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Marco teórico
En esta clase se estudia el caso de un péndulo doble sin fricción, como un ejemplo de un sistema físico que puede exhibir un comportamiento caótico, el sistema consiste en un péndulo simple de longitud l1 y masa m1, del cual cuelga un segundo péndulo de longitud l2 y masa m2. Ambos péndulos se mueven bajo la influencia del campo gravitatorio terrestre en el mismo plano XY.
Existen dos enlaces holónomos que definen la distancia fija entre m1 y O y entre m2 y m1:
Por tanto el sistema tiene dos grados de libertad. Al tratarse de un sistema con enlaces holónomos es posible encontrar un conjunto de 2 coordenadas generalizadas libres. En efecto, podemos considerar para ello los ángulos (θ,𝛃).
Empecemos por situar el punto de referencia (0,0) en el punto de suspensión del primer péndulo. A partir de consideraciones trigonométricas del sistema escribimos las expresiones de cada una de las coordenadas x1, y1, x2, y2 en términos de los ángulos θ, 𝛃 para determinar las posiciones de cada masa m(x1,y1), m(x2,y2).
Una vez se tienen las coordenadas de las masas Empecemos por ubicar los vectores unitarios y calculemos el vector de posición para cada una de ellas.
Si derivamos el vector de posición tendremos la velocidad tangente a la trayectoria del péndulo para m1.
donde tenemos la velocidad tangencial a la trayectoria igual a la velocidad angular por el radio de la circunferencia que describe.
Repitamos el mismo procedimiento para la posición de la segunda masa.
La velocidad estará dada por la derivada del vector posición:
y su módulo al cuadrado será:
Cálculo de las energías cinética y potencial
Cálculo de las energías cinética y potencial
La energía cinética del sistema es
La energía potencial está descrita a partir de las fuerzas que realizan trabajo sobre el sistema y las variaciones de las posiciones de las masas.
Para el sistema del péndulo doble en particular está definida por tres términos, en los cuales uno de esos términos da cuenta del acople de las masas, ya que muestra que el trabajo realizado por la masa m2 dependerá de la variación del ángulo 𝜃 de la masa m1, y los otros dos términos son los trabajos de cada una de las masas variando con sus respectivas coordenadas generalizadas.
Ecuaciones del movimiento
Ecuaciones del movimiento
Vamos a utilizar el formalismo de Lagrange para obtener las ecuaciones diferenciales de movimientos asociadas a los ángulos 𝛉y 𝛃 respectivamente Recordemos que la mecánica lagrangiana es una reformulación de la mecánica clásica usada por Joseph Louis Lagrange en 1788.
En la formulación Lagrangiana, un sistema mecánico conservativo puede ser caracterizado por La función escalar
a partir de la cual se puede obtener la evolución temporal, las leyes de conservación y otras propiedades importantes de un sistema dinámico.
Las trayectorias que dan la evolución temporal de un sistema conservativo son curvas diferenciables, que pueden calcularse a partir de las ecuaciones de Euler-Lagrange:
Sabemos que por cada coordenada generalizada 𝛉 y 𝛃 hay una ecuación diferencial asociada a ella, en este caso se obtiene un par de ecuaciones diferenciales de segundo orden.
Para encontrar estas ecuaciones de movimiento, lo primero es calcular la energía cinética (T) y potencial (V) del sistema para poder obtener la lagrangiana.
Reemplazando las energías en el Lagrangiano L = T -V
Como tenemos dos coordenadas generalizadas
y por tanto dos ecuaciones de Lagrange, que toman la forma
reemplazando en la ecuación (a), tenemos
Repetimos el mismo procedimiento para 𝛃.
y tenemos la segunda ecuación de movimiento
despejando las aceleraciones angulares θ ̈ de las ecuaciones 1 y 2 se tiene:
y utilizando el método de igualación podemos obtener la aceleración angular para el segundo péndulo
reemplazando esta aceleración del segundo péndulo en la ecuación 2a tendremos la aceleración del primer péndulo
Estas ecuaciones diferenciales que resultan ser ordinarias de segundo orden no lineal y acopladas, solo se pueden resolver por métodos numéricos.
Para aplicar el método de Runge Kutta debemos establecer las condiciones iniciales para el problema, donde 𝛉(0) y 𝛃(0) representan el desplazamiento inicial en radianes y 𝛉’(0) y 𝛃’(0) representan la velocidad angular de las masas en un instante de tiempo igual a cero, ahora si, podemos plantear las ecuaciones de movimiento.
El programa de GeoGebra de versión libre permite resolver este par de ecuaciones complejas en forma sencilla a partir de comando muy simples.
Dando como resultado esta hermosa trayectoria de nuestro péndulo.
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