בס"ד

המדריך ללימוד חשבון הלוח בקצרה: 

פרק ד - נוסחת גאוס להמרת תאריכים

המדריך פרק ד: 

נוסחת גאוס להמרת תאריכים

המתמטיקאי קרל פרידריך גאוס (ה'תקל"ז-ה'תרט"ו), פיתח נוסחה להפיכת ט"ו בניסן (יום־טוב ראשון של פסח) שנת A עברית - לתאריך הנוצרי המתאים, לפי הלוח היוליאני. הנוסחה מובאת באנציקלופדיה העברית (ערך 'לוח'), ובספרו של ר' רחמים שר־שלום, שערים ללוח העברי (עמ' 47), ונידונית בהרחבה (כולל הוכחות) בסִפרם של פרופ' עֵלִי מרצבך וד"ר ערן רביב, "הלוח העברי הקבוע - תולדות ומבנה".

בנוסחה זו נשתמש כאן, ונמיר את התאריך היוליאני לתאריך הגרגוריאני המקובל כיום בעולם.

אם נרצה למצוא את התאריך הלועזי של ראש השנה (א' בתשרי) של שנה מסוימת, נמצא קודם־כל ע"י נוסחת גאוס את התאריך הלועזי של פסח בשנה הקודמת, נתאים את התאריך ללוח הגרגוריאני, ואז אפשר להוסיף את ההפרש הקבוע בימים בין פסח לראש השנה שאחריו, ולמצוא את התאריך הלועזי של ראש השנה.

ומדוע הבאנו את נוסחת גאוס דווקא כאן, בתוך "המדריך", אחרי שלמדנו על אופני חישוב המולד, קביעת ראש השנה ומציאת סימן השנה? מפּני שהנוסחה הזאת, השימושית להמרת תאריכים, יעילה גם לקביעת יום פסח (וממנו - ראש השנה שלאחריו; וממילא לקביעת סימן השנה).

הנוסחה

תחילה נגדיר:

A = השנה העברית של ט"ו בניסן (שאת התאריך היוליאני שלו מבקשים למצוא).

B = השנה הלועזית = A-3760 (שנת 1 למניינם החלה בשנת ג'תשס"א).

a = השארית מחילוק של (12*A +17) ב-19.

b = השארית מחילוק A ב-4.

וזו הנוסחה (כפי שהיא באנציקלופדיה העברית. וראו את ההערה שבסוף הפּרק הבא):

32.0441 + 1.55424*a + 0.25*b - 0.00317779*A = M + m

מַהֵם M+m? את התוצאה שנתקבלה מהנוסחה "מְפרקים" למספר שלם, ולשבר עשׂרוני (בתחום שבּין 0 ל-1). M הוא המספר השלם, ואילו m הוא השבר העשרוני העודף על M.

מעתה נגדיר עוד:

c = השארית מִתוצאת החילוק של (M + 3*A + 5*b + 5) ב-7.

ט"ו בניסן שנת A חל ביום c בשבוע, M ב-March שנת B, לפי הלוח היוליאני (במקרה ש-M גדול מ-31, ט"ו בניסן חל ב־M-31 ב-April); אלא־אם־כן מתקיים אחד מהתנאים הבאים (תוצאה של הדחיות ביחס לר"ה הבּא: אד"ו, ג' ט' ר"ד בפשוטה ו־בט"ו תקפ"ט במוצאי מעוברת. דחיית 'מולד זקן' קבועה בכל יום וכבר מובנֵית בחישוב הימים שבנוסחה):

   אם c שווה 2 או 4 או 6, חל ט"ו בניסן ב־M+1 ב-March (לא בד"ו פסח).

   אם c=1 וגם a>6 וגם m≥0.6329, חל ט"ו בניסן ב־M+2 ב-March (דחיית גטר"ד בשנה פשוטה, הבּאה).

   אם c=0 וגם a>11 וגם m≥0.8977, חל ט"ו בניסן ב־M+1 ב-March (דחיית בט"ו תקפ"ט במוצאי מעוברת).

מַעֲבָר מתאריך יוליאני לתאריך גרגוריאני

הלוח המקובל כיום בעולם הוא הלוח הגרגוריאני. להמרת התאריך היוליאני לתאריך גרגוריאני, יש להוסיף את ההפרש בין הלוח הגרגוריאני ללוח היוליאני:

1500 עד 1699 - 10 ימים

1700 עד 1799 - 11 יום

1800 עד 1899 - 12 יום

1900 עד 2099 - 13 יום

2100 עד 2199 - 14 יום

2200 עד 2299 - 15 יום

הפרש זה גדֵל ב-3 ימים בכל 400 שנה (ההפרש מתחיל אחרי שנת 200 לספירתם); בכל פעם שלפי הלוח היוליאני מוסיפים יום לשנה ועושים אותה "שנה כבושה" (בת 366 יום) ולפי הלוח הגרגוריאני לא (כל שנה שמספרהּ מתחלק ל-100 ללא שארית אך לא ל-400).

בונוס: 

אם נרצה להציג את הפרש־הימים שבּין הלוח הגרגוריאני והיוליאני בצוּרה של נוסחה, כתב חוקר הלוח, ר' יעקב לוינגר ז"ל, בסִפרוֹ על השמינית (עמ' 61-62), כך (INT משמעוֹ המספָּר השָּׁלֵם המתקבל, בהשמטת השֶּׁבר):

GR = INT(Y/1583)*(INT(Y/100)-INT(Y/400)-2)

ע"ש בהסבר שלו. Y היא השנה הלועזית. לדוגמה, כאשר Y=2024, נמצא:

GR = INT(2024/1583)*(INT(2024/100)W-INT(2024/400)-2) = 1*(20-5-2) = 13

וזו התוצאה שהנוסחה תיתן בכל השנים מ-1900 ועד 2099.

וכתב שם ר"י לוינגר, שהנוסחה תקֵפה מ-Y=359 (=ד'קי"ט, ייסוד הלוח בידי הלל) ועַד 3165 למניינם (3166=1583*2. 1583 זו השנה שאחרי תיקון הלוח הגרגוריאני, והביטוי הראשון שבנוסחה מכוון לְאַפֵּס את התוצאה עַד אז. כאשר ערך הביטוי הראשון הוא 2 - מ-3166 ועַד 4748 למניינם - מספר ימי ההפרש מוכפל. הרוצה לחשב הלאה ישמיט את הביטוי הראשון עם פעולת הכפל שלו).

מציאת תאריך ראש־השנה

כדי למצוא את התאריך הנוצרי של ראש השנה העברית, נעשה כך: אם ט"ו בניסן חל ב-April (רוב המקרים), מוסיפים 31 על היום בחודש. אם חל ט"ו בניסן ב-March, אין צורך להוסיף 31.

אח"כ מְחסרים 21 (חיסור זה הוא, בעצם, הוֹספת הֶפרש־הימים שבּין פסח ובין ראש השנה, שהוא 163, ואח"כ חיסור סכום יְמֵי March עד August, שהוא 184. עי' שבילי דרקיע אות נט). המספר שהתקבל אומר שראש השנה חל X ימים מִתחילת September. אם מספר היום בחודש גדול מ-30, מפחיתים 30 והתאריך הוא המספר שנותר, בתחילת October.

הערה: היום־בשבוע שבּוֹ חל ראש השנה הוא שְׁנֵי ימי־השבוע אחרי יו"ט ראשון של פסח, כידוע לנו מתוך סימנֵי "א"ת ב"ש ג"ר" (שו"ע או"ח תכח, ג).

הדגמה

מתי חל א' דפסח (ט"ו בניסן) בשנת ה'תשנ"ט?

A = 5759

B = 5759-3760 = 1999.

a = השארית מֵחילוק (17+ 5759*12) ב-19. נחשב: 69125:19 = 3638 ושארית 3. a=3.

b = השארית מחילוק A ב-4. נחשב: 5759:4 = 1439 ושארית 3. לפיכך, b=3.

הנוסחה:

32.0441 + 1.55424*a + 0.25*b - 0.00317779*A = M + m

32.0441 + 1.55424*3 + 0.25*3 - 0.00317779*5759 = 19.15592739

את התוצאה, 19.15592739, 'נפריד' למספר שלם ולשבר עשרוני בתחום שבין 0 ל-1. דהיינו, M=19; m=0.15592739.

c = השארית מחילוק (19+ 3*5759 +5*3 +5) ב-7. נחשב: 17316:7 = 2473 ושארית 5. c=5.

כזכור, ט"ו בניסן שנת A חל ביום c בשבוע, M ב-March שנת B, לפי הלוח היוליאני; אא"כ מתקיים אחד מהתנאים הבאים:

   האם c שווה 2 או 4 או 6 ?  לא, 5=c.

   האם c=1 וגם a>6 וגם m≥0.6329 ?  לא, c אינו שווה 1.

   האם c=0 וגם a>11 וגם m≥0.8977 ?  לא, c אינו שווה 0.

ט"ו בניסן התשנ"ט חל ביום חמישי, 19 ב-March 1999, לפי הלוח היוליאני.

להפיכת התאריך ללוח הגרגוריאני, המקובל כיום בעולם, יש להוסיף 13 יום (זהו ההפרש בין שני הלוחות בשנים 1900-2099).

19+13 = 32. יום 32 ב-March הוא יום 1 ב-April. ט"ו בניסן התשנ"ט חל ביום חמישי, 1 ב-April 1999.

וכדי למצוא את תאריך ראש השנה שלאחריו (התש"ס):

ט"ו בניסן התשנ"ט חל ב-1 ב-April 1999 - זהו היום ה-32 מתחילת March. מְחסרים 21 יום. 32-21 = 11.

ראש השנה התש"ס חל ב-11 ב-September 1999, וזהו יום שבּת (2 ימי השבוע אחרי א' דפסח, יום חמישי).

להרחבה בנושא נוסחת גאוס - מומלץ מאוד לקרוא את הפּרק העוסק בה בספרם של ד"ר ערן רביב ופרופ' עלי מרצבך על הלוח העברי הקבוּע. שם תמצאו דברי רקע על פרסום הנוסחה, גרסאות שונות שלה, הבנת המרכיבים שלה, והוכחה לנכונותהּ (כפי הנראה מדובר בטקסט הנרחב והמפורט ביותר בעברית לנושא זה).

בפרק הבא בע"ה - מציאת סימן השנה באמצעות נוסחת גאוס