Notion de fonctions.

I. Définition et notations:

1. Définition:
   Une fonction est un processus qui à un nombre associe un unique nombre.

Exemple:
Le périmètre P d'un carré de côté x cm.
Pour un côté de x cm,  la fonction P fait correspondre son périmètre 4 x cm, on note:
P : x  →  4x
P : 3  →  4×3 = 12 cm
Le périmètre d'un carré de côté 3 cm est 4×3 = 12 cm,
on note P(3) = 12 cm, on dit que l'image de 3 cm par la fonction P est 12 cm.
Un antécédent de 28 cm par la fonction P est 7 cm car P(7) = 4×7 = 28 cm.

II. Détermination d'une fonction:
Une fonction peut être déterminée par :
- une formule littérale.
- une représentation graphique.
- un tableau de valeurs.

1.Formule littérale:
Exemple: f: x → 4x² - 5 ou f(x) = 4x² - 5.

Calculons l'image de 3:
f : 3 → 4 × 3² - 5
ou f(3) = 4 × 3² - 5= 4×9 - 5 = 36 - 5 = 31.

Calculons un antécédent de -2 :
Soit x le nombre cherché, il faut que f(x) = -2,
or f(x) = 4 × x² - 5 = -2.
en ajoutant 5 aux deux membres de l'équation:
4 × x² = -2 + 5 = 3

en divisant par 4 les deux membres de l'équation:
x² = ¾

x= √(¾)   ou  x = -√(¾).

Pour lire l'image de (-2) :
On se place au point d'abscisse (-2) et on lit l'ordonnée correspondante:
h(-2) = 2.
L'image de -2 par la fonction h est 2.

Pour lire les antécédents de 3:
On se place au point d'ordonnée 3 et on lit les abscisses correspondantes, il y a 1, 9 et un nombre compris entre -2 et -3, approximativement -2,5.
h(-2,5) = h(1) = h(9) = 3, les antécédents de 3 par la fonction h sont 1 et 9 et -2,5.

Remarque:
Un nombre peut avoir aucun antécédent, un, plusieurs ou même une infinité de nombres.
Mais d'après la définition d'une fonction, un nombre ne peut avoir qu'une seule image.

3) Avec un tableau de valeurs:
Exemple:
Le tableau de valeurs suivant donne la hauteur (en m) d'un ballon de basket lors d'un lancer franc en fonction du temps (en s) :

Avec ce tableau de valeurs, on peut représenter graphiquement la fonction: