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Cuerpo Rígido

Introducción

El movimiento de un cuerpo con volumen, como una rueda que gira en torno a su eje, no se puede explicar al representar el objeto como una partícula: en cualquier momento diferentes partes del objeto tienen distintas velocidades y aceleraciones lineales. Pero si podemos estudiarlo al representarlo como un conjunto de partículas, cada una con su propia velocidad y aceleración lineales. Al tratar con un objeto en rotación, la explicación se simplifica mucho al suponer que el objeto es rígido. Un objeto rígido no es deformable; es decir, las ubicaciones relativas de todas las partículas de que está compuesto permanecen constantes. Se trata, por tanto, de un modelo matemático útil para estudiar una parte de la mecánica de sólidos, ya que todos los sólidos reales son deformables.

La tierra como cuerpo rígido

Al estudiar la dinámica del cuerpo rígido, es importante considerar la extensión finita del sólido. Un sólido real ocupa un volumen V que por definición es indeformable (aunque puede trasladarse y rotar en el espacio). En este volumen existe una serie de partículas, con masas mi de forma que el sólido posee una masa total

Para la mayoría de los sólidos, no obstante, es preferible modelarlos como un continuo que llena toda una región del espacio. En cada elemento de volumen dV existe una pequeña cantidad de sólido relacionada con el volumen a través de la densidad de masa

En un sólido homogéneo la densidad de masa es la misma en todos sus puntos y

En ocasiones puede suponerse que un sólido se reduce a una fina lámina. Se define entonces la densidad superficial de masa, σ,

que, para el caso de un sólido homogéneo nos da

Análogamente, existen sólidos que pueden suponerse lineales (como un alambre o varilla), en cuyo caso se define la densidad lineal de masa, μ

Centro de masas

La dinámica de un sistema de partículas consiste en la aplicación de las leyes de Newton del movimiento a un conjunto de partículas, el cual puede ser discreto (las partículas se pueden contar) o bien formar parte de un objeto extendido, en este caso el sistema es continuo.

Como con cualquier otro sistema de partículas, un sólido rígido se caracteriza por tener un centro de masas cuya posición es una media ponderada de las posiciones de las partículas que lo componen, se utiliza para describir el movimiento de traslación de un sistema de partículas.

Imaginemos que las partículas de igual masa (1,2,3,...i) conforman un cuerpo rígido, su centro de masa rG dado por:

El centro de masas de este sistema de partículas es un punto que, a muchos efectos, se mueve como si fuera una partícula de masa igual a la masa total del sistema sometida a la resultante de las fuerzas que actúan sobre el mismo.

Recordemos que en este punto es donde se ubica toda la masa del cuerpo rígido, la posición del centro de masas no tiene por qué coincidir con la posición de ninguna de las partículas del sistema, es simplemente un punto en el espacio.

En el caso de una distribución continua, el sumatorio se sustituye por una integral

Donde M es la masa total del sistema de partículas.

A la hora de localizar el centro de masas de un sólido es importante hacer uso de las simetrías del sólido:

Si el sólido es simétrico respecto a un determinado plano, el CM se encuentra contenido en el plano de simetría.
Si el sólido es simétrico respecto a dos o más planos, el CM se encuentra en la intersección de los distintos planos de simetría.
Si el sólido es una figura de revolución en torno a un eje dado, el CM se halla sobre el eje de revolución.

Movimiento de un sólido rígido

Cuando tenemos un sólido rígido podemos tener varias situaciones

una traslación del cuerpo rígido en el espacio
Una rotación alrededor de algún eje o
traslación y rotación a la vez.

Diferencia entre el centro de masa y centro de gravedad

El centro de masa es el punto promedio de la masa de un objeto, mientras que el centro de gravedad es el punto promedio de su peso. Ambos coinciden en un campo gravitatorio uniforme, como el de la Tierra para la mayoría de los objetos cotidianos. La principal diferencia surge cuando el campo gravitatorio no es uniforme, como en el caso de objetos muy grandes, donde el centro de gravedad puede diferir ligeramente del centro de masa.

Centro de gravedad

El centro de gravedad es el punto imaginario de un objeto donde se considera que toda su masa está concentrada. Es el punto de equilibrio de un objeto y el lugar donde se aplica la fuerza de gravedad resultante sobre su masa. A menudo se usa indistintamente con el centro de masa, ya que ambos suelen estar en la misma ubicación, especialmente bajo un campo gravitacional uniforme.

