Péndulo esférico
Péndulo esférico
Embedded Files
El péndulo esférico es un péndulo simple que no se mueve en un plano, sino en el espacio, es un caso de partícula ligada que obliga a la masa M a moverse sin fricción sobre la superficie de una esfera, presenta una sola ligadura holónoma ( cuando se expresa como una relación exclusiva de las coordenadas y el tiempo:f(x,y,z,t)=0) y esclerotoma (ligadura independiente del tiempo) y se puede escribir como
lo que implica que tengamos 2 grados de libertad.
Recordemos que llamamos ligadura a las condiciones sobre las coordenadas de un sistema que están sujetas a restricciones independientes de las fuerzas actuantes. En cualquier sistema dinámico aparecen este tipo de ligaduras que constriñen el movimiento, además de las fuerzas que controlan su evolución. para este caso las únicas fuerzas que actúan sobre la masa son la reacción de la esfera y la gravedad.
Las coordenadas generalizadas convenientes son: 𝜽 y 𝝋 por tanto debemos utilizar coordenadas esféricas para describir sus ecuaciones de movimiento.
Derivamos con respecto al tiempo, teniendo en cuenta que l es constante para obtener las componentes de la velocidad.
Entonces, la energía cinética del sistema la podemos expresar como
y la energía potencial gravitacional
Con estas dos cantidades ya podemos escribir el Lagrangiano del sistema. La lagrangiana L=Ek-Ep que tiene dos grados de libertad (𝛳,𝜑) está dado por:
Ecuaciones de movimiento
Calculemos ahora la ecuación de movimiento para 𝛗 introduciendo este lagrangiano a las ecuaciones de Euler Lagrange.
Observe que en el Lagrangiano no aparece la coordenada 𝛗 a esta coordenada se le llama cíclica o ignorable, y por tanto se anula su derivada parcial
Si una coordenada es cíclica o ignorable en el Lagrangiano, entonces se conserva su momento conjugado.
Es importante notar que el hecho de que una coordenada sea cíclica no quiere decir que su valor sea constante, ni tampoco la velocidad generalizada correspondiente.
A esta derivada parcial
se la denomina el momento conjugado de la coordenada 𝛗. Por tanto, si 𝛗 es cíclica su momento conjugado p𝛗 es una constante de movimiento de valor β dado por las condiciones iniciales.
Esto es lo que se espera de las leyes de movimiento de Newton ya que no hay pares externos aplicados alrededor de este eje vertical. Las cantidades conservadas son primeras integrales de las ecuaciones de movimiento (combinaciones de las coordenadas y las velocidades). Su conocimiento previo ayuda a la integración de las ecuaciones.
Comprobemos que 𝛃 está relacionado con la componente Z del momento angular
La componente z del momento angular del sistema péndulo está dado por:
siendo Mz el momento angular de la partícula M.
Calculemos ahora la segunda ecuación de Euler Lagrange ,
finalmente podemos escribir la segunda ecuación de movimiento como
Aplicando el enfoque de Lagrange, hay dos ecuaciones acopladas no lineales para resolver.
Por otro lado se reemplaza la coordenada cíclica en la segunda ecuación de movimiento se tiene,
Pudiendo reescribir la lagrangiana como:
de modo que el problema queda reducido a un problema unidimensional.
Page updated
Google Sites
Report abuse