matematiske regneregler og matematiske teorier til at studere genstandsfeltet matematik

• Løs en ligning (regneregler, Algebra)

• Differentier en funktion (differentialregningsregler)

Matematiske modeller

• Et andet fag end matematik anvender faget matematik som en metode med matematiske regneregler og matematiske teorier til at studere et bestemt genstandsfelt

Matematisk er genstandsfelt

• Et andet fag (det kunne være historie eller samfundsfag) fokuserer med historiske eller samfundsfagloige metoder for at studere genstandsfeltet matematik

Kilde

Opgave:

Undersøg denne model. kortlink.dk/2s7zn 

• For at køre modellen skal først vælges værdier på de grønne skydere. Tryk derefter SETUP og derefter GO

1) Hvad er det fag, der arbejdes indenfor?

2) Hvilke matematiske metoder, teorier, fagbegreber anvendes i arbejdet?

3) Hvad er genstanden for modellen?

4) Hvordan virker modellen?

• Hvilke uafhængige variable indgår?

• Hvilke parametre indgår

• Hvad er den afhængige variabel?

• For at køre modellen skal først vælges værdier på de grønne skydere. Tryk derefter SETUP og derefter GO

• Hvad vises i det sorte vindue og i det hvide graf-vindue?

5) Undersøg forskellige resultater fra modellen.

6) Hvem kan have interesse i sådan en model og den resultater?

Her er hvad ChatGPT siger om metoden: Matematisk Model

At bygge en matematisk model indebærer at formulere en repræsentation af virkeligheden ved hjælp af matematiske koncepter, ligninger og variabler. Her er en generel oversigt over processen med at bygge en matematisk model:

1. **Identificer Formålet:**

   Definér klart formålet med din model. Hvad forsøger du at forstå, forudsige eller optimere? Formålet vil styre resten af modelleringsprocessen.

2. **Definér Variabler:**

   Identificér de relevante variabler i den virkelige situation, som du ønsker at modellere. Disse variabler er de størrelser, der ændrer sig og påvirker hinanden.

3. **Formulér Antagelser:**

   Afgør hvilke antagelser du vil gøre i din model. Antagelser er forenklende betingelser, der gør det lettere at arbejde med matematikken, men de bør være realistiske og reflektere virkeligheden så nøjagtigt som muligt.

4. **Udvælg En Modeltype:**

   Vælg den type matematisk model, der bedst passer til dit formål. Dette kan omfatte lineære ligninger, differentialligninger, statistiske modeller eller andre typer afhængigt af problemet.

5. **Opsæt Ligninger:**

   Opstil matematiske ligninger, der beskriver sammenhængene mellem dine identificerede variabler. Dette indebærer ofte brug af matematiske operationer og konstanter for at repræsentere interaktionerne mellem variablerne.

6. **Tilpas Parametre:**

   Tilpas eventuelle parametre i dine ligninger baseret på eksisterende data eller estimater. Dette indebærer ofte kalibrering af modellen for at gøre den mere nøjagtig.

7. **Løs Ligningerne:**

   Løs de opstillede ligninger for at finde en matematisk repræsentation af de variable, du er interesseret i. Dette kan kræve anvendelse af matematiske metoder, ligningsløsning eller numeriske teknikker.

8. **Valider Modellen:**

   Valider din model ved at sammenligne dens forudsigelser med eksisterende data eller resultater fra virkelige forsøg. Juster modellen efter behov for at forbedre dens nøjagtighed og anvendelighed.

9. **Fortolk Resultater:**

   Fortolk resultaterne af din model i forhold til det oprindelige formål. Hvad kan du konkludere, og hvordan kan dine resultater anvendes i praksis?

10. **Dokumentation:**

   Dokumentér din model omhyggeligt, herunder alle antagelser, ligninger, parametre og trinvise instruktioner. Dette gør det lettere for andre at forstå og reproducere din model.

Bygning af en matematisk model er en iterativ proces, og det er ofte nødvendigt at justere og forfine modellen baseret på feedback og yderligere data. Det er vigtigt at forstå, at en matematisk model altid indebærer en vis grad af forenkling og generalisering for at gøre komplekse virkeligheder mere håndterbare.

Opsamling på dette modul:

Læringsmål:

1. Du har set tre moder at beskæftige sig med matematik på i gymnasiet. 

   1. Som et fag i sig selv (fx i beviser eller ved løsning af en ligning)

   2. Som et fag, der kan anvendes til at løse problemer i andre fagområder (som matematiske modeller)

   3. Som et fag, der kan studeres som en genstand fra et andet fags synsvinkel (fx fra en historisk sysnvinkel)

Faglige pointer:

1. Matematik har flere roller. Og de tre ovenstående er helt forskellige.

2. I dette forløb ser vi kun på, hvordan matematik anvendes til at forstå og løse problemer i andre fag. Alstå som en matematisk model.

Arbejdet med matematiske modeller. 

Lyt til denne autogenererede podcast om modeller. 5:00. 

Baseret på denne kilde

Et overblik over modelbygningsprocessen

1. 1. Først et eksempel på matematiske modeller i gymnasiet. Lav opgave (se billedet til højre - Temperaturopgaven) 

      1. 1. Løsninger:

      2. a) D(T)=15,7*0,891^T

      3. b) Ved -180C er holdbarheden 125 dage

Temperaturen skal være -21,2 ved holdbarhed på 180 døgn.

1. 1. 4. c) Halveringskonstanten 6,0 grader

-20,6% i holdbarhed ved ændring af temperaturen på +2 grader

1. 2. Se denne video om matematiske modeller: 13:00 Mange eksempler

1. 3. Se nu denne mere detaljerede beskrivelse af modelarbejdet. (9:06) (Svarende til den blå figur til højre). En oversigt over begreberne kan ses her.

   4. Quiz i begreberne. Også her: kortlink .dk/2kcq7 

   5. Lyt til denne podcast (19/3/2025) (fra 1 minut til 6 minutter). "Kan AI gøre so klogere på verdens opbrud? Mikkel Vedby med Lars Christensen i Lille Land, Hvorhen"

Forstå modellen i den blå figur

7. 1. 1. Afhængig og uafhængig variabel

Se videoen for lige at genopfriske det med variable: Matematiske begreber: Afhængige og uafhængige variable, fra tekst til matematik video (1 min).

7. 1. 2. Estimering af parametre

En meget vigtig del af arbejdet med matematiske modeller er estimering af parametre. Regression er en vigtig metode til estimering.

1. Spring over Se videoen Lineær regression, residualplot og residualspredning(7:00) og få de forskellige aktiviteter i præsentationen til at passe ind i den blå figur for modelbygningsprocessen.

   1. Opstilling af data i tabel

   2. Valg af lineær model

   3. Lineær regression

   4. Brugen af forklaringsgraden 

   5. Brugen af residualplottet

   6. Brugen af residualspredningen

   7. Brugen af residualerne i forhold til residualspredningen

2. Se videoen om residualer (7:00) i regression for at få et indtryk af modellens validitet.

3. Klavs gennemgår med udgangspunkt i dette link, hvordan regression mere præcist foregår ved hjælp af “mindste kvadraters metode”: Undersøg denne Geogebra-opgave om mindste kvadraters metode. Hvad er det mindste mulige samlede areal?

I denne (lange) tekst kan du se et eksempel på hele modelbygningsprocessen beskrevet i detaljer. Eksemplet handler om, hvordan alkohol nedbrydes i kroppen med det formål at opstille en model for hvornår man kan køre bil lovligt efter at have indtaget 12 øl.

ChatGPT:

I forbindelse med matematiske modeller spiller flere begreber en afgørende rolle. Her er forklaringer på begreberne idealisering, abstraktion, estimering af parametre og validitet:

1. **Idealisering:**

   Idealisering refererer til processen med at forenkle og fjerne unødvendige detaljer fra den virkelige verden for at gøre modellen mere håndterbar. Det indebærer ofte at ignorere mindre væsentlige faktorer for bedre at fokusere på de vigtigste aspekter af det system, der studeres. Idealisering er nødvendig, da det gør det muligt at opnå matematisk løselige problemer og lette forståelsen af grundlæggende sammenhænge.

2. **Abstraktion:**

   Abstraktion indebærer at repræsentere virkelige objekter eller processer ved hjælp af en simpel model, der fanger de afgørende karakteristika. Det handler om at udtrække det væsentlige og generalisere uden at miste nødvendige detaljer. Abstraktion gør det lettere at arbejde med komplekse systemer og udforske deres matematiske egenskaber.