Puede estar dentro o fuera del cuerpo físico. Por ejemplo, el centro de gravedad de una esfera hueca está en su centro, aunque no hay materia allí. Si la masa está distribuida de manera uniforme, el centro de gravedad coincide con el centro geométrico. Si la distribución es irregular, se desplaza hacia la zona con más masa. Su posición es crucial en áreas como la aeronáutica, la ingeniería naval y la fisioterapia para garantizar el equilibrio y la estabilidad.

¿Cuál es la importancia de determinar la ubicación del centro de gravedad?

La ubicación del centro de gravedad tiene varias propiedades únicas:

Un objeto en el espacio gira alrededor de su centro de gravedad.
Una fuerza aplicada al centro de gravedad provoca una traslación pura.

Por lo tanto, la ubicación del centro de gravedad es un parámetro esencial para determinar las características de vuelo de un objeto. Controlar el vuelo de un objeto requiere un conocimiento preciso de la ubicación de su centro de gravedad.

Por ejemplo, alinear la dirección del empuje de un motor cohete de manera que empuje exactamente a través del centro de gravedad del cohete es esencial para lograr un vuelo recto.

En la industria automotriz, la altura del centro de gravedad es un parámetro esencial. Cuanto más bajo sea el centro de gravedad, mayor será la estabilidad del vehículo. Esto explica por qué las SUV tienen más problemas de vuelco que los automóviles, ya que, al estar más elevadas, su centro de gravedad es más alto. Los autos de carreras siempre tienen un centro de gravedad muy bajo. Algunas organizaciones de carreras limitan la altura permitida del centro de gravedad de los autos de carreras para garantizar una competencia justa.

El centro de gravedad para atletas es el punto donde se concentra la masa corporal, crucial para el equilibrio, la estabilidad y el rendimiento deportivo. Su posición varía según el deporte y la postura, y un centro de gravedad bajo generalmente proporciona mayor estabilidad, mientras que los ejercicios que fortalecen el core y las piernas son fundamentales para mejorar este centro.

En deportes como el salto de altura, la técnica del "Fosbury Flop" permite que el centro de gravedad del atleta pase por debajo de la barra mientras la rodea con la espalda, reduciendo la altura máxima que debe alcanzar.

Es importante entender que el centro de gravedad cambia con el movimiento. Levantar un objeto pesado o incluso un brazo altera su posición, por lo que se debe ajustar la postura para mantener la estabilidad.

Momentos de torsión de una fuerza

El momento de torsión, torque o momento de una fuerza es la capacidad de una fuerza para provocar un giro. Etimológicamente recibe el nombre de torque como derivación del vocablo inglés torque, proveniente del latín torquere (retorcer).

Por ejemplo, cuando se aplica una fuerza a una puerta, se produce un movimiento de rotación con respecto al eje de giro donde se localizan las bisagras, el cual depende del punto de aplicación y de la dirección de la misma. Si la fuerza es perpendicular al plano de la puerta y se aplica en el extremo opuesto del eje de las bisagras, esta se abrirá con mayor facilidad, entre más cerca esté del eje de las bisagras , será más difícil abrirla.

Vamos a definir r como el vector que va desde el eje de giro, hasta la línea de acción de la fuerza F, perpendicularmente. La acción de esta fuerza sobre el eje de giro la podemos expresar matemáticamente como:

Se caracteriza por

Una magnitud r F sen(θ)
Una dirección perpendicular al plano formado por r y F
Un sentido dado por la regla de la mano derecha

En general el momento de torsión (con respecto a un punto determinado) es la magnitud física que resulta de efectuar el producto vectorial entre el vector de posición que va desde el eje de giro hasta el punto en el que la fuerza se aplica y el de la fuerza ejercida (en el orden indicado).

Es un vector que puede estar en el espacio pero perpendicular al plano que contenga al vector de posición r y fuerza aplicada F.

Cuerpo rígido en equilibrio

Condiciones de equilibrio estático y dinámico

Ejemplos de objetos rígidos en equilibrio

Cuando analice un objeto rígido en equilibrio bajo la acción de muchas fuerzas externas, use el siguiente procedimiento.

Conceptualizar. Piense en el objeto que está en equilibrio e identifique todas las fuerzas que actúan sobre él. Imagine qué efecto tendría cada fuerza en la rotación del objeto si fuese la única fuerza en acción.
Categorizar. Confirme que el objeto en consideración es un objeto rígido en equilibrio.
Analizar. Dibuje un diagrama de cuerpo libre y etiquete todas las fuerzas externas que actúan en el objeto. Intente adivinar la dirección correcta de cada fuerza.

Descomponga todas las fuerzas en componentes rectangulares y elija un sistema coordenado conveniente. Luego aplique la primera condición para el equilibrio, la ecuación 1. Recuerde seguir la pista de los signos de las diferentes fuerzas componentes.

Elija un eje conveniente para calcular el momento de torsión neto sobre el objeto rígido. Recuerde que la elección del eje para la ecuación del momento de torsión es arbitraria; por lo tanto, elija un eje que simplifique sus cálculos tanto como sea posible. El eje más conveniente para calcular momentos de torsión es el que pasa a través de un punto en el que actúan muchas fuerzas, de modo que sus momentos de torsión en torno a este eje son cero. Si no conoce una fuerza o no necesita conocer una fuerza, conviene elegir un eje a través del punto en el que actúa dicha fuerza. Aplique la segunda condición para el equilibrio, ecuación 2. Resuelva las ecuaciones simultáneas para las incógnitas en términos de las cantidades conocidas.

Finalizar. Confirme que sus resultados sean consistentes con el diagrama de cuerpo libre. Si seleccionó una dirección que conduce a un signo negativo en su solución para una fuerza, no se alarme; simplemente significa que la dirección de la fuerza es la opuesta a la que supuso. Sume las fuerzas verticales y horizontales sobre el objeto y confirme que cada conjunto de componentes suma cero. Sume los momentos de torsión sobre el objeto y confirme que la suma es igual a cero.

Ejemplo: Viga que sostiene dos bloques

Una viga uniforme de masa m y longitud L sostiene bloques con pesos w1 y w2 en dos posiciones, como se muestra en la figura. La viga descansa sobre dos bordes afilados. ¿Para qué valor de x la viga se equilibra en P tal que la fuerza normal en O es cero?

Identifiquemos todas las fuerzas que intervienen en la viga y las distancias de cada una de ellas hasta el eje de giro.

Nos queda ver cual es la tendencia de giro que provoca cada fuerza

Ejemplo: Escalera apoyada en una pared lisa

Una escalera de masa m y largo L se encuentra apoyada contra una pared lisa (o sea, no hay roce entre la escalera y la pared), formando un ángulo α con ella. Una persona de masa M se encuentra sobre la escalera. ¿Cuál es el mínimo coeficiente de roce estático que debe existir entre el suelo y la escalera para que la escalera no resbale, independientemente de la altura a la que se encuentre la persona?.

Introducimos el sistema de coordenadas mostrado en la figura adjunta. Para que el sistema se encuentre en equilibrio, la fuerza total sobre la escalera debe ser nula. Hay cuatro fuerzas actuando sobre la escalera:

El peso de la escalera mg esta fuerza se aplica en el centro de masas de la escalera.
El peso de la persona Mg.
La reacción que ejerce la pared sobre la escalera. Como la pared es lisa (no hay roce) tal fuerza es perpendicular a la pared Ep.
La reacción del suelo sobre la escalera, esta está formada por dos componentes FN fuerza normal y fr es la fuerza de rozamiento.

La condición de que la fuerza total sea nula nos da las siguientes relaciones:

Evaluemos el torque total en torno al punto O. Como la escalera está en equilibrio, el torque neto debe ser nulo. Se tiene:

El valor máximo de la fuerza de roce se obtiene cuando la persona sube hasta la parte más alta de la escalera (d = L). En ese caso la fuerza de roce es:

La fuerza de roce fr debe ser menor que el máximo posible, que es µeFN, o sea, se debe cumplir la relación

De aquí se deduce que el menor valor posible que puede tener µe para que la escalera no resbale es

Ejemplo: vuelo de un avión comercial

Datum (Línea de Referencia): Es un plano vertical imaginario o línea de la que se toman todas las medidas del brazo. El datum es establecido por el fabricante. Una vez se ha seleccionado el punto de referencia todos los brazos de momentos y la ubicación de la gama de CG se miden a partir de ese punto.

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