Fractales
Qué es un fractal ?
Un fractal es una figura plana o espacial compuesta de infinitos elementos, que tiene la propiedad de que su aspecto y distribución estadística no cambian cualquiera que sea la escala con que se observe. El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.
A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características:
Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.
Posee detalle a cualquier escala de observación.
Es autosimilar (exacta, aproximada ).
Se define mediante un simple algoritmo recursivo (Iteración)
Dado que un fractal está constituido por elementos cada vez más pequeños, el concepto de longitud no está claramente definido: Cuando se quiere medir una línea fractal con una unidad, o con un instrumento de medida determinado, siempre habrá objetos más finos que escaparan a la sensibilidad de la regla o el instrumento utilizado, y también a medida que aumenta la sensibilidad del instrumento aumenta la longitud de la línea. Todo esto nos lleva a otro concepto: el de dimensión fractal. Que en el caso de las líneas fractales nos va a indicar de qué forma o en qué medida una línea fractal llena una porción de plano.
La característica que fue decisiva para llamarlos fractales es su dimensión fraccionaria. No tienen dimensión uno, dos o tres como la mayoría de los objetos a los cuales estamos acostumbrados. Los fractales tienen usualmente una dimensión que no es entera, ni uno ni dos, pero muchas veces entre ellos. De hecho, la noción de dimensión fractal (fraccional) provee una manera de medir lo rugosa que es una curva. Normalmente consideramos que los puntos tienen dimensión 0, las líneas 1, las superficies 2 y los volúmenes 3. Sin embargo, una curva rugosa que recorre una superficie puede ser tan rugosa que casi llene la superficie en la que se encuentra. Superficies como el follaje de una árbol o el interior de un pulmón pueden efectivamente ser tridimensionales. Podemos, entonces, pensar de la rugosidad como un incremento en la dimensión: una curva rugosa tiene una dimensión entre 1 y 2, y una superficie rugosa la tiene entre 2 y 3.
Los mecanismos que generan fractales
Sistemas de funciones iteradas (IFS). Consiste en reemplazar indefinidamente unos conjuntos por su imagen bajo un sistema de aplicaciones. Son: el conjunto de Cantor, la alfombra de Sierpinski, el triángulo de Sierpinski, la curva de Peano, la curva del dragón, el copo de nieve de Koch o la Esponja de Menger.
Fractales de algoritmos de Escape, en cada punto del espacio se da una relación de recurrencia. Son: el conjunto de Mandelbrot, conjunto de Julia, y el fractal de Lyapunov.
Fractales aleatorios, generados por procesos estocásticos, no deterministas, como son el movimiento browniano,el vuelo de Lévy, los paisajes fractales o los árboles brownianos. Éstos últimos son producidos por procesos de agregación por difusión limitada.
Otros menos importantes son:
Fractales creados por bifurcaciones
Escape de Atractor Finito
Orbitales Caóticos o Atractores
L-Systems
Historia
En 1872 aparece el primer fractal llamado Función de Weierstrass, se trata de una función continua no diferenciable en ningún punto.
En 1890 el francés Poincaré concibe una serie de fractales.
En 1904 aparece Copo de Nieve de Koch que es una curva con propiedades similares a la de Weierstrass
En 1915 surge el de Triángulo Sierpinski y en 1916 la Alfombra de Sierpinski
En 1920 surgen los conjuntos de Julia.
Todos ellos demostraron las limitaciones de la geometría tradicional pero su estudio no despertó interés y quedó congelado, hasta que en 1.974 se reinicia nuevamente en IBM impulsado por el desarrollo de la computadora digital.
Mandelbrot es considerado el padre de la geometría fractal y lleva su nombre el conjunto de Mandelbrot.
Desde 1.970 esta rama está siendo muy investigada.
Clasificación
Se dice que un objeto es autosemejante si se puede construir a partir de copias semejantes, en el sentido de las transformaciones geométricas de sí mismo.
La propiedad de un fractal de poseer detalle a todas las escalas de observación, se puede completar indicando que un fractal no tiene ninguna escala característica o lo que es lo mismo todas las escalas son "buenas" para representar un fractal.
Los fractales regulares, se construyen a partir de un polígono o de otra figura, agregando repetidamente copias de él mismo reducidas en tamaño un factor r, de acuerdo a un conjunto de transformaciones geométricas.