3. **Estimering af Parametre:**

   Når man bygger matematiske modeller, er det ofte nødvendigt at estimere værdierne af parametre, der ikke er direkte observerbare, baseret på tilgængelige data. Estimering indebærer at tilpasse modellens parametre for at minimere forskellen mellem modelens forudsigelser og faktiske observationer. Dette kan gøres ved hjælp af statistiske metoder som metoden med mindste kvadraters eller andre optimeringsalgoritmer.

4. **Validitet:**

   Validitet refererer til, i hvilken grad en matematisk model repræsenterer virkeligheden korrekt. En model anses for at være valid, hvis dens resultater er troværdige og overensstemmende med observationer og eksperimentelle data. Validiteten afhænger af flere faktorer, herunder kvaliteten af de antagelser, der er gjort under modellering, og hvor godt modellen passer til de reelle forhold, den forsøger at beskrive.

Samlet set er disse begreber vigtige elementer i udviklingen og anvendelsen af matematiske modeller. Idealisering og abstraktion hjælper med at forenkle komplekse situationer, estimering af parametre gør det muligt at tilpasse modeller til eksisterende data, og validitet sikrer, at modellen er pålidelig og nyttig i praksis. Det er vigtigt at afveje kompleksitet og nøjagtighed for at skabe modeller, der er både anvendelige og realistiske.

Opsamling på dette modul:

Læringsmål:

1. Matematiske modeller udvikles med udgangspunkt i et problem fra et område, der ligger uden for matematikken selv. Vi kalder det virkelighedens verden.

2. Problemet afgrænses i et system (en hel masse aspekter fra virkeligheden sorteres fra). Og det afklares hvilke dele, der er vigtige for at forstå og løse problemet.

3. Systemet beskrives ved at få styr på sammenhænge (variable - afhængige (endogene) og uafhængige (eksogene)).

4. Systemet beskrives ved brug af matematiske objekter (fx funktionsforskrifter eller sandsynlighedsfordelinger). I denne proces sker der to vigtige beslutninger

   1. Dele sorteres fra (vi siger, at vi abstraherer fra) dele af systemet som ikke medtages i vores matematiske model. 

   2. Dele af den matematiske beskrivelse forenkles (vi siger, at vi idealiserer) vores systembeskrivelse er ikke helt korrekt, men god nok til vores brug. 

5. Herefter skal de konstanter, som indgår i modellen estimeres (sættes tal på). Det kan vi gøre på mange måder, men fx ved at lave en regression på data fra vikreligheden eller ved at slå op i en tabel eller på mange andre måder.

6. Så kan vi foretage beregninger med modellen. Og dermed kan vi sammenligne modellens resultater med rigtige data fra virkeligheden - hvis de findes. Hermed kan vi understøtte, at modellen kan benyttes og kan give forventede resultater. (Vigtigt: Men det kan man jo ikke altid. For virkningen af en oplukning af samfundes efter en nedlukning under en pandemi har vi jo ikke mulighed for at sammenligne med tal for den virkelige verden for den kender vi jo ikke). Denne sammenligning af model-resultater med virkelige data kalder vi verifikation og det resulterer i et bud på modellens validitet.

7. Endelig kan vi nu lave beregninger for at besvare det oprindelige problem. Beregninger foregår i den matematiske "verden" men resultatet skal oversættes til en løsning, der kan forstås og anvendes i den virkelige verden.

Faglige pointer:

1. Modelarbejdet er komplekst og langvarigt. I gymnasiet ser vi oftest kun en lille og meget forenklet udgave af dette modelarbejde. I realiteten er dette langsommeligt og skal ofte gennemføres mange gange før man kan nå et fornuftigt og pålideligt resultat. 

Vurdering af om der er en sammenhæng mellem to variable

Beregning af konfidensinterval for hældning af regressionslinje

1. Hypotese: 

Der er en sammenhæng mellem størrelsen af en mands fødder (y skostørrelse) og mandens højde (x cm).

2. Analyse: 

Data - > Lineær regression (se billede)

Regressionslinjens forskrift ses (billede)

3. Beregning af konfidensinterval for hældning af regressionslinje:

Antal datapunkter (n=159)

Regressionslinjens hældningskoefficient: a=0,28360

Forklaringsgraden (0,7164)

Beregningen foretages her 

(se resultat på billede)

Konklusion: 

"Med 95% sandsynlighed ligger hældningskoefficienten for den rette regressionslinje for sammenhængen mellem højde og skostørrelse i intervallet [0,255 ; 0,312]. Da hældningen er større end 0 er der derfor en sammenhæng mellem højde og skostørrelse (med 95% sandsynlighed)"

• Beregninger med modellen

  1. 1. Regressionsmodellen blev fundet til 

f(x) = 0.2836x-8.2272. 

Dvs med 95% sandsynlighed ligger en skostørrelse imellem de to værdier

f(x)=0.255x-8.2272 

og 

f(x)=0.312x-8.2272

• 1. 2. Så ved en højde på 200 cm vil 95% af mænd benytte skostørrelse mellem 

f(200)=0.255*200-8.2272 = 42.77

og 

f(200)=0.312*200-8.2272 = 54.17

• 1. 3. Altså 95% af mænd på 2m anvender skostørrelser i intervallet: 

[42.77 ; 54.17 ]

Vurdering af en models validitet

Opgave i at vurdere validiteten af en lineær model: Her ses 4 datasæt. Anscombe's datasæt 

Kilde: https://en.wikipedia.org/wiki/Anscombe%27s_quartet 

I grupper (en gruppe laver beregninger for et sæt data I, II, III eller IV på billedet til højre)

1. 1. 1. Lav en lineær regression for et af de 4 datasæt.

1. 1. 2. Find 

         1. 1. formlen for regressionslinjen, 

            2. forklaringsgraden r2, 

            3. residualplottet.

            4. vurder om nogle datapunkter kan være outliers

            5. beregn IKKE residualspredningen (se billedet til højre for hvordan man gør i Nspire)

            6. beregn IKKE konfidensinterval om regressionslinjen.

1. 1. 3. Vurder den lineære models rækkevidde og validitet. 

Mere hjælp i dette dokument

1. 1. 4. Hvad er særligt i sæt 3 og 4? 

1. 1. 5. Gruppen fremlægger deres vurdering for klassen.

Opsamling på dette modul:

Læringsmål:

1. Modellens validitet er en forudsætning for, hvor troværdige eller pålidelige resultaterne er fra modellen. 

2. I regressionsmodeller anvender vi 

   1. punktplottet og sammenligner med grafen for regressionsforskriften

   2. Forklaringsgraden r2 og 

   3. Residualplottet - når vi vurderer modellens validitet og rækkevidde.

Faglige pointer:

1. Se ovenfor

RYGTESPREDNING - med brug af mobiltelefon til tidtagning

1. Medbringer din mobiltelefon

2. Fordeler jer jævnt over hele området

3. Start timeren/stopuret på mobilen, når jeg siger start

4. En elev har hørt et rygte. 

5. Rygtesprederen stopper med det samme sin tid

6. Alle går rundt og mødes og viser deres mobil til hinanden.

7. Hvis du møder en stoppet timer: Det betyder at du nu har hørt rygtet. Hvis mobilens timer er stoppet på den ene persons mobil, betyder det at rygtet gives videre og den anden person stopper også sin mobil (så kamufleret som muligt). 

8. Hvis to personer mødes uden at mobilernes timere er stoppet, går de bare videre i jagten på at finde rygtet.

9. Hvis to personer mødes, hvor begge mobilers timere er stoppet, går de også bare videre og møder sandsynligvis nye personer som de videregiver rygtet til.

10. Efter 10 minutter stopper vi.

Vi skal nu bestemme antallet af personer, der har hørt rygtet som funktion af tiden. Hvad gør vi?

Hvad er den afhængige variabel?

Hvad er den uafhængige variabel?

1. • Vurder modellens kvalitet fx ud fra residualplot.

   • Hvad er ifølge modellen den øvre grænse for antallet af elever, som kender rygtet?

   • På hvilket tidspunkt var der den største tilvækst i antallet af elever, som kender rygtet ifølge din model?

Tak til Lisbeth

Opsamling på dette modul:

Læringsmål:

1. I dette forløb prøver et simpelt eksperiment for et lave en matematiske model for rygtespredning.

Faglige pointer:

1. Se ovenfor

Hvad påvirker søvnkvalitet?

Hvordan kan man sætte tal på de enkelte parametre?

Hvordan måler man søvnkvalitet og hvordan sætter man tal på?

Hvordan skaffer vi data?

Vi udarbejder et spørgeskema

Grupper gennemgår teorien for hvordan de enkelte parametre påvirker søvn.

Vi udarbejder multipel regression

Vi konkluderer på modellens validitet og konkluderer på resultaterne.

Opsamling på dette modul:

Læringsmål:

1. I dette forløb prøver et simpelt eksperiment for et lave en matematiske model for rygtespredning.

Faglige pointer:

1. Se ovenfor

Teoretisk og empirisk kontrol af matematiske modeller

Klavs forklarer den grundlæggende ide om teoribaserede og ad-hoc modeller ud fra billedet.

Læs kilden (20 minutter). MATEMATISKE MODELLER – vejledende eller vildledende? af Jens Højgaard Jensen i AKTUEL NATURVIDENSKAB, NR.6, 2019, side 32

Fra artiklen:

"Den kvalitative forskel mellem teoriafledte matematiske modeller og ad hoc matematiske modeller ligger ikke i, at de teoriafledte er til at stole på, hvis teorien er til at stole på, mens ad hoc modellerne ikke er til at stole på. Så nemt er det desværre ikke. De teoretiske modeller kan uanset teoriernes troværdighed være bygget på så forsimplende idealiseringer, at de er fejlvisende. Og ad hoc modeller kan være så rige på datainput, at de kan fungere som troværdig kortlægning.

Den kvalitative forskel mellem teoriafledte matematiske modeller og ad hoc matematiske modeller ligger i, hvordan deres troværdighed kan kontrolleres. Hvor teoriafledte matematiske modeller både kan underlægges teoretisk kontrol og empirisk kontrol, kan ad hoc matematiske modeller kun underlægges empirisk kontrol."

ChatGPT:

Forskellen mellem teoribaserede matematiske modeller og ad-hoc matematiske modeller ligger primært i den måde, de udvikles og formuleres på:

1.Teoribaserede Matematiske Modeller:

• Baggrund i Eksisterende Teori: Teoribaserede modeller er udviklet med udgangspunkt i eksisterende teori eller etablerede principper inden for det relevante videnskabelige område. De bygger ofte på veldefinerede matematiske koncepter og principper.

• Systematiske og Strukturerede: Disse modeller er mere systematiske og strukturerede, da de er baseret på teoretiske grundlag, der hjælper med at skabe en sammenhængende ramme for forståelsen af det studerede fænomen.

• Generelle Anvendelighed: Teoribaserede modeller har ofte en bredere anvendelighed, da de er udviklet med henblik på at forstå generelle principper og lovmæssigheder inden for et givet område.

2.Ad-hoc Matematiske Modeller:

• Udviklet uden Tydelig Teoretisk Basis: Ad-hoc modeller er udviklet uden nødvendigvis at have en stærk teoretisk baggrund. De kan blive oprettet hurtigt for at håndtere specifikke problemstillinger eller situationer uden en dyb forståelse af de underliggende teoretiske mekanismer.

• Mindre Strukturerede og Formaliserede: Disse modeller kan være mindre strukturerede og formaliserede sammenlignet med teoribaserede modeller. De fokuserer mere på at tilpasse sig en konkret situation snarere end at være generelt anvendelige.

• Særtilfælde og Praktisk Tilpasning: Ad-hoc modeller er ofte designet som særtilfælde eller specifikke løsninger til praktiske problemer. De kan være mere fleksible og tilpasses hurtigt til ændrede omstændigheder.

I praksis kan der være overlap mellem disse to typer modeller, og det er ikke altid klartskåret. Nogle modeller kan begynde som ad-hoc modeller og senere blive udviklet yderligere, når der opstår mere teoretisk viden. Der kan også være situationer, hvor ad-hoc modeller er mere hensigtsmæssige, især når der mangler tilstrækkelig teoretisk viden eller når det er nødvendigt at handle hurtigt i en bestemt situation.

