בס"ד

המדריך ללימוד חשבון הלוח בקצרה: 

פרק ה - חישוב סימן השנה באמצעות נוסחת גאוס 

המדריך פרק ה: 

חישוב סימן השנה ע"פ נוסחת גאוס

בפתיחת הפרק הקודם אמרנו שאפשר לחשב את סימן השנה ע"פ נוסחת גאוס, תוך כדי 'עקיפת' חשבון המולדות הקלאסי וארבע הדחיות, המובלעים בתוך הנוסחה. זה הנושא של הפּרק שלפנינו - הפרק החמישי של "המדריך".

תזכורת מהפּרק הקודם - נוסחת גאוס

הנוסחה:

32.0441 + 1.55424*a + 0.25*b - 0.00317779*A = M + m

כאשר:

A = השנה העברית של ט"ו בניסן (שאת התאריך היוליאני שלו מבקשים למצוא).

B = השנה הלועזית = A-3760 (שנת 1 למניינם החלה בשנת ג'תשס"א).

a = השארית מחילוק של (12*A +17) ב-19.

b = השארית מחילוק A ב-4.

c = השארית מִתוצאת החילוק של (M + 3*A + 5*b + 5) ב-7.

ט"ו בניסן שנת A חל ביום c בשבוע, M ב-March שנת B, לפי הלוח היוליאני; אלא־אם־כן מתקיים אחד מ-3 התנאים הבאים (תוצאה של 3 הדחיות: אד"ו, ג' ט' ר"ד ו־בט"ו תקפ"ט) -

אם c שווה 2 או 4 או 6, ט"ו בניסן חל ב־M+1 ב-March (לא בד"ו פסח).

אם c=1 וגם a>6 וגם m≥0.6329, חל ט"ו בניסן ב־M+2 ב-March (גטר"ד בשנה פשוטה).

אם c=0 וגם a>11 וגם m≥0.8977, חל ט"ו בניסן ב־M+1 ב-March (בט"ו תקפ"ט במוצאי מעוברת).

להמרת התאריך ללוח הגרֵגוריאני, יש להוסיף מספר ימים כמובא בפּרק הקודם של "המדריך" (בזמננו: 13 יום).

מתי חל ראש השנה הבּא? א"ת ב"ש ג"ר - 2 ימי־השבוּע אחרי פסח.

סימן השנה

כיצד מוצאים את סימן השנה?

למדנו בפרקים הקודמים (פרק ב של "המדריך") - קובעים את יום ראש השנה שאותהּ אנחנו מבקשים, ואת ראש השנה שלאחריה.

וכאן - נחשב באמצעות נוסחת גאוס את פסח של השנה הקודמת (וממילא, ראש השנה המבוקשת הוא שני ימי־השבוע אחריו), ואת פסח של השנה המבוקשת. את האות האמצעית של סימן השנה (מרחשון וכסלו) נַשלים לפי אחת משתי הדרכים שלמדנו (בפרק ב של "המדריך").

כמובן, שבאופן זה של השימוש בנוסחה, התאריך הלועזי של פסח או של ר"ה אינו חשוב לנו ואנו נתמקד בחשבון היום־בשבוּע, שגם הוא נעשה בַּנוסחה (שכאמור, c מציין את היום־בשבוּע שחל בו פסח).

כמובן, אנו צריכים לדעת את סוג השנה - פשוטה או מעוברת. וזאת נדע (אם לא נרצה לחלק ב-19 ולמצוא את השארית) באמצעות a המשמש אותנו בנוסחה זו. כאמור, ערכּוֹ הוא: השארית מחילוק של (12*A +17) ב-19. אִם ערכּוֹ של a הוא מ-0 ועַד 11 (כולל), השנה פשוטה. ואם ערכּוֹ גדול יותר, השנה מעוברת.

הדגמה

חישוב סימנהּ של שנת ה'תשל"ה (5735):

א. באיזה יום בשבוע חל ראש השנה ה'תשל"ה?

נחשב באיזה יום בשבוע חל ט"ו בניסן ה'תשל"ד (פסח שלפני ראש השנה ה'תשל"ה).

A = 5734.   B = 5734-3760 = 1974.

a = השארית מחילוק (17+ 5734*12) ב-19.  68825:19 = 3622 ושארית 7. a=7.

b = השארית מחילוק A ב-4.  5734:4 = 1433 ושארית 2. b=2.

32.0441 + 1.55424*a + 0.25*b - 0.00317779*A = M + m

32.0441 + 1.55424*7 + 0.25*2 - 0.00317779*5734 = 25.20233214

M = 25,   m = 0.20233214.

c = השארית מחילוק (25+ 3*5734 +5*2 +5) ב-7.  17242:7 = 2463 ושארית 1. c=1.

כזכור, ט"ו בניסן שנת A חל ביום c בשבוע, M ב-March שנת B, לפי הלוח היוליאני. אא"כ מתקיים אחד מהתנאים הבאים:

   האם c  שווה 2 או 4 או 6 ?  לא, c שווה 1.

   האם c=1 וגם a>6 וגם m≥0.6329 ?  אמנם c=1, a=7 וגדול מ-6, אך m אינו גדול מ0.6329-. תנאי זה אינו מתקיים.

   האם c=0 וגם a>11 וגם m≥0.8977 ?  לא.

ט"ו בניסן ה'תשל"ד חל ביום ראשון (אין לנו צורך בזה, אך להשלמת הנתונים העולים מן הנוסחה: 25 ב-March 1974 יוליאני, והוא 7 ב-April גרגוריאני).

ראש השנה ה'תשל"ה - יום שלישי בשבוע (2 ימי השבוע אחרי א' דפסח, יום ראשון).

ב. באיזה יום בשבוע חל פסח, ט"ו בניסן ה'תשל"ה?

גם את זה נחשב לפי נוסחת גאוס:

A = 5735,   B = 5735-3760 = 1975.

a = השארית מחילוק (17+ 5735*12) ב-19.  68837:19 = 3623 ללא שארית. a=0.

b =השארית מחילוק A ב-4.  5735:4 = 1433 ושארית 3. b=3.

32.0441 + 1.55424*a + 0.25*b - 0.00317779*A = M + m

32.0441 + 1.55424*0 + 0.25*3 - 0.00317779*5735 = 14.56947435

M = 14,   m = 0.56947435.

מציאת c, השארית מחילוק (14+ 3*5735 +5*3 +5) ב-7.  17239:7 = 2462 ושארית 5. c=5.

האם מתקיים כאן אחד מן החריגים? לא, c  אינו 2 או 4 או 6. c אינו 1.c  גם אינו 0.

ט"ו בניסן ה'תשל"ה חל ביום חמישי (14 ב-March 1975 יוליאני = 27 ב-March 1975 גרגוריאני).

ג. ארגון הנתונים וסידור הסימן

האם שנת ה'תשל"ה היתה פשוטה או מעוברת? a עֲבוּר שנה זו הוא 0. כזכור, כאשר a קטן מ-12 זו שנה פשוטה (וכשהוא 0 זו ה-16 במחזור).

הנתונים שבידינו: ראש השנה ה'תשל"ה חל ביום ג.

פסח ה'תשל"ה חל ביום ה. השנה פשוטה.

מבּין 7 סימני השנים הפשוטות, איזה מתחיל ב־ג' ומסתיים ב־ה'? גכה. זהו סימנהּ של שנת ה'תשל"ה. דרך אחרת: ההפרש בין ר"ה לפסח הוא 2, ולפי הכּלל "אב"ג בפשוטה" מרחשון וכסלו כסִדרם.

יש מקום להזכיר מה שכּבר הזכרנו (בפרק על חשבון סימן השנה), שכאשר נמצא ראש השנה ביום שלישי, אין צורך לחשב את ראש השנה הבּאה, כיוון שביום שלישי יש רק סימן אחד בפשוטות (גכה) ואחד במעוברות (גכז). לפי זה, בדוגמה דלעיל (ה'תשל"ה) דַּיֵּנוּ בשלב א', ולא היה צורך להמשיך הלאה.

מולד תשרי

כעין 'בונוס' לפרק זה (ואחריו הערה - שהיא כ'בונוס לבונוס').

כבר הערנו שנוסחת גאוס כוללת בתוֹכהּ את חשבון המולד, בצורה עשרונית. זהו, בעצם, ערכּוֹ של m, וכאשר הוא 0 זו השעה 18 (=12 בצהריים לפי שעוננו) של היום הקודם. במלים אחרות, דחיית מולד זקן מובנָה בתוך חשבון המולד שבנוסחה.

