Cónicas

Una corta Historia

El estudio de las cónicas se remonta a la época de los griegos en el siglo IV a. C. En el año 429 a. C., Pericles, gobernador de Atenas por esa época, muere víctima de la tifoidea que plagaba la ciudad. A raíz de este suceso algunos de los habitantes deciden ir a la ciudad de Delfos para hacer consultas al Oráculo de Apolo y saber cómo pueden detener la epidemia. La respuesta a la consulta del Oráculo es que debían elaborar un nuevo altar en forma de cubo cuyo volumen duplique el del altar que ya existe.

En todo caso, es un hecho histórico que el problema de Delos hallo ya en la antigüedad diversas soluciones constructivas, aunque desde luego ninguna con el uso exclusivo de la regla y el compás, porque si llamamos a a la arista del cubo original y x a la del cubo duplicado, el problema se reduce a resolver la ecuación 

y es un hecho conocido entre los matemáticos que las ecuaciones de grado mayor que dos en general no se pueden resolver geométricamente (es decir, con el uso exclusivo de regla y compas).

Como nuestro interés aquí es mostrar el uso de las cónicas en la resolución grafica de dicho problema, daremos la solución conseguida por Hipócrates de Chios en el siglo V a.C. mediante la intersección de dos parábolas. Hipócrates demostró que se podría conseguir la duplicación del cubo siempre que se pudiera encontrar curvas que cumplieran  a/x = x/y = y/2a; y Menecmo halló dichas curvas como secciones.

En el mismo siglo el geómetra Euclides escribió 4 libros sobre las secciones cónicas, de los cuales ninguno se conserva en la actualidad. Según Pappus de  Alejandría, Aristeo (contemporáneo de Euclides) trabajó las cónicas y las llamó: sección del cono rectángulo, sección del cono acutángulo y sección del cono obtusángulo (parábola, elipse e hipérbola actual). Pero, al igual que ocurre con los cuatro libros de Euclides, no se conservan documentos de esos trabajos.

El primer tratado escrito que se conserva sobre las secciones cónicas es debido a Apolonio de Perga. En sus 8 libros Apolonio estudia las propiedades geométricas de las secciones cónicas. Las figuras que se van a estudiar, todas ellas conocidas con el nombre genérico de cónicas, se pueden obtener como intersección de una superficie cónica con un plano.

Previamente a este trabajo existían estudios elementales sobre determinadas intersecciones de planos perpendiculares a las generatrices de un cono, obteniéndose elipses, parábolas o hipérbolas según que el ángulo superior del cono fuese agudo, recto u obtuso, respectivamente. Si bien no disponía de la Geometría Analítica todavía, Apolonio hace un tratamiento de las cónicas que se aproxima mucho a la misma.

Los resultados obtenidos por Apolonio sobrevivieron sin cambios hasta que Fermat y Descartes, en una de las primeras aplicaciones de la Geometría Analítica (Fermat y Descartes se pueden considerar los fundadores de la Geometría Analítica), retomaron el problema llegando a su casi total estudio, haciendo siempre la salvedad de que no manejaban coordenadas negativas, con las restricciones que esto impone. La contribución de cada uno reside esencialmente en el reconocimiento de que una ecuación dada con dos incógnitas puede considerarse como la determinación de una curva plana con respecto a un sistema de coordenadas.

 El estudio analítico de Descartes ofrece un aspecto puramente algebraico y se sirve de las ecuaciones de las cónicas para deducir propiedades referentes a las curvas y a su construcción geométrica. Por otro lado, Fermat deduce las ecuaciones de la recta, la circunferencia y todas las secciones cónicas.

Definición general de cónica

Fue Descartes quien demostró que las secciones cónicas de Apolonio se hallan todas contenidas en un único conjunto de ecuaciones cuadráticas.

Ecuación matricial

La ecuación general de segundo grado tiene algunas propiedades generales que permiten clasificar cada una de las curvas según los valores de los parámetros A;B;C;D;E;F y puede escribirse como una expresión matricial de la forma;

donde la matriz A asociada a la forma cuadrática, es una matriz simétrica de orden n cuyos elementos de la diagonal principal son los coeficientes de los términos cuadráticos de la expresión polinómica, y los restantes elementos de la matriz son la mitad de los coeficientes de los términos no cuadráticos de dicha expresión.

Esta relación entre los elementos de una y otra expresión de la forma cuadrática, permite obtener fácilmente cada una de ellas a partir de la otra.

Dado que las secciones cónicas incluyen a las circunferencias de los antiguos astrónomos, las elipses de Kepler y la parábola utilizada por Galileo para describir la trayectoria de un proyectil, este descubrimiento de Descartes facilitaba a los físicos una poderosa herramienta, sin la cual el propio Newton se habría visto severamente limitado.

Ejemplo

Transformación de coordenadas

A medida que progresemos en nuestro estudio, las ecuaciones de las curvas se van haciendo más difíciles de analizar; por esto, se hace necesario en algunas ocasiones introducir ciertos trucos matemáticos con el fin de facilitar el estudio de estas curvas. Uno de ellos, que nos permite simplificar las ecuaciones de muchas curvas, consiste en la transformación de coordenadas.

Una transformación es una operación por la cual una relación, expresión o figura se cambia en otra siguiendo una ley dada, sin que esto cambie las propiedades de la curva. Analíticamente, la ley se expresa por una o más ecuaciones llamadas ecuaciones de transformación.

Clasificación de cónicas y ecuación reducida

Dada una cónica definida por una matriz simétrica A, hallar su ecuación reducida nos lleva a hacer un cambio de referencia (transformación de coordenadas) de manera que la ecuación de la cónica con respecto a una nueva referencia sea lo más sencilla posible. En concreto realizamos:

1. Un giro. Permitiendo colocar el eje o ejes de la cónica paralelos a los ejes de coordenadas de la nueva referencia. La matriz de términos cuadráticos en la nueva referencia será diagonal.

2. Una translación. Permitiendo colocar el centro de la cónica en el origen de coordenadas.

Reducción de términos cuadráticos (giro de coordenados)