La cinemática de la partícula es la rama de la física que estudia el movimiento de un objeto idealizado como un punto, sin considerar las fuerzas que lo causan. Se enfoca en describir el movimiento a través de conceptos como posición, desplazamiento, velocidad y aceleración en función del tiempo, utilizando un sistema de referencia para ubicar la partícula en el espacio.  

A partir de este gráfico podemos apreciar que acontecimientos pasaron durante el recorrido de este móvil, lo interesante es que posemos especular sobre lo que pudo pasar al móvil durante su recorrido, en este caso decidí inventarme una historia. Como podemos ver el móvil tuvo tres trayectos. El primero avanzó recorre espacios iguales en tiempos iguales, en el segundo se paró podríamos inventar cualquier cosa como, la parada se debió a observar la naturaleza durante en intervalo de tiempo y el tercero vaya susto se encontró con un obstáculo que lo obligo a retroceder.

Velocidad media

Existen 3 rectas en el gráfico (x,t).

Las relaciones entre los parámetros medidos están representadas por líneas rectas. Diferentes líneas rectas corresponden como en nuestro caso a diferentes velocidades. Esto es cierto si la escala horizontal es la misma.

Podemos ver que las pendientes pueden ser positivas, negativas  o nulas

    Pendiente  > 0  La velocidad es positiva. El móvil avanza con movimiento uniforme

Pendiente < 0  La velocidad es negativa. El móvil retrocede con movimiento uniforme

Pendiente = 0  La velocidad es nula. El móvil está en reposo

Es importante reconocer que aunque la pendiente está relacionada con la inclinación de la recta y por lo tanto con la velocidad del móvil, el ángulo θ no tiene significado particular pues podríamos cambiarlo trazando los datos a diferentes escalas. El ángulo nos ayuda a visualizar  pendientes  solo cuando comparamos líneas en el mismo gráfico o sobre gráficos dibujados a la misma escala.

Si el  carro estuviera descrito por las gráficas anteriores, no tendríamos problema en obtener la velocidad en cualquier intervalo de tiempo; es constante e igual a la pendiente de la línea para cada una de las rectas. En casos reales es mucho más complejo. Por ejemplo, suavicemos nuestra gráfica inicial así tenemos una  representación más real del movimiento del móvil.

Volviendo al análisis de nuestros datos. Este conjunto de puntos los podemos representar por una función x(t), esto permite suavizar nuestra gráfica inicial así tenemos una  representación más real del movimiento del móvil. Esto lo podemos realizar haciendo un ajuste de la curva, la que nos permitirá determinar la coordenada x en cualquier otro instante de tiempo no medido, es decir interpolar o extrapolar la curva. 

Lo primero es tener los datos en la hoja de cálculo de GeoGebra, selecciono  la columnas, en la columna A tengo el tiempo en segundos (s) y en la B la posición en metros (m) y, luego me voy análisis de una variable y selecciono la opción de análisis de regresión de dos variables. Obteniendo el siguiente gráfico.

La curva que más se ajusta al conjunto de datos es un polinomio de cuarto grado, GeoGebra la obtiene continua pero nosotros podemos limitarla al intervalo de tiempo ∆t= tf-ti. Escribiendo la función h(t).

Con esta representación más real del movimiento estudiemos cada uno de los parámetros que lo caracterizan. Empezaremos por el vector de posición en cada instante de tiempo.

Vector de posición

Un vector de posición es un vector que se origina en el origen de un sistema de coordenadas y apunta hacia un punto específico por el ejemplo el centro de masa del automóvil, describiendo así su ubicación en el espacio. Este vector se representa por r y, en términos de las coordenadas cartesianas x, y, z del punto y de los vectores unitarios i, j,y k, se puede indicar en la forma siguiente.

La coordenada x del automóvil es la componente de su vector de posición. 

Desplazamiento

Cuando cambia de posición ocurre un desplazamiento. El desplazamiento es el movimiento que realiza un objeto o cuerpo desde un lugar hasta otro y para que exista siempre debes identificar una posición inicial y una posición final. 

Normalmente, el desplazamiento se expresa en unidades de medida como kilómetros o metros e incluye una dirección que puede ser hacia el norte, sur, este y oeste. Otra de sus características es que puede ser negativo o positivo. Se visualiza como una flecha que apunta desde la posición inicial hasta la final, representando la distancia más corta entre los dos puntos. 

En el ejemplo que venimos analizando el vector desplazamiento estará dado por la diferencia entre el vector de posición final y el vector de posición inicial:

Aquí es muy importante diferenciar entre el concepto de desplazamiento y de distancia recorrida. Observe que el desplazamiento solo depende de la posición inicial y final mientras que la distancia es la longitud de toda la  trayectoria que recorre el móvil.

Para el caso nuestro la distancia recorrida será: 150 m que es la distancia cuando avanza mas (150-2.4)=87.4m que es la distancia que retrocede, dando un total de (150+87.4)m=237.4 m y el desplazamiento es de 56.1m.

Velocidad media y rapidez

La velocidad media es el cambio de posición (desplazamiento) dividido entre el cambio de tiempo, es una magnitud vectorial con dirección y sentido. La rapidez media es la distancia total recorrida dividida entre el tiempo total, es una magnitud escalar (solo tiene un valor). Por lo tanto, aunque ambos conceptos se refieren a la "velocidad promedio" en un sentido amplio, difieren en que la velocidad media considera la dirección y el desplazamiento neto, mientras que la rapidez media considera la distancia total del recorrido.   

El cociente entre el desplazamiento ∆r del móvil y el intervalo de tiempo ∆t en el que se efectúa dicho desplazamiento. Se representa por vm e indica:

donde rf y ri son los vectores de posición que sitúan al móvil en los tiempos tf y ti respectivamente

Para nuestro ejemplo como el movimiento es en una dimensión la velocidad media solo tiene una componente:

Presenta varias propiedades importantes que son:

1.   vm es un vector porque 1/∆t es un escalar y ∆r es un vector; su dirección y sentido son los de ∆r;

2.   ∆r es independiente del origen escogido; mientras que rf  y ri  sí dependen de él;

3.   No indica nada sobre la trayectoria del móvil entre tf y ti.

4.   No se encuentra completamente especificada vm hasta que se conoce perfectamente el intervalo de tiempo en que se considera;

5.   Las dimensiones de vm son longitud/tiempo (L/T);

6.   vm puede ser cero aunque el móvil se mueva continuamente. Todo lo que se necesita es que ∆r sea igual a cero.

Velocidad instantánea

La velocidad media caracteriza cuán rápido un móvil se mueve y la dirección de su movimiento durante un intervalo de tiempo. Ahora definiremos la velocidad, lo que caracteriza cuán rápido se mueve un móvil y la dirección de su movimiento pero en un instante de tiempo. Para enfatizar que la velocidad pertenece a un instante de tiempo, a veces se la denomina velocidad instantánea.

Generalmente la  magnitud de la velocidad media está dada por la longitud de la cuerda  entre dos posiciones del móvil.  Supongamos que se calcula la velocidad media para intervalos de tiempo cada vez menores. En cada cálculo consecutivo, mantenemos ti fijo y seleccionamos un valor de tf cada vez más cercano a ti.  

En la figura puede observarse que a medida que tf se aproxima a ti la pendiente de las sucesivas líneas se aproxima a la pendiente de la linea tangente a la curva en el punto correspondiente a ti . La componente de la velocidad en ese punto se define como la pendiente de dicha línea tangente a la curva x vs t. Esto es, la componente de la velocidad es el valor límite de la componente de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero: 

Cuando ∆t se aproxima a cero, también lo hace ∆x. En el límite, como ambos tienden a cero, su cociente tiende a v.

La pendiente de la línea tangente a la curva en un punto usualmente se denomina  la pendiente (m) de la curva en ese punto. Esta pendiente está dada por la derivada de x con respecto a t:

Ya que v=dx/dt, la pendiente de la gráfica de x frente a t para un instante particular, nos da la componente de la velocidad  en ese instante.

La definición de la componente de la velocidad nos conduce a la definición general de la velocidad v. La velocidad es el valor límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero:

Podemos ver que las pendientes pueden ser positivas, negativas  o nulas

m > 0  La velocidad es positiva. El móvil avanza con movimiento uniforme

m< 0  La velocidad es negativa. El móvil retrocede con movimiento uniforme

m= 0  La velocidad es nula. El móvil está en reposo

Es importante reconocer que aunque la pendiente está relacionada con la inclinación de la recta y por lo tanto con la velocidad del móvil, el ángulo θ no tiene significado particular pues podríamos cambiarlo trazando los datos a diferentes escalas ( que es nuestro caso). El ángulo nos ayuda a visualizar  pendientes  solo cuando comparamos líneas en el mismo gráfico o sobre gráficos dibujados a la misma escala.

Aceleración

La aceleración de un móvil caracteriza lo rápido que cambia su velocidad, tanto en módulo como en dirección. Así pues, la aceleración es el ritmo de cambio de la velocidad. De igual forma que usamos la velocidad media para definir la velocidad, usaremos la aceleración media para definir la aceleración.

Generación y análisis de datos

Tracker tiene:

• La herramienta de ajuste de círculos ajusta círculos a 3 o más puntos, pasos o pistas.

• Definir variables personalizadas para trazar y analizar.

• Agregue columnas de texto editables para comentarios o datos ingresados ​​manualmente.

• La herramienta de análisis de datos incluye un potente ajuste de curvas automático y manual.

• Exportar datos formateados o sin procesar a un archivo de texto delimitado o al portapapeles.

• Muestra los valores medidos utilizando formatos numéricos personalizados si lo deseas.

La velocidad del campero en cada intervalo de tiempo es positiva. Esto significa que, durante el intervalo, la coordenada x aumentó y el auto siempre avanzó en la dirección x.

Si miramos los datos de la velocidad vemos que se parecen mucho y que a simple vista tiene un valor medio de aproximadamente 17,97 m/s. Para saber cuánto es el valor real de esta velocidad lo mejor es hacer una gráfica de la posición x(m) del campero en cada cuadro en función del tiempo, es decir, una gráfica x vs t. 

La curva de la figura no representa la trayectoria del auto; esta es una línea recta más bien, la gráfica es una forma de representar visualmente cómo cambia la posición del auto con el tiempo. Tambien vemos como la pendiente de cada intervalo de tiempo es aproximadamente la misma para las posiciones final e inicial del movimiento.

Para el cálculo de la pendiente,  el algoritmo utilizado por Tracker es que toma dos puntos equidistantes al punto (t,x) donde se quiere obtener la pendiente y ubica la coordenada del tiempo en el punto medio del ∆t.

En el análisis estadístico que realiza Tracker el ajuste lineal y su ecuación esta dada por

 Es muy importante hacer el análisis dimensional de esta ecuacion, de esta forma podemos ver que la pendiente de la recta tiene unidades de velocidad por tanto, representa la velocidad del móvil y el término independiente de esta ecuacion la posición inicial

Aquí calculamos la velocidad para cada intervalo, esto es lo que se conoce como velocidad instantánea. Para mejorar nuestra definición debemos hacer el intervalo temporal tan pequeño como sea posible de modo que esencialmente no tengan lugar cambios en el estado de movimiento durante ese pequeño intervalo. La verdad aquí el intervalo está dado por el tiempo entre cuadros del video es decir lo define la resolución de la cámara utilizada.

La velocidad es un vector y como tal tiene módulo, dirección y sentido. Si cambia cualquiera de estos tres elementos se dice que la velocidad ha cambiado. Es importante la observación que para este ejercicio la velocidad media es igual a la velocidad instantánea pero esto solo se da en movimientos lineales con velocidad constante.

Esto lo podemos ver en un gráfico de velocidad vs tiempo que nos muestra la dispersión de los datos. 

Problemas

• En el siguiente gif tenemos a un ciclista y un carro que se mueven sobre un eje horizontal

Lo primero es llevar todos los datos a gráficos, empezaremos por las distancias

• La velocidad instantánea cambia su módulo de manera uniforme: aumenta o disminuye en la misma cantidad por cada unidad de tiempo. Esto implica el siguiente punto

• La aceleración tangencial es constante. Por ello la aceleración media coincide con la aceleración instantánea

Por ejemplo, un tren que se mueve en una carrilera recta. La simulación desarrollada en Geogebra permite obtener información de la posición y velocidad del tren en intervalos de tiempo fijos. 

Hoja de cálculo de los datos de la simulación

Siempre que se tienen medidas de parámetros físicos que caracterizan el movimiento de un sistema, lo primero que se hace es consignarlos en tablas para organizar y presentar la información. 

Una vez se ha elaborado la tabla se llevan estos datos a un gráfico. El gráfico permite realizar análisis estadísticos y estudios comparativos hasta visualizar la relación matemática o correlación estadística que pueden guardar los parámetros. 

Cálculo de la velocidad instantánea

La velocidad instantánea está dada por:

En el caso que la posición inicial sea diferente de cero la ecuación anterior se escribe como:

Resumen

Habitualmente, el instante inicial ti se toma como cero, quedando las fórmulas del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado como: