Algebra vectorial

Estas condiciones de equipolencia permiten a su vez clasificar los vectores equipolentes en tres clases o categorías: 

1. Vectores libres: en este caso, dos o más vectores equipolentes son libres si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido, aunque sus rectas de acción (directrices) sean diferentes.

2. Vectores deslizantes: aquellos vectores equipolentes, que actuando sobre una misma recta directriz, el punto de aplicación sobre la recta puede ser diferente. Reciben esta denominación de "deslizante" porque los vectores pueden deslizar a lo largo de su recta de acción sin cambiar los efectos asociados a la magnitud física que representan.

3. Vectores ligados: en este último caso las condiciones de equipolencia son aún más restrictivas, ya que imponen que los vectores tengan el mismo módulo, mismo sentido y estén aplicados en un mismo punto sobre la misma recta (recta directriz).

• Vectores libres: al conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Es decir, los vectores libres tienen el mismo módulo, dirección y sentido. 

• Vectores coplanares: dos o más vectores son coplanares si se encuentran en un mismo plano.

• Vectores concurrentes: vectores concurrentes son aquellos que tienen el mismo origen. Por tanto, los vectores concurrentes se caracterizan porque sus rectas de acción se cortan en un mismo punto, que coincide con el origen de aplicación de todos ellos.

• Vectores unitarios: los vectores se dicen unitarios si su módulo vale la unidad, es decir, si tenemos un vector P

Se le denominan cosenos directores de un vector P a los cosenos de los ángulos que forman dicho vector con cada uno con los ejes coordenados; estos determinan su dirección a lo largo de cada eje. En un plano tridimensional se representan como:

Operaciones con vectores

Se pueden realizar las siguientes operaciones con vectores:

1. Suma de vectores

2. Resta de vectores

3. Multiplicación de vectores

   1. Producto de un vector por un escalar

   2. Producto escalar

   3. Producto vectorial

   4. Producto mixto

Dos vectores pueden sumarse solamente si son de la misma naturaleza física. Así por ejemplo, no podemos sumar un vector de desplazamiento a un vector velocidad, ni cualquiera de ellos a un vector fuerza. 

Si se suman dos magnitudes escalares, basta con sumar sus valores numéricos. Por el contrario, para sumar dos magnitudes vectoriales el proceso es más complejo, pues debemos de tener en cuenta dirección y sentido.

Vamos a empezar sumando dos vectores en el plano, tanto gráficamente como numéricamente. 

Existen 3 maneras para sumarlos de manera gráfica: 

1. Método del paralelogramo, 

2. Método cabeza con cola y 

3. Método del polígono. 

Método del paralelogramo

El método del paralelogramo es un procedimiento gráfico sencillo que permite hallar la suma de dos vectores concurrentes de manera muy simple. Los pasos que se deben seguir para aplicar este proceso son:

• En primer lugar, trasladamos todos los vectores al punto de concurrencia.

• Después dibujamos en el extremo de un vector una recta paralela al otro vector. Y repetimos el paso con el otro vector. De manera que obtendremos el dibujo de un paralelogramo (de ahí viene el nombre de la regla).

• El vector suma resultante R será la diagonal del paralelogramo con origen común a los dos vectores originales.

Ejemplo: Sumar los vectores A y B

Lo primero es trasladar el vector A al punto de aplicación común O.

Podemos llevar todas las colas de los vectores al punto de concurrencia

Método cabeza cola

El método conocido como cabeza y cola es una variación del método del paralelogramo, consiste en colocar los vectores a sumar uno a continuación del otro, siempre la cabeza de un vector estará unida a la cola del siguiente; así, el vector resultante R̄ se traza uniendo la cola del primer vector con la cabeza del último vector. 

Tomemos el siguiente ejemplo 

con una regla podemos medir directamente la magnitud del vector resultante para nuestro caso es R=11,7u.

Método del polígono

Suma de vectores por el método algebraico

Veámoslo dibujando los vectores. Para obtener la magnitud del vector resultante R, lo primero es llevar las colas de los vectores a un punto común y, luego descomponemos los vectores A y B para agruparlos de acuerdo a su dirección.

Conociendo las componentes cartesianas de los vectores a sumar, el vector resultante tendrá como componentes cartesianos la suma, eje a eje, de cada vector.

Si queremos sumar dos vectores en 3D y conocemos sus componentes, las componentes del vector suma, aplicando el mismo procedimiento, sería:

R(4.13, 2.75, -0.77) serían las coordenadas x, y, z del extremo del vector suma.