Dagens opgave

1. 1. 1. 1. Lav opgave 1.d1.1 

(brug papir og blyant - ingen hjælpemidler kun formelsamling) - 8 minutter

----------------------------------------------------------

Opvarmning før polynomier (lidt om formelsamlingen)

----------------------------------------------------------

Polynomier

1. 1. Se Introduktion til polynomier (3:00)

1. 2. Rod

      1. Rod = nulpunkt = x-værdi ved skæring med x-aksen = løsningerne til ligningen f(x)=0

      2. Det svarer til at løse andengradsligninger (se billeder)

      3. Opgaver:

         1. Andengradspolynomier Bestem rødderne eller løs ligningerne

            1. 1. x² -7x + 10 = 0 løsninger:    d=9.           x=2.   x=5   

               2. x² +2x + 1 = 0 løsninger:    d=0           x=-1   

               3. x² -4x + 13 = 0 løsninger:    d<0   

               4. x² -10x + 25 = 0 løsninger:    d=0.           x=5   

               5. x² -2x + 5 = 0 løsninger:    d=-16   

               6. x² +3x + 2 = 0 løsninger:    d=1.           x=-2.   x=-1   

1. 3. Toppunkt

      1. Se Introduktion to Andengradspolynomier (3:00)

      2. Toppunkt (det højeste eller laveste punkt på grafen)

      3. Se denne video om at bestemme toppunkt (5:00)

      4. Se formel på billede

      5. Opgaver:

         1. Andengradspolynomier Bestem toppunkt

1. Grafen 

   2. 1. Undersøgelse: Download denne fil, åbn den i Nspire og undersøg grafen

      2. Se denne video om koefficienternes betydning (5:00)

         1. a bestemmer om grafen har grenene op eller ned. 

            1. 1. a>0 "glad parabel" og a<0 "sur" parabel

               2. jo større tal-værdi a har desto smallere graf

               3. a kan faktisk "aflæses" på samme måde som for en lineær funktion ved at aflæse y1 værdien for x=0 og aflæse y2 værdien for x=1 og så beregne a = y2-y1

         2. c bestemmer hvor grafen skærer y-aksen

         3. b bestemmer om hældningen af tangenten til parablen - der hvor den skærer  y-aksen - er positiv eller negativ.

            1. 1. b>0 grafen vokser i skæringen med y-aksen

               2. b<0 grafen aftager i skæringen med y-aksen

         4. d bestemmer antallet af nulpunkter / rødder / skæringer med x-aksen.

            1. 1. d>0 2 nulpunkter

               2. d<0 0 nulpunkter

               3. d=0 1 nulpunkt - toppunktet ligger på x-aksen

   3. Øvelser i at tegne graf (fælles på projektor)

   4. Opgave i parablen

   5. Challenge på 4 minutter. Kan man finde begrænsninger for a,b,c og d, som ikke kan tegnes som en parabel?

   6. Quizlet om parabler (spil MATCH)

   7. Quizlet koefficienter og graf (spil LIVE)

Klavs' link

1. 1. Dagens opgave

      1. 1. Lav opgave 1.d1.28 (brug papir og blyant - ingen hjælpemidler kun formelsamling) - 8 minutter

-------------------------------------------------------

1. 2. Fortsat om parablen:

      1. Igen: Øvelser i at tegne graf (fælles på projektor)

      2. Opgave i parablen

      3. Challenge på 4 minutter. Kan man finde begrænsninger for a,b,c og d, som ikke kan tegnes som en parabel?

      4. Quizlet koefficienter og graf (spil LIVE)

1. 3. Faktorisering - se denne video (7:00) - formel (82)

      2. 1. Et andengradspolynomium f(x) med de to rødder r₁ og r₂ kan skrives på formen: 

            1. 1. f(x) = a ( x-r₁ ) ( x-r₂ )     eller      f(x) = ax² +bx + c

         2. Opgave i faktorisering

2pq hertil

Klavs' link

2z 22/9

1. 1. Dagens opgave

      1. 1. Lav opgave 1.d1.29 (brug papir og blyant - ingen hjælpemidler kun formelsamling) - 8 minutter

-------------------------------------------------------

Evaluering (Klavs' private mappe)

• Runde 1: 2p

• Runde 1: 2q

• Runde 2: 2p og 2q

1. 1. Skæring mellem parabel og linje (7:00)

      1. 1. Klavs gennemgår: 

Find skæringspunkt mellem f(x) = 2x² -6x og linjen y = -2x + 6

1. 1. 1. 1. 1. 1. Løses ved beregning. 

                  1. 1. Sæt de to ligninger = hinanden, sørg for at der står 0 på højre side og løs som andengradsligning.

               2. Løses grafisk

                  1. 1. Tegn de to grafer og find skæringspunkter i Nspire (hvordan - se billedet til højre)

               3. Løses ved 2 ligninger med 2 ubekendte i Maple

                  1. 1. Nspire: solve( y=2x² -6x and y = -2x + 6, x, y)

1. 1. 1. 2. Find skæring mellem parabel og linje. (Demo af metode - analytisk løsning)

1. 1. 1. 3. Opgave: Skæringspunkter ml linje og parabel eller se billedet til højre eller se her

Klavs' link

1. 1. Dagens opgave

      1. 1. Lav opgave 2.d1.2 (brug papir og blyant - ingen hjælpemidler kun formelsamling) - 8 minutter

-------------------------------------------------------

Parallelforskydning af graf

1. 2. Parallelforskydning af graf (Klavs gennemgår uden litteratur). 

      1. 1. Se video (3:14)

         2. Se demo

         3. Opgaver. Lav opgaverne: 2.D1.45 og 2.d1.46

         4. Opgaver

Evaluering

Polynomier af højere grad

1. 3. Polynomier af højere grad (4:00). Eksperimenter. Svar på spørgsmålene i linket.

1. 4. Hvilken regel er der for grafen når polynomiet har en lige grad/ulige grad?

Opgave: 

Benyt denne fil. 

Download og åbn den i Nspire.

Besvar de fire spørgsmål i filen.

Regler for sammenhængen mellem graden og koefficienterne for et polynomium og grafens udseende

1. Hvis graden n er lige så vender grenene samme vej (begge op eller begge ned). 

   1. 1. Derfor kan der være fra nul til n nulpunkter 

      2. Hvis koefficienten foran xⁿ er positiv starter grafen oppe og slutter oppe.

      3. Hvis koefficienten foran xⁿ er negativ starter grafen nede og slutter nede.

2. Hvis graden er ulige så vender grenene hver sin vej vej (en op og en ned).

   1. 1. Derfor kan der være fra ét til n nulpunkter 

      2. Hvis koefficienten foran xⁿ er positiv starter grafen nede og slutter oppe.

      3. Hvis koefficienten foran xⁿ er negativ starter grafen oppe og slutter nede.

3. Hvis en graf kun berører - men ikke skærer igennem - x-aksen er der en dobbeltrod (dobbelt nulpunkt).

4. Tallet uden x angiver skæringen med y-aksen.

Opgaver: Lav én opgave korrekt. Gå til næste opgavetype.

1. 1. 1. ENTEN: Link 

1. 1. 2. ELLER:

         1. Lav denne opgave ved at definere funktionen i Nspire og tegne grafen og bede Nspire om at bestemme rødderne: Andengradspolynomier Bestem rødderne

         2. Lav denne opgave ved at definere funktionen i Nspire og tegne grafen og bede Nspire om at bestemme toppunktet: Andengradspolynomier Bestem toppunkt

         3. Opgave i parablen

         4. Lav denne opgave ved at definere funktionerne i Nspire og tegne graferne og bede Nspire om at bestemme skæringspunkterne:Opgave: Skæringspunkter ml linje og parabel

         5. Lav denne opgave ved at definere funktionen i Nspire og finde rødderne ved brug af solve(f(x)=0,x) kommandoen. Se her: Andengradspolynomier Bestem rødderne

         6. Lav en opgave om anvendelse af andengradspolynomiet

         7. Lav denne opgave ved at beregne toppunktet på papir: Andengradspolynomier Bestem toppunkt

         8. Graf til funktionsforskrift match

         9. Lav denne opgave ved at beregne skæringspunkterne i Nspire som 2 ligninger med 2 ubekendte i Nspire (altså med solve): Opgave: Skæringspunkter ml linje og parabel

         10. Lav denne opgave ved at beregne skæringspunkterne på papir: Opgave: Skæringspunkter ml linje og parabel

         11. Løs en andengradsligning

         12. Forfra.