Colisión entre dos péndulos

La colisión de dos péndulos de igual longitud perfectamente alineados es un ejemplo de choque frontal de corta duración que implican un intercambio de momento lineal y de la energía cinética. 

En cualquier tipo de colisión, el momento lineal total del sistema se conserva, siempre y cuando no actúen fuerzas externas significativas durante el evento.

Colisiones elásticas 

Veamos el siguiente esquema grafico general que describe una colisión entre dos péndulos que involucra la transferencia de energía y momento lineal. Aquí no nos interesa por el momento lo qué ocurre durante la colisión, sino la relación entre el estado de las esferas antes y después de la colisión. 

Empezaremos por estudiar la colisión elástica donde se conservan el momento lineal como la energía cinética, siempre y cuando los péndulos chocan de frente (ángulo de impacto 0∘), por tanto la colisión es puramente unidimensional.

Al ser las velocidades inmediatamente antes y después de la colisión puramente horizontales, podemos escribir la conservación de la cantidad de movimiento en forma escalar, considerando sólo la componente horizontal. 

•En la ecuación (a) de energía cinética Simplificamos el factor (1/2) y sacando factor común las masas tenemos:

•Descomponiendo en factores a ambos lados de la ecuación.

•Separando los términos que contienen m1 y m2 en la ecuación de conservación de momento.

Dividiendo las dos ecuaciones

tenemos:

La velocidad relativa de los dos péndulos antes de la colisión es igual a la velocidad relativa de los dos péndulos después de la colisión, pero con signo negativo.

Por ultimo de las dos ecuaciones siguientes podemos obtener las velocidades finales de cada péndulo.

Simulación de la  colisión elastica entre dos péndulos

Una colisión elástica entre dos péndulos es un sistema dinámico acoplado. La solución requiere resolver un sistema de ecuaciones diferenciales para ambos péndulos simultáneamente. El método de Runge-Kutta 4 es capaz de manejar sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden (lo cual se puede lograr convirtiendo el problema de segundo orden en uno de primer orden). 

Para ángulos grandes, la aproximación lineal sin(𝜃)≈𝜃 no es válida. La ecuación diferencial del péndulo se vuelve no lineal y más compleja. El método de Runge-Kutta 4, al no basarse en linealizaciones, es intrínsecamente capaz de manejar estas no linealidades y aproximar la solución para ángulos grandes.

Pasos para usar Runge-Kutta 4 en la simulación

1. Formular las ecuaciones de movimiento: Primero, debes derivar las ecuaciones de movimiento para cada péndulo sin usar la aproximación de ángulo pequeño. La segunda ley de Newton o la formulación lagrangiana te darán un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden para cada péndulo. Estas ecuaciones se pueden reescribir como un sistema de ecuaciones de primer orden para ser usadas en Runge-Kutta.

2. Modelar la colisión:

   1. La colisión elástica en sí misma es un evento instantáneo donde se conservan el momento lineal y la energía cinética total del sistema.

   2. Las velocidades de los péndulos cambian abruptamente durante el choque, por lo que Runge-Kutta 4 no se aplica durante el instante de la colisión.

   3. Deberás usar las leyes de conservación para calcular las nuevas velocidades de los péndulos inmediatamente después del choque, basándote en las velocidades justo antes de este.

3. Como implementar Runge-Kutta:

   1. Antes de la colisión: Usa el método de Runge-Kutta para resolver las ecuaciones de movimiento del primer péndulo que está en movimiento, hasta el momento del impacto.

   2. Durante la colisión: Aplica las leyes de conservación para determinar las velocidades iniciales de ambos péndulos inmediatamente después del choque.

   3. Después de la colisión: Vuelve a usar el método de Runge-Kutta con las nuevas condiciones iniciales (velocidades pos-colisión) para simular el movimiento de ambos péndulos tras el impacto. 

En resumen, Runge-Kutta es una excelente opción para simular la trayectoria de los péndulos con grandes oscilaciones, pero no se aplica directamente al instante del choque. Se utiliza para modelar el movimiento antes y después del evento instantáneo de la colisión elástica.

Es importante considerar los dos péndulos y la colisión como un único sistema dinámico. Aunque la colisión en sí sea elástica (se conserva la energía cinética en el momento del impacto), la dinámica posterior no se puede predecir fácilmente. La interacción repetida y la dependencia de la no linealidad de la oscilación con grandes ángulos hacen que el sistema en su conjunto exhiba comportamiento caótico. 

Para evitar estos problemas vamos a limitar el ángulo inicial a 40°.

Colisión en un choque frontal cuando uno de los péndulos esta en reposo.

Se pueden dar los siguientes casos:

1. Péndulos de masas iguales en choque elástico: Si las masas son iguales y el choque es elástico, el primer péndulo (el que cae) se detiene por completo y el segundo péndulo sale con la misma velocidad que tenía el primero justo antes de la colisión. Es el principio fundamental del efecto de la cuna de Newton. 

2. Péndulos de masas diferentes en choque elástico: En este caso, los péndulos intercambian velocidades de una manera diferente. Si el primer péndulo es mucho más masivo, puede pasar parte de su momento y energía al segundo, pero el primero seguirá moviéndose con una velocidad reducida. Si el segundo es mucho más masivo, el primero podría detenerse, y el segundo se movería con una velocidad menor a la del primero antes del choque. Se puede calcular la velocidad de cada péndulo después del choque si se conocen sus masas y el ángulo inicial. 

Caso 1: Colisión con masas idénticas m1 > m2 )

Cuando se deja caer la masa m1 desciende y, golpea horizontalmente a la masa m2 que se encuentra en reposo, como resultado de la colisión, ambas adquieren una nueva velocidad.

Como la masa del proyectil es mayor que la del blanco las dos masas ascienden del mismo lado.

Al ser las velocidades inmediatamente antes y después de la colisión puramente horizontales, podemos escribir la conservación de la cantidad de movimiento en forma escalar, considerando sólo la componente horizontal:

¿Qué sucede después del impacto?. 

Debido a que el choque es elástico existe conservación de energía por tanto, hay intercambio de energía cinética entre las masas obteniendo cada una una velocidad de partida vf1y vf2, esto hace que cada masa llegue a una altura h1f y h2f  cuando toda la energía cinética se convierte en energía potencial. 

Caso 3: Colisión cuando m1 < m2