Fonctions linéaires et proportionnalité
(et les pourcentages)

I. Fonctions linéaires:

1) Tableau de proportionnalité:

Définition:
Etant donné un nombre a, on définit une fonction linéaire f, lorsqu'à tout nombre x, on associe a × x, on note:  f : x → a x, le nombre a s'appelle le coefficient de linéarité de la fonction f.

Dans l'exemple précédent, la fonction f associée au tableau de proportionnalité est
f : x →  4,5 x.

2. Déterminer une fonction linéaire:
Une fonction linéaire est déterminée dès que l'on connaît un nombre (non nul) et son image.

Exemple: soit f la fonction linéaire telle que f(-4) = 56.
Le coefficient de linéarité est 56/(-4) = -13,5.
La fonction linéaire est f: x → -13,5 x
ou f(x) =-13,5 x.

3) Pourcentages et fonctions linéaires:

Augmenter un nombre de n%, c'est le multiplier par 1 + n/100.

Diminuer un nombre de n%, c'est le multiplier par 1 - n/100.

Cela permettra de:

a) Trouver le prix final:
Exemple: Un prix de 35 euros subit une hausse de 15%,
le nouveau prix, le prix final sera:
35 × (1 + 15/100 ) = 35 × 1,15 = 40,25 euros.

b) Trouver le prix initial:
Exemple: Après avoir subi une baisse de 15%, le prix
final est de 50 euros. Quel était le prix initial ?

Soit x le prix initial (en euros).
Comme ce prix a subi une baisse de 15%, il a été multiplié par
1- 15/100 = 1 - 0,15 = 0,85.
Ainsi, 0,85 x = 50 euros
En divisant par 0,85 les deux membres de l'équation:
x = 50/0,85 ≈  58,82 euros (arrondi au centime près).
Le prix initial était d'environ 58,85 euros (arrondi au centime près).

c) Trouver le pourcentage de variation:
Exemple: le prix d'un objet passe de 35 euros à 52 euros.
Quel est le pourcentage de hausse de cet objet ?

Cherchons le nombre k tel que :
35 euros × k = 52 euros.
k = 52 euros / 35 euros ≈ 1,4857 (arrondi au dix millième près).
Or, multiplier un nombre par 1,4857 environ, c'est le multiplier par
(1 + 48,57/100 ), c'est donc lui faire subir une hausse d'environ 48,57 %
(arrondi au centième de pourcent près).

d) Trouver le pourcentage de variation après deux variations successives:
1er exemple: 

Un prix subit une baisse de 10% puis une hausse de 10%.
Quel est le pourcentage de hausse (ou de baisse) entre le prix initial et le prix final ?

Soit x le prix initial (en euros).
Après avoir subi une baisse de 10%, le prix intermédiaire est :
x × (1 + 10/100 ) = x × (1+0,1) = x× 1,1= 1,1 x.
Après avoir subi une hausse de 10%, le prix final est:
1,1 x × (1 - 10/100) = 1,1 x × (1-0,1) = 1,1 x × 0,9 .
Or, dans une multiplication, l'ordre des facteurs n'a pas d'importance:
1,1 x × 0,9 = 1,1 × 0,9 × x   =  0,99  x = (1 - 1/100) x.
Le prix a baissé de 1%.

2ème exemple:

II. Représentation graphique d'une fonction linéaire:
Propriété 1:
La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine du repère.

Plus précisément, la représentation graphique d'une fonction linéaire de coefficient a est la droite passant par l'origine du repère et par le pont A (1;a).

Propriété 2:
Toute droite passant par l'origine du repère et non confondue avec l'axe des ordonnées est la représentation graphique d'une fonction  linéaire.

Exemple: déterminer le coefficient de linéarité d'une fonction linéaire grâce à sa représentation graphique:
cette droite (non confondues avec l'axes des ordonnées) est la représentation graphique de la fonction f: x→2x

Pour tracer la représentation graphique d'une fonction linéaire, il suffit de déterminer
deux points de cette droite.
Comme cette droite passe par l'origine du repère, il suffit de déterminer un deuxième point de la droite.

Exemple:
Déterminer la représentation graphique de la fonction f: x→3x.

Au brevet: