Embedded Files
Marco teórico
Un péndulo físico o péndulo compuesto es cualquier cuerpo rígido (no puntual) que pueda oscilar libremente en el campo gravitatorio alrededor de un eje horizontal fijo, que no pasa por su centro de gravedad. Un ejemplo es un bate de béisbol que mide alrededor de un metro, tiene 7 cm en su diámetro más grueso y pesa un kilo el cual es suspendido de un punto O.
Como es un objeto irregular, tiene más peso en uno de sus extremos por tanto el centro de gravedad está cargado hacia dicho extremo a una distancia 𝛒 del punto de rotación O, cuando lo separamos un ángulo θ de su posición de equilibrio y lo soltamos el bate oscila en un plano vertical debido a las fuerzas que actúan sobre él, como son:
● El peso del péndulo Mg
● La fuerza de reacción R en el punto de suspensión O.
La fuerza de reacción, es la que impide que el cuerpo caiga (por eso tiene una componente vertical), como también impide que el punto O se mueva hacia los lados (por eso, también tiene una componente horizontal). De esta forma, la fuerza de reacción tiene una magnitud y dirección en principio desconocidas que se deben determinar de las ecuaciones de movimiento.
La posición del péndulo físico queda determinada, en cualquier instante, por el ángulo θ que forma el plano determinado por el eje de rotación y el centro de gravedad (CM) del péndulo con el plano vertical que pasa por el eje de rotación.
Para deducir las ecuaciones que gobiernan al péndulo físico consideremos un cuerpo rígido en forma de barra (en el laboratorio se suele utilizar un regla con orificios para ir cambiando el centro de giro) de sección rectangular de masa M, suspendida de un eje transversal que pasa por el punto O, tal como se muestra en la figura siguiente. De acuerdo con la dinámica rotacional se tiene que el torque en el punto de oscilación es:
La fuerza de reacción actúa en el punto O, su torque es nulo pues el brazo es nulo. Aquí nuevamente se ve la utilidad del método de torques porque permite describir el movimiento eliminando las fuerzas desconocidas.
El torque de las fuerzas aplicadas al sistema se reduce entonces al torque del peso, que actúa sobre el centro de masa del cuerpo.
La aceleración angular está dada por,
Combinando las 2 ecuaciones anteriores, quedando la ecuación de movimiento
Donde I0 representa el momento de inercia del péndulo físico respecto a un eje que pasa por el punto de suspensión O. Esta ecuación diferencial no es lineal, por lo que no corresponde a una ecuación diferencial de un movimiento armónico simple.
A veces es conveniente expresar en términos del momento de inercia del cuerpo con respecto a un eje que pasa por su centro de gravedad CM, para ello se usa el teorema Steiner (ejes paralelos).
Teorema de Steiner
Teorema de Steiner
El teorema de Steiner se enuncia de la siguiente manera: el momento de inercia de un cuerpo respecto de un eje cualquiera, es igual al momento de inercia respecto a un eje, paralelo al dado, que pase por su centro de masas, más el producto de la masa del cuerpo por el cuadrado de la distancia que separa ambos ejes:
K se conoce como el radio de giro
Reemplazando en la ecuación de movimiento tenemos
Es importante observar el factor entre paréntesis el cual introduce el efecto de la distribución de masa del cuerpo rígido y, nos da la frecuencia angular del movimiento:
La ecuación (2) expresa el periodo del péndulo en términos de la geometría del cuerpo. Es decir, el periodo es independiente de la masa. Dependiendo solo de la distribución de masa. Por otro lado, debido a que el radio de giro K de cualquier cuerpo es constante, el periodo del péndulo es función solo de
Ahora grafiquemos la ecuación (2)
En el origen de la gráfica se ubica el centro de gravedad del bate.
Se observa la simetría de la gráfica, mostrando que el comportamiento de las oscilaciones es el mismo por encima o por debajo del centro de gravedad.
El periodo alcanza un valor infinito cuando coincide el centro de masas con el centro de oscilación O y un Tmínimo que se puede calcular derivando respecto al tiempo e igualando a cero.
La posición del mínimo K, corresponda al radio de giro del péndulo. Como se puede ver en la figura hay dos mínimos uno en -K y otro en K respectivamente.
También se puede comprobar de esta gráfica la propiedad del péndulo físico como péndulo reversible: dado un valor de T se obtienen dos valores con ρ>0 y otros dos con ρ˂ , que hacen que el péndulo físico oscile con dicho periodo. Para ello basta con elevar al cuadrado y agrupar en un sólo miembro la ecuación del periodo (3) obteniendo una ecuación de segundo grado con ρ como incógnita:
De estas dos ecuaciones. Midiendo en la gráfica ρ1=-b1 y ρ2=-b2 para un valor dado de T, se obtiene el valor de la aceleración de gravedad g. También se puede obtener el momento de inercia del péndulo compuesto LCM=mK2 respecto a un eje que pasa por el centro de masas.
Si se compara las ecuaciones del péndulo simple y el físico:
El periodo de un péndulo físico suspendido de un eje a una distancia ρ de su centro de gravedad es igual al periodo de un péndulo simple de longitud dada por
Simulación numérica con GeoGEBRA
Simulación numérica con GeoGEBRA
El comando de Geogebra Resuelve EDO resuelve esta ecuación de movimiento del péndulo físico por el método de Runge Kutta 4.
Diagrama de fase (θ,ω)
Diagrama de fase (θ,ω)
Aqui se puede observar la solución numérica de GeoGEBRA y los diagramas de fase para cada angulo.
Page updated
Google Sites
Report abuse