Arithmétiques: nombres premiers et décomposition d'un nombre entier en produit de facteurs premiers

I. Multiples, diviseurs:
1) Division euclidienne:
Effectuer la division euclidienne d'un nombre entier a par un nombre entier b non nul, c'est trouver le quotient q et le reste r tels que:
a = b × q + r avec r<b.

Exemple: 

2) Multiples et diviseurs: 

Un nombre entier a est un multiple d'un nombre entier b non nul si le reste de la division euclidienne de a par b est nul, est égal à zéro.

Exemple:
56 est un multiple de 8 car 8 × 7 = 56.
On dit aussi que 8 est un diviseur de 56 ou que 56 est divisible par 8.

 II. Nombres premiers:
1) Définition:
Un nombre entier est premier s'il admet exactement deux diviseurs distincts: 1 et lui-même.

Exemple: 2,3,5 et 7 sont des nombres premiers.

2) Comment savoir si un nombre entier est un nombre premier ?
Critère de primalité(admis):
Soit n un nombre entier (n≥2), si n n'est divisible par aucun nombre premier inférieur à √n alors n est premier.

III. Décomposition d'un nombre entier en produits de facteurs premiers:
1) Propriété:
Tout nombre entier (supérieur ou égal à 2) se décompose en produit de facteurs premiers, cette décomposition est unique (à l'ordre près).

Exemple:
324 = 2 × 162.
324 = 2 × 2 × 81
324 = 2 × 2 × 9 × 9
324 =2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3.
ou 324=2² × 3⁴

2) Applications:
a) Le P.G.C.D.:
Le P.G.C.D. de deux nombres entiers est le plus grand commun diviseur de ces deux nombres.
Pour le déterminer, on peut faire la liste de tous les diviseurs ou utiliser la décomposition en produits de facteurs communs.

Exemple: déterminer le P.G.C.D. de 126 et de 198:
126 = 2 × 3 × 3 × 7
198 = 2 × 3 × 3 × 11
Le PGCD de 126 et de 198 est 2 × 3 × 3 = 18.

Le P.G.C.D. est utile pour:
1) Rendre une fraction irréductible:
Lorsqu'on divise le numérateur et le dénominateur d'une fraction par leur P.G.C.D. alors la fraction obtenue est irréductible.

  2) Résoudre des problèmes:
Exemple 1 :
Un fleuriste souhaite répartir 84 marguerites et 48 roses dans des bouquets identiques.
Quel est le nombre maximum de bouquets?

Il faut trouver le plus grand diviseur commun de 84 et de 48.
On décompose ces deux nombres en produits de facteurs premiers:
84 = 2 × 42 48 = 2 × 24
84 = 2 × 2 × 21 48 = 2 × 2 × 12
84 = 2 × 2 × 3 × 7 48 = 2 × 2 × 2 × 6
84 = 2 × 2 × 3 × 7 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3
Le PGCD de 84 et de 48 est donc 2 × 2 × 3 = 12.
Le nombre maximum de bouquets est 12, chaque bouquet est composé de 7 marguerites et de 4 roses.

Exemple 2 :
Un ouvrier dispose de plaques de métal de 110 cm de longueur et de 88 cm de largeur.
Il a reçu la consigne suivante : « Découpe dans ces plaques des carrés tous identiques, dont les longueurs des côtés sont un nombre entier de cm, et de façon à ne pas avoir de perte. »
1) Quelle sera la longueur du côté d’un carré ?
2) Combien y aura-t-il de carrés par plaque ?

b) Le P.P.C.M.:
La décomposition en produits de facteurs premiers de deux nombres entiers permet également de déterminer le plus petit multiple commun de ces deux nombres.

Exemple:
Déterminer le P.P.C.M. de 12 et de 18

Le PPCM de deux nombres entiers est utile pour:
1) Les engrenages:
Exemple:  une roue d'engrenage A a 12 dents est en contact avec une roue B de 18 dents.
Au bout de combien de tours, les deux roues seront-elles de nouveau et pour la première fois
dans la position initiale ?

En utilisant la décomposition en produit de facteurs premiers: 

2) Résoudre des problèmes:
Exemple 1 :
Deux cyclistes roulent dans le même sens sur une piste.
Le premier A fait un tour en 1 minute et 45 secondes, le deuxième B fait un tour en 1 minute et 36 secondes.
Sachant qu'ils sont partis ensemble de la ligne de départ, après combien de tours franchiront - ils à nouveau pour la première fois ensemble cette ligne de départ ?
Combien de tours de piste chacun d'eux aura-t-il effectués ?

1 minute 45 s = 105 secondes et 1 min 36 s = 96 secondes.
En décomposant 105 et 96 en produits de facteurs premiers.

Exemple 2 : exercice de synthèse du chapitre :
Les spectateurs d'un festival de musique sont entre 500 et 1000.
Lorsqu'ils se partagent en groupe de 24, en groupe de 20 ou en groupe de 18, il en reste 9 à chaque fois. Quel est le nombre de spectateurs ?

Carte mentale: P.G.C.D.:

Divers :  Utiliser la décomposition en produits de facteurs premiers pour déterminer le nombre de diviseurs d'un nombre entier et la liste des diviseurs: