Développer et factoriser une expression littérale

I. Simple distributivité:
Pour tous les nombres k, a et b:
k×(a+b) = k× a + k×b
k×(a-b) = k× a - k×b.

Exemples:
5(x+3) = 5x +15.
7 (x-8) = 7x - 56
-(2x-3) = (-1) (2x-3)= -2x+3.
Remarque : Multiplier par (-1) une parenthèse revient à ajouter l'opposé de tous les nombres à l'intérieur de la parenthèse.

II. Double distributivité:
Pour tous les nombres a, b, c et d, nous avons
(a+b) × (c+d) = a × c + a × d + b × c + b × d.

Exemples:
(5x-6) (2x-1)= 10 x² - 5 x - 12 x + 6
                    = 10 x² - 17 x + 6.

(3 x - 7) = ( 3 x  - 7 ) ( 3 x  -7 )
            = 9x²  - 21 x - 21 x + 49
          = 9x² - 42 x +49

III. Factoriser:
1) Définition:
Factoriser c'est transformer une somme (ou une différence) en un produit.

Pour l'instant, on  utilise:
k× a +  k×b  = k× a + k×b.

ou   k× a - k×b  = k× a - k×b.

2) Factoriser avec un terme commun.
Exemples:
3 x + 21 = 3 x + 3 × 7 = 3 × ( x + 7).
49 - 7 x = 7 × 7 - 7 × x = 7 × ( 7 - x ).
( x + 3 ) ( 2 x + 7 ) + ( x + 3 ) ( 8 - 3 x ) = ( x + 3 ) ( 2 x + 7 + 8 - 3 x ) = ( x + 3 ) ( - x + 15 ).

Remarque : si les termes communs sont cachés, il faut les faire apparaître:
Exemple: Factoriser ( 2 x + 4 ) ( x + 7 ) + ( x + 2 ) ( 3 x - 4 ).
= 2 ( x + 2) ( x + 7) + ( x + 2 ) ( 3 x - 4 )
= ( x + 2 ) [ 2 ( x + 7) + ( 3 x - 4) ]
= ( x + 2 ) [ 2 x + 14 + 3 x - 4 ]
= ( x + 2) ( 5 x + 10)

4. Factoriser avec l'identité remarquable : a² - b²: 

Pour tous les nombres a et b:  ( a + b) ( a - b ) = a² - b² 

IV. Programmes de calculs et calcul littéral:

Au brevet :

Carte mentale: le calcul littéral: