2p ?

2q ? og 4/2

Dagens opgave 

1. 1. 1. 1. Lav opgave 2.d1.50 (brug papir og blyant - MED hjælpemidler kun formelsamling) - 6 minutter

-------------------------------------------------------------

1. Funktionsundersøgelse (se billede til højre) Klavs gennemgår monotoniforhold og ekstrema

2. 
   

   1. 1. Definitionsmængde Dm(f) = [-1 ; 1,3]

      2. Nulpunkter f(x) har nulpunkter for x=-0,55, x=0 og x=1,22

      3. Monotoni f(x) er voksende for x tilhørende

[-0,38 ; 0] og i [0,88 ; 1,33]

f(x) er aftagende for x tilhørende

[-1 ; -0,38] og i [0 ; 0,88]

2. 1. 4. Ekstrema f(x) har globalt max i (-1 ; 3)

f(x) har globalt min i (0,88 ; -1,11)

f(x) har lokalt max i (1,3 ; 0,79) og i (0,0)

f(x) har lokalt min i (-0,38 ; -0,12) 

2. 1. 5. Værdimængde Vm(f) = [-1,11 ; 3]

1. 1. Husk de tre regler

      1. 1. Når f’ < 0 => f er aftagende

         2. Når f’ > 0 => f er voksende

         3. Når f’ = 0 => f har mulighed for ekstrema

1. 2. Se denne animation af sammenhængen mellem graferne for f(x) og f'(x). Læg mærke til de tre regler ovenfor

1. 3. Eksamensopgaver 

      1. 1. Klavs løser eksamensopgaven 2.d1.64 - til højre (EKSTREMA)

            1. 1. Jeg skal finde den x-værdi, hvor f(x) har maksimum.

               2. Jeg kender forskriften for f(x)= -x²+3x+7

               3. Jeg kan se, at grafen for f(x) er "en sur parabel" fordi a<0.

Derfor har f(x) et maksimum. 

Der hvor en graf har maksimum er f'(x)=0

Derfor finder jeg f'(x) og løser ligningen f'(x)=0.

1. 3. 1. 1. 1. 4. f'(x) = -2x+3

Løser ligningen f'(x) = 0 => -2x+3=0 => x=3/2

1. 3. 1. 1. 1. 5. Svaret er at f(x) har maksimum når x= 3/2

---- EKSTREMA ----

1. 3. 1. 1. 1. 6. OPGAVER A

                  1. 1. Løs A-opgaverne til højre efter metoden ovenfor. (facit)

1. 3. 1. 1. 1. 6. 1. 2. Klavs løser opgave 1

Løs opgaver her (facit til sidst)

1. 3. 1. 1. 1. 6. 1. 3. Klavs løser opgave 1, 4 og 5 (tre forskellige typer). 

Løs opgaver her (facit til sidst)

1. 3. 1. 2. Animation af monotonilinje (et smart værktøj)

---- MONOTONI ----

1. 3. 1. 3. Se opgave B - Monotoni for f(x) ud fra graf for f'(x). Klavs løser opgaven ved hjælp af monotonilinje.

LØSNING:

1. 3. 1. 3. 1. 1. Jeg skal finde monotoniforhold for f(x)

               2. Jeg kender grafen for f'(x) 

         4. Jeg ved at når 

f'(x) <0 er grafen for f(x) aftagende 

og 

når f'(x) > 0 er grafen for f(x) voksende

Derfor tegner jeg en monotonilinje

x             0                 4

--------------/---------------/-------------->

f'(x) positiv  0     negativ.   0  positiv

f(x)  voksende       aftagende     voksende

1. 3. 1. 5. Svaret er at f(x) er 

aftagende når 0 < x < 4 

voksende når -∞ < x < 0 og når  4 < x < ∞

1. 3. 1. 5. 1. 2. 1. 1. OPGAVER B

                        1. Løs b-opgaverne her. 

Se facit til sidst.

Skal løses i hånden og der skal tegnes en monotonilinje.

2q hertil

1. 3. 1. 6. Klavs løser eksamensopgaven 2.d1.54 - til højre (MONOTONI)

            1. 1. Jeg skal finde monotoniforhold for f(x)

               2. Jeg kender forskriften for f(x)=  x³ + 1,5x² - 6x

         7. Jeg ved at når 

f'(x) <0 er grafen for f(x) aftagende 

og 

når f'(x) > 0 er grafen for f(x) voksende

Derfor finder jeg f'(x) og løser ligningen f'(x)=0.

1. 3. 1. 8. f'(x) = 3x² +3 x - 6

Løser ligningen f'(x) = 0 => 3x² +3x - 6 = 0

a=3, b=3, c=-6

d=b²-4*a*c d= 3²-4*3*(-6) = 9+72 = 81

2 løsninger

      -b + √ d -b - √ d

x =  ---------        og ---------      

2a     2a

2 løsninger

-3 + √ 81   -3+9

x = ---------       =      ---------  =  1      

       2*3 6

-3 - √ 81   -3-9

x = ---------       =      ---------  =  -2      

   2*3     6

Da f'(x) er et glad andengradspolynomium  er f'(x) <0 mellem rødderne

Nu tegner jeg en monotonilinje

x            -2                1

--------------/-----------------/-------------->

f'(x) positiv 0     negativ.   0  positiv

f(x)  voksende      aftagende     voksende

1. 3. 1. 9. Svaret er at f(x) er 

aftagende når -2 < x < 1 

voksende når -∞ < x < -2 og når  1 < x < ∞

1. 3. 1. 9. 1. 1. OPGAVER C

                  1. 1. Løs C-opgaverne til højre efter metoden ovenfor. (facit)

1. 3. 1. 9. 1. 1. 1. 2. Klavs løser opgave 1 - Løs opgaver her (facit til sidst)

2p 23/1

2q ?/1 

Dagens opgave 

1. 1. 1. 1. Lav opgave 2.d1.51 (brug papir og blyant - ingen hjælpemidler kun formelsamling) - 6 minutter

-------------------------------------------------------------

1. 1. 1. Vi ser lige et eksempel på en komplet funktionsundersøgelse (10:30)

1. 1. 2. Opgave - Træning Match f graf med f’ graf  

(læg virkelig mærke til om der står f eller f' i spørgsmålene - de bytter rundt)

1. 1. Klavs opretter Abacus

1. 2. Opgaver i monotoni og ekstrema

      1. Lidt andre opstartsopgaver om monotoni

      2. Lidt andre opstartsopgaver om ekstrema

VÆKSTHASTIGHED

SOLSIKKEGRAF til højre

1. Opgaver (facit bagerst)

2. Opgaver i funktionsværdi og væksthastighed (facit bagerst)

Den sværere find f’ graf ud fra f graf  (fælles med frivillig)

Prøv denne prompt i chatGPT:

Forestil dig, at du er gymnasielærer i matematik i en 2g. Jeg er din elev, og vi er i gang med et forløb om Differentialregning. Det er nu din opgave at agere game-host og skabe et spil i stil med “Who Wants to Be a Millionaire?” til mig, som jeg skal tage del i. Spillet skal tage udgangspunkt i monotoni og ekstrema og skal inkludere 7 spørgsmål. Spørgsmålene skal udvikle sig i takt med min udvikling. Svarer jeg rigtigt, bliver spørgsmålet sværere, og jeg rykker op i niveau. Svarer jeg forkert, skal spørgsmålet forblive på samme sværhedsgrad og jeg bliver stående og får et nyt spørgsmål. Spørgsmålene skal blive sværere og sværere som spillet udvikler sig. De forskellige niveauer skal følge 7-trins-skalaen og følge denne skala: -3 —> 00 —> 02 —> 4 —> 7 —> 10 —> 12 Jeg starter på -3, og når jeg svarer rigtigt første gang, rykker jeg op på 00. Når der svares, skal der ske følgende: 1) Du skal fortælle mig, om der er svaret rigtigt eller forkert. 2) Svares der rigtigt, rykker du mig til næste, sværere niveau. 3) Svares der forkert, forbliver jeg på samme niveau og får et nyt spørgsmål. 4) Du viser på en linje, hvilket niveau jeg befinder sig på. Sørg for at alle spørgsmålene er passende for elever i matematik, 2g, stx. Skriv på dansk. Tonen i programmet skal være up-beat og engagerende. Har du forstået reglerne? Gengiv dem venligst i kort format!