Opsamling på dette modul:

Læringsmål:

1. I dette modul ser du, at der er forskel på matematiske modeller. 

   1. Nogle modeller er opstillet med udgangspunkt i solid faglig teori (fx Newtons lov eller Ohms lov eller Einsteins relativitets teori. Det har bevist deres validitet ved at være anvendt i tusinder og tusinder af situationer.

   2. Nogle modeller beskriver snarere fænomener, som vi har observeret og som vi tilpasser med en matematisk model. Fx hvordan to byer tiltrækker befolkningen i nærområdet. Den matematiske model passer egentlig meget godt, men den bygger ikke på en dybere forklaring på den menneskelige adfærd, der gør at nogle mennesker foretrækker at tage til en by frem for en anden.

Faglige pointer:

1. Teoribaserede modeller at som udgangspunkt mere valide en ad hoc modeller.

Korrelation og kausalitet

1. Se denne video om: Korrelation og kausalitet - video (6 min)

2. Se denne video om isspisning og polio (log på med Unilogin og bladre ned til videoen) (1:23)

3. Ikke alting hænger sammen. Tydelig korrelation mellem antal storke og antal børnefødsler (9:00). Se den videnskabelige artikel her.

4. Læs ikke denne artikel om begreberne eksogene variable,  kausalitet og korrelation.

5. Se billederne til højre

   1. Er det rimeligt at anvende eksemplet med de uddøde dinosauer til at argumentere for at det er vigtigt at læse?

   2. Figuren viser et diagram (chokoladeforbrug pr. indbygger pr. år (x-aksen) og antallet af Nobelpristagere pr. 10 millioner indbyggere (y-aksen) for forskellige lande. Hvad er den logiske konklusion? (Se ChatGPTs fortolkning af diagrammet her). Hvad kan forklaringen på sammenhængen? 

6. 2a Opgave i denne side:  Mærkelige korrelationer

   2. 1. I grupper find en forklaring på en kausalitet, der kan forklare korrelationen i en af graferne. 

      2. Her er et eksempel: (se billede til højre) Når USAs budget til Science, Space og Teknologi stiger, så betyder det udvikling af flere robotter, der overtager menneskers jobs og derved presser folk ud i at begå selvmord ved hængning og kvælning

Her giver ChatGPT tre pædagogiske eksempler:

Isforbrug og drukneulykker:

• Der kan være en positiv korrelation mellem isforbrug og antallet af drukneulykker om sommeren. Dette betyder, at når isforbruget stiger, stiger antallet af drukneulykker også. Dette er dog ikke en årsagssammenhæng. Begge variabler stiger sandsynligvis på grund af den fælles indflydelse af varmt vejr, hvilket fører til både øget isforbrug og øget svømmeaktivitet, hvilket potentielt øger risikoen for drukneulykker.

Paraplysalg og forekomsten af forkølelser:

• Der kan være en negativ korrelation mellem salget af paraplyer og forekomsten af forkølelser. Dette betyder, at når paraplysalget stiger, falder forekomsten af forkølelser. Dog er der ingen årsag-virkning her. Begge variabler er påvirket af sæsonen – når det er regnvejr, stiger paraplysalget, og folk opholder sig mere indendørs, hvilket potentielt reducerer risikoen for at blive udsat for forkølelser.

Antal af storkereder og fødselsrater:

• I nogle områder kan der observeres en korrelation mellem antallet af storkereder på hustage og fødselsrater. Dette betyder, at hvor der er flere storkereder, er der også højere fødselsrater. Dette er dog ikke en kausal forbindelse. Begge variabler er korrelerede, fordi de begge er påvirket af det fælles parameter, som er befolkningstætheden i et område. Højere befolkningstæthed kan føre til både flere storkereder og flere fødsler uden at have en direkte årsagssammenhæng.

Opsamling på dette modul:

Læringsmål:

1. En god overensstemmelse mellem datapunkternes placering og tendenslinjen og derved også en høj r2-værdi er ikke ensbetydende med kausalitet/årsagssammenhæng. 

2. Dette kan være, at ændringen i de to variable er sammenfaldende. Variansen i x og y kan være helt tilfældig eller at der var en tredje bagvedliggende variabel, z, der påvirkede både x og y. 