לאור זאת, כתב ר' רחמים שר־שלום בספר שערים ללוח העברי (עמ' 47, מהדורת ה'תשס"ט), שאם נוסיף 1.75 על c+m, נקבל את מולד תשרי הבּא. כוונתו כך: כזכור, m הוא המולד של תשרי הבּא, המחשיב את 'מולד זקן' כתחילת היממה. c הוא היום־בשבוּע שמתקבל בַּנוסחה עֲבוּר פסח (בכוח, כלומר - לפני שנתחשב בדחיות, מלבד מולד זקן). c+2 = היום־בשבוע בו אמור לחול ראש השנה הבּא (ללא התחשבות בדחיות, מלבד מולד זקן, כאמור); כלומר - היום שבּוֹ חל מולד תשרי, והוא נספָּר מֵחצות יום האתמול. לאור זאת, כדי לקבל את זמן המולד כאשר היממה מתחילה ב-18:00 (כמקובל בחשבון המולדות הקלאסי), יש להוסיף יומיים על c, ולחסר מן המולד (m) רבע־יממה. ובקיצור: c+m+1.75.

נדגים: בחישוב הראשון בפרק זה, פסח ה'תשל"ד, קיבלנו c=1; m=0.20233214.

c+m+1.75 = מולד תשרי התשל"ה = 1+0.20233214+1.75 = 2.95233214.

מולד תשרי התשל"ה: יום שני, 0.95233214 של היממה = 2-22-924 לפי הרישום הקלאסי (יום-שעות-חלקים). [כיצד מוצאים זאת? יש לכפול את השבר (הקטן מ-1) ב-24, התוצאה השלֵמה היא מספר השעות, ואת השאר יש לכפול ב-1080 וזה מספר החלקים).]

דוגמה נוספת בסמוּך לזאת: חישבנו לעיל (בשלב ב) גם את פסח ה'תשל"ה. c=5; 0.56947435m=.

לקבּלת מולד תשרי ה'תשל"ו: c+m+1.75 = 5+0.56947435+1.75 = 7.31947435.

דהיינו: 7-7-720 = מולד תשרי ה'תשל"ו.

הערה

בחשבון המולד בדרך זו (וכפי המובא לעיל) תיתכן סטייה זעירה בעיגול מספר החלקים (בדוגמה האחרונה: מס' החלקים שנתקבל הוא 720.775152, ומתבקש היה לעגלוֹ כלפי מעלה ל-721. וכן בדוגמה מן הפּרק הקודם, שם חישבנו את פסח ה'תשנ"ט, מולד תשרי התש"ס 6.90592739, דהיינו 6-21-801 אף שמתבקש לעגל את החלקים ל-802). אמנם זו סטייה זניחה, ונדיר מאוד מאוד שבגללהּ סימן־השנה יהיה שָׁגוּי.

ההסבר לכך הוא, שהשברים העשרוניים שבנוסחה, כפי שהצגנו אותה, הם ביטוי עֶשְׂרוֹנִי לשברים פשוטים, שנועד להקל את השימוש בנוסחה (להקיש שברים במחשבון זה מורכב יותר...). מִטבעוֹ, הביטוי העשרוני אינו מדויק, וזו הסיבה לְאִי־הדיוק במספר החלקים.

כיצד אפשר להגיע לתוצאה מדויקת יותר, למי שרוצה לחשב את המולד לפי נוסחת גאוס? 

אפשרות אחת: להוסיף סְפָרוֹת על השברים העשרוניים, לפי תוצאת החילוק שבנוסחה המקורית (שתובא בהמשך, בע"ה). כך עשה ר' רחמים שר־שלום בספרו שערים ללוח העברי, במהדורה השנייה (התשס"ט, עמ' 47), והנוסחה תוצג כך:

32.044093 + 1.5542418*a + 0.25*b - 0.003177794*A = M + m

מסומנות כאן בצהוב הסְּפָרוֹת שנוספו (או ששֻּׁנּוּ) לתוספת דיוק. למעשה, 'עדכון' זה מְספּק דיוק מיטבי:

עבוּר A = 5734 :

32.044093 + 1.5542418*7 + 0.25*2 - 0.003177794*5734 = 25.20233774

m = 25.202314804

2.952314804

מס' החלקים 923.99971968   = 924.

אפשרות שנייה: ננצל חוסר־דיוק זה כדי לפגוש את הנוסחה כפי שהיא, על שבריהָ הפשוטים (המורכבים ממספרים בעלי משמעוּת!).

הנוסחה, עם ההסברים וההוכחות, נידונה בספר הלוח העברי הקבוע - תולדות ומבנה (מאת עלי מרצבך וערן רביב). הנוסחה מובאת כאן באדיבותו של מחבר הספר ד"ר ערן רביב, שגם טרח לענות על שאלתנו לגבי אי־הדיוק שלנו, וזו ההזדמנות להודות לו.