Développer et factoriser une expression littérale

I. Simple distributivité:
Pour tous les nombres k, a et b:
k×(a+b) = k× a + k×b
k×(a-b) = k× a - k×b.

Exemples:
5(x+3) = 5x +15.
7 (x-8) = 7x - 56
5 -(2x-3) = 5 + (-1) (2x-3)= 5 -2x+3= -2x + 8
Remarque : Multiplier par (-1) une parenthèse revient à ajouter l'opposé de tous les nombres à l'intérieur de la parenthèse.

Utiliser la simple distributivité (CoopMaths)

II. Double distributivité:
Pour tous les nombres a, b, c et d, nous avons
(a+b) × (c+d) = a × c + a × d + b × c + b × d.

Exemples:
(5x-6) (2x-1)= 10 x² - 5 x - 12 x + 6
= 10 x² - 17 x + 6.

(3 x - 7)² = ( 3 x - 7 ) ( 3 x -7 )
= 9x² - 21 x - 21 x + 49
= 9x² - 42 x +49

Remarque: pour prouver une égalité de deux expressions pour tous les nombres x, on développe et réduit les deux expressions séparément pour voir si elles sont égales.
Prouver que pour tout x, on a (2x+1)² - 4 = (2x+3) (2x-1).
D'une part: (2x+1)² - 4 = 4x² + 2x + 2x + 1 - 4 = 4x² - 4x - 3.
D'autre part: (2x+3) (2x-1) = 4x² - 2x + 6x - 3 = 4x² + 4x - 3.
Ainsi, pour tout nombre x: (2x+1)² - 4 = (2x+3) (2x-1).

Utiliser la double distributivité (CoopMaths)

Utiliser le calcul littéral et la distributivité (simple et double) pour établir une égalité:

III. Factoriser:
1) Définition:
Factoriser c'est transformer une somme (ou une différence) en un produit.

Pour l'instant, on utilise:
k× a + k×b = k× a + k×b.

ou k× a - k×b = k× a - k×b.

2) Factoriser avec un terme commun.
Exemples:
3 x + 21 = 3 x + 3 × 7 = 3 × ( x + 7).
49 - 7 x = 7 × 7 - 7 × x = 7 × ( 7 - x ).
( x + 3 ) ( 2 x + 7 ) + ( x + 3 ) ( 8 - 3 x ) = ( x + 3 ) ( 2 x + 7 + 8 - 3 x ) = ( x + 3 ) ( - x + 15 ).

Remarque : si les termes communs sont cachés, il faut les faire apparaître:
Exemple: Factoriser ( 2 x + 4 ) ( x + 7 ) + ( x + 2 ) ( 3 x - 4 ).
= 2 ( x + 2) ( x + 7) + ( x + 2 ) ( 3 x - 4 )
= ( x + 2 ) [ 2 ( x + 7) + ( 3 x - 4) ]
= ( x + 2 ) [ 2 x + 14 + 3 x - 4 ]
= ( x + 2) ( 5 x + 10)