3. Det kan også være man fagligt kan argumentere for, at det var y der påvirkede x. Her ville man stadig kunne tale om kausalitet - bare modsat af det der var opstillet i modellen. 

Faglige pointer:

• Begreber:

  • Kausalitet: Årsagssammenhæng. Ændringen i variabel x er forklaringen på ændringen i variabel y

  • Korrelation: Ændringen i variabel x ser ud at at hænge sammen med ændringen i variabel y, men det er ikke det samme som at ændringen i x forklarer hvorfor eller hvordan y ændrer sig.

Et konkret eksempel på en større matematisk model (ADAM) for dansk økonomi

1. Se her et TVindslag om Nationalbankens prognoser for dansk økonomi (15/3 2023) i TV2 Nyhederne (6:00)

2. Se her hvordan en mini-udgave af den matematiske økonomiske model selv gør det muligt at lege Nationalbank. (4:00) Intet billede

   1. Se billedet til højre for at se de 7 uafhængige variable i modellen

3. Prøv selv at lave et økonomisk indgreb og se konsekvenserne. 

   2. 1. Gå til vismandsspillet.dk

      2. Vælg økonomiske værktøjer

      3. Foretag en eller to ændringer og klik på Analyse for at se konsekvensen

4. Se et eksempel på "Hvad der kan ske" (6:00) 

5. Prøv selv at eksperimentere med modellens "Hvad kan der ske". Klik fx på Lønudvikling, Gå til forløb, Lønudvikling og vælg om lønnen skal stige eller falde. Følg så de økonomiske konsekvenser.

   2. 1. Gå til vismandsspillet.dk

      2. Klik på TILBAGE (øverst) så du kan se knappen Hvad kan der ske

      3. Klik på Gå til forløb

      4. Vælg en parameter, som du vil ændre. Klik fx på Lønudvikling og vælg om lønnen skal stige eller falde. Følg så de økonomiske konsekvenser. Læs teksterne

ChatGPT om den politiske betydning af økonomiske samfundsmodeller:

Økonometriske modeller har politisk betydning på flere måder, idet de hjælper med at informere politiske beslutningstagere om økonomiske sammenhænge og effekten af politikker. Her er nogle af de måder, hvorpå økonometriske modeller påvirker politik:

1. **Politisk Beslutningstagning:**

   Økonometriske modeller bruges til at forudsige, hvordan forskellige økonomiske variabler reagerer på ændringer i politikker. Dette giver beslutningstagere indsigt i, hvordan forskellige beslutninger kan påvirke BNP, arbejdsløshed, inflation og andre økonomiske mål.

2. **Effektvurderinger:**

   Økonometriske modeller bruges til at vurdere virkningen af politiske initiativer, skatteændringer, finanspolitik og andre økonomiske foranstaltninger. Dette hjælper med at afgøre, om en given politik vil have de ønskede økonomiske resultater.

3. **Prognoser og Planlægning:**

   Økonometriske modeller giver politiske beslutningstagere mulighed for at lave økonomiske prognoser baseret på forskellige scenarier. Dette er værdifuldt for langsigtede planlægningsprocesser og politiske strategier.

4. **Budgetmæssig Planlægning:**

   Politikere bruger økonometriske modeller til at evaluere budgetforslag og afgøre, hvordan forskellige finansielle beslutninger vil påvirke statskassen. Dette hjælper med at skabe afbalancerede og bæredygtige budgetter.

5. **Inflations- og Rentestyring:**

   Økonometriske modeller kan bruges til at analysere sammenhængen mellem monetære politikker, inflation og rentesatser. Dette er afgørende for centralbanker og regeringer, der ønsker at styre økonomien og prisniveauerne.

6. **Arbejdsmarkedspolitik:**

   Økonometriske modeller hjælper med at analysere arbejdsmarkedet, herunder beskæftigelse, lønninger og arbejdsløshed. Dette er relevant for politiske beslutningstagere, der ønsker at implementere politikker for at forbedre beskæftigelsesniveauer og arbejdsvilkår.

7. **Effekt af Handelspolitikker:**

   Handelspolitikker påvirker økonomier, og økonometriske modeller kan bruges til at forudsige, hvordan ændringer i handelsaftaler eller tariffer vil påvirke eksport, import og den generelle økonomi.

Samlet set giver økonometriske modeller politiske beslutningstagere et redskab til at tage informerede beslutninger baseret på kvantitative analyser af komplekse økonomiske systemer. Det er dog vigtigt at forstå, at modeller altid indebærer visse antagelser, og resultaterne skal fortolkes med dette i tankerne.

Opsamling på dette modul:

Læringsmål:

1. Du har oplevevet hvordan man gennem at lave beregninger i en matematisk model kan teste hvilke konsekvenser som forskellige økonomiske/politiske indgreb kan have på den samfundsøkonomiske udvikling

2. Du har også oplevet at meget vigtige dele af økonomien er styret af eksterne faktorer som fx den udenlandske rente eller eksporten. Dette er forhold som er meget vanskelige for politikere at påvirke.

Modellens validitet og rækkevidde

• Vurdering af en matematisk regressionsmodel i matB stx

Opgave: Vurdering af modellens rækkevidde

På figuren er vist to modeller for det danske skattesystem. Begge viser betalt skat som funktion af indkomst (uden at der er taget hensyn til eventuelle fradrag).

Den røde graf viser skattebetalingen med tre skattetrin. Den blå graf svarer til udsagnet “I Danmark betaler man 50% af hver tjent krone i skat”.

1. For hvilken indkomst er der størst forskel på de to modeller?

2. For hvilke indkomster er der (næsten) ingen forskel på de to modeller?

3. Hvor stor er afvigelsen i procent på den røde model i forhold til den blå model ved indkomster på 50.000, 550.000?

4. Hvis du skulle angive et interval for hvilke indkomster, der med rimelighed kan benytte den blå model - hvilket interval vil du så angive som den blå models rækkevidde?

ChatGPT om rækkevidden af en matematisk model:

Rækkevidden af en matematisk model refererer til det område eller de betingelser, hvor modellen er gyldig og kan anvendes med rimelig nøjagtighed. Det angiver de situationer, hvor modellen giver meningsfulde og pålidelige resultater.

En matematisk model er normalt udviklet under visse antagelser og betingelser, og dens rækkevidde er afgrænset af disse. For at forstå rækkevidden af en model er det vigtigt at overveje følgende aspekter:

1. **Antagelser:**

   Hver matematisk model er baseret på visse antagelser om systemet eller fænomenet, den beskriver. Rækkevidden af modellen er ofte begrænset til situationer, hvor disse antagelser er rimeligt opfyldt.

2. **Databetingelser:**

   Rækkevidden af en model kan også være afhængig af tilgængeligheden og kvaliteten af de data, der bruges til at kalibrere og teste modellen. Hvis dataene ikke repræsenterer den relevante variation i systemet, kan rækkevidden være begrænset.

3. **Parametre og Grænser:**

   Modellens parametre og eventuelle begrænsninger skal også tages i betragtning. Nogle modeller er mere robuste og kan anvendes over et bredt spektrum af parametre og forhold, mens andre er mere følsomme over for ændringer.

4. **Skala og Kontekst:**

   Skalaen og konteksten af det fænomen, modellen beskriver, kan påvirke dens rækkevidde. Nogle modeller er mere velegnede til små skalaer, mens andre er mere relevante for store systemer.

5. **Tid:**

   Rækkevidden af en model kan også være tidsafhængig. Nogle modeller er mere velegnede til korttidsprognoser, mens andre er mere egnede til langsigtet modellering.

For eksempel kan en lineær regeringsudgiftsmodel være gyldig inden for visse grænser af økonomiske vækstbetingelser, men den kan miste sin nøjagtighed under ekstreme økonomiske omstændigheder. Det er vigtigt for brugeren af modellen at være opmærksom på rækkevidden og begrænsningerne og undlade at anvende modellen uden for de kontekster, hvor den er velegnet.

Generelt set involverer anvendelsen af en matematisk model en forståelse af dens rækkevidde og nøjagtighed for at sikre, at resultaterne er meningsfulde og pålidelige.

Opsamling på dette modul:

Læringsmål:

1. I dette modul ser du, at modeller ikke altid giver det samme svar. Modellerne afspejler de idealiseringer og abstraktioner, der er foretaget. Derfor kan modeller også kun anvendes til at blive klogere på netop det emne, som de er bygget til at belyse.

Faglige pointer:

1. ?