Este es el tipo de fractal introducido por M. Barnsley. Matemáticamente se describen mediante un conjunto de funciones lineales sometidas en cada uno de sus puntos a transformaciones por simetría del tipo rotacional y traslacional, mediante aproximaciones sucesivas. Si bien las funciones son introducidas aleatoriamente en el sistema, para obtener una estructura fractal concreta es necesario fijar la función y sus valores.
Los ejemplos más conocidos, por la generación de imágenes ultrarrealistas, son las simulaciones de helechos y hojas, y otras formas infinitamente detalladas. En el caso de un árbol es posible imaginar la IFS como el “follaje” de ramas infinitamente pequeñas. Existen procedimientos matemáticos conocidos como “algoritmos de iteración aleatoria” que acortan el camino para representar el mapeo de pixeles a partir del follaje fractal muy detallado, sin tener que pasar por ninguna de las aproximaciones sucesivas, esto es, la generación iterativa de varios niveles de “ramas” usando geometría tradicional.
Cuando se explica el tema de los números complejos, las caras de los alumnos muestran que algo que para ellos estaba claro, cómo era la no existencia de raíces cuadradas de números negativos, se cae "a modo de castillo de naipes", porque aparecen unos números extraños, que nunca antes habían escuchado y que en principio están totalmente alejados del sentido común y de algo que ellos pueden tocar o ver en su día a día.
La historia de dar cierto sentido a estos números comienza con la resolución de ecuaciones y termina dando solución a muchas otras cosas en matemáticas.
Como curiosidad, el número i, junto con los números trascendentes PI (relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro) y el e (base de los logaritmos naturales o neperianos), aparece en la ecuación de Euler.
Esta expresión que liga a tres de los números más importantes de las matemáticas también es un ejemplo de la rica conexión entre los números, sus propiedades y la realidad física de todo orden.
¿Y para qué sirven los números complejos
Los números complejos sirven para calcular ciertas integrales reales que son difíciles de calcular con los métodos tradicionales. Se utilizan para resolver problemas en diversos campos: en matemáticas, en electromagnetismo, en movimiento ondulatorio…los cosmólogos que desarrollan la teoria del Big Bang sobre el origen del universo, trabajan la magnitud tiempo a partir de estos números. Los números complejos también juegan un papel esencial en la mecánica cuántica. Pero es que además también sirven para construir los fractales que luego estudiaremos y que tienen una conexión directa, por ejemplo, con la medicina ya que se usa la dimensión fractal para diagnosticar ciertas enfermedades de los huesos.
En fin, que lo que en principio estaba alejado de la realidad, y era algo extraño, sin ningún uso, o como mucho limitado a la distracción de esos "locos matemáticos", ha terminado, como otras tantas veces por ser algo importante, y de hecho esencial para ampliar el conocimiento en otros aspectos de la ciencia.
Pero... ¿Es necesario comprender los números complejos para disfrutar de los fractales?
La verdad es que no, porque la recreación visual que sentimos al observar ciertos fractales surge en nuestra mente aún sin saber nada de cálculo, pero para entender el porqué de esa belleza, lo que se esconde en su interior y los secretos que nos aguardan al sumergirnos en ella necesitamos recurrir a los números complejos, pues los fractales son "hijos" de los complejos, viven, existen y se comprenden sólo gracias a estos números tan especiales.
Atractores extraños
Estos conjuntos pueden ser considerados como la representación de un sistema dinámico en movimiento caótico, esto significa que ni el lugar de su recorrido ni el tiempo en que lo recorre nunca son idénticos. Estos atractores tienen apariencia muy compleja, y están compuestos por una línea de longitud infinita formando bucles entrelazados que no se cruzan en su propia trayectoria.
Se forman por la repetida ejecución de ciertos cálculos y al listar los resultados numéricos, se caracterizan por parecer valores totalmente azarosos. Sin embargo, al graficar estos resultados en un plano bidimensional, muestran complejas estructuras muy coherentes con respecto a su regla generativa. Para crear un atractor extraño mediante software generalmente se comienza introduciendo un punto que pertenece al campo de la pantalla, y luego se ingresan los valores de ese punto en una ecuación. El resultado de la ecuación se convierte en el nuevo punto que se grafica, y luego es usado nuevamente en la ecuación.