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I. Rappels : symétries, translations, rotations:
1. Symétrie axiale:
Deux points M et M' sont symétriques par rapport à une droite (d) si :
- [MM'] est perpendiculaire à (d)
- la droite (d) coupe le segment [MM'] en son milieu
Autrement dit, M et M' sont symétriques par rapport à une droite (d) si (d) est la médiatrice du segment [MM'].
Remarque: Transformer une figure par une symétrie axiale, c'est créer l'image de cette figure par pliage le long de l'axe.
Construction de la symétrie d'un rectangle par une symétrie axiale (avec l'équerre):
Construction de la symétrie d'un rectangle par rapport à une droite (avec le compas)
Propriétés de la symétrie axiale:
2. Symétrie centrale:
Deux points M et M' sont symétrique par rapport à un point O si O est le milieu du segment [MM'].
Remarque:
Transformer une figure par une symétrie centrale, c'est créer l'image de cette figure par
un demi-tour autour du centre.
Symétrie d'une figure par une symétrie centrale (avec des carreaux ou du papier pointé):
Image d'une figure par une symétrie centrale (sans carreaux):
3) Translation:
Le point M' est l'image d'un point M par la translation qui transforme un point A en un point B si le quadrilatère MM'BA est un parallélogramme.
Remarque:
Transformer une figure par une translation, c'est créer l'image de cette figure par rapport à un glissement d'un point à un autre point.
Remarque:
Transformer une figure par rotation, c'est créer l'image de cette figure par une rotation autour du centre suivant un angle donné et dans un sens donné.
Image d'une figure avec un quadrillage (avec des carreaux):
Remarque:
Une rotation de centre 0, d'angle 180° et quel que soit le sens est une symétrie de centre O.
II. Homothétie:
1) Homothétie de rapport positif:
M' est l'image d'un point M par l'homothétie de centre O et de rapport k (k>0) signifie que:
O, M, M' sont alignés.
M et M' sont du même coté par rapport à O, donc M appartient à [OM'] ou M' appartient à [OM].
OM' = k OM.
Remarque:
Si k>1, alors l'homothétie correspond à un agrandissement.
Si 0<k<1, alors l'homothétie correspond à une réduction.
2) Homothétie de rapport négatif.
M' est l'image d'un point M par l'homothétie de centre O et de rapport k (k<0) signifie que:
O, M, M' sont alignés.
M et M' ne sont pas du même coté par rapport à O, donc O appartient à [MM']
OM' = (-k) OM.
Remarque:
Pour calculer l'aire (ou le volume) de l'image d'une figure par une homothétie de rapport k, il faut multiplier l'aire (ou le volume) initial par k² (k³).
Exemple:
Si un triangle a une aire de 12 cm², son image par une homothétie de centre O et de rapport 5 a pour aire : 12 cm² × 5² = 12 cm² × 25 = 300 cm².
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