La dinámica del péndulo simple para pequeñas amplitudes es, quizás, uno de los ejemplos más utilizados en la física para describir el movimiento armónico simple. Tanto la parte experimental como la parte teórica son accesibles para los estudiantes en un primer año de carrera universitaria. Sin embargo, el estudio de grandes amplitudes de oscilación es un tema de una mayor complejidad. A pesar de ello, el estudio del péndulo simple y en particular la solución de las ecuaciones diferenciales que describen el movimiento del sistema, proporcionan al estudiante una visión global de un conjunto de técnicas numéricas para resolver problemas lineales (pequeñas amplitudes de oscilación) y no lineales (grandes oscilaciones). Puesto que el conocimiento de diferentes métodos numéricos para la resolución de ecuaciones diferenciales, forma parte del bagaje matemático necesario para diversos campos de las ciencias y la ingeniería, el estudio de un sistema relativamente sencillo, como el péndulo simple, es de interés para aquellos alumnos que pretendan ganar destreza en estas técnicas.

Pequeñas oscilaciones 

En el contexto de un péndulo simple como lo podemos ver en la grafica siguiente, la comparación entre θ (ángulo) y sin(θ) es relevante para entender su movimiento. Para ángulos pequeños (generalmente menores e iguales a 15°), sin(θ) se aproxima muy bien a θ en radianes. Esto permite simplificar la ecuación del movimiento del péndulo y obtener una solución más sencilla.  

Esto significa que la ecuación diferencial anterior se transforma en: 

Entonces la ecuacion de movimiento cuando las oscilaciones de un péndulo son pequeñas se aproximar a un movimiento armónico simple (MAS). Esto significa que la fuerza restauradora (la componente del peso que actúa a lo largo del arco de la trayectoria) es proporcional al desplazamiento angular, cuya solución es:

donde los valores A,B o de C y ϕ dependen de las condiciones iniciales (ángulo y velocidad) del péndulo. A las constantes C y ϕ se les llama amplitud y fase del movimiento, respectivamente.

Volvamos a la ecuacion del pendulo para pequeñas oscilaciones

donde el primer sumando es la energía cinética y el segundo la energía potencial del péndulo simple; esta constante del movimiento coincide con la energía total del péndulo. La existencia de esta constante del movimiento se debe a que en las hipótesis simplificadoras no se ha considerado ningún tipo de disipación.

Esta aproximación simplifica enormemente el análisis del péndulo, permitiendo calcular su período de oscilación de manera sencilla: T = 2π√(L/g). Sin la aproximación.

Para ángulos mayores a 15°, la aproximación sin(θ) ≈ θ deja de ser válida, y el movimiento del péndulo se aleja del MAS. El período de oscilación comienza a depender de la amplitud, y el movimiento se vuelve más complejo.