Qual é o tamanho do infinito? Parte 1
Infinito, do dicionário, aquilo que não tem limite; imenso; incalculável; imensurável. Mas se é imensurável, como podemos calcular o seu tamanho? Essa é uma questão que tem há muito incomodado a humanidade. Desde os filósofos da Grécia antiga até os pioneiros do cálculo, não estava claro se o infinito podia sequer ser considerado um número. Apenas, no final do século 19, os matemáticos alemães Georg Cantor e Richard Dedekind começaram a colocar um pouco de ordem na casa, com o estudo sistemático da teoria dos conjuntos.
Cardinalidade
A cardinalidade de um conjunto S é uma medida do número de elementos de S. Para conjuntos com um número finito de elementos, a cardinalidade corresponde simplesmente ao número de elementos daquele conjunto.
Por exemplo, seja S o conjunto dos sólidos platônicos, a cardinalidade de S é 5, pois S contém exatamente 5 elementos (figura 1). Mas como podemos estender esse conceito para conjuntos que têm um número infinito de elementos, como os naturais, os inteiros, os racionais, os reais e os complexos?
Uma saída é comparar diretamente dois conjuntos para saber qual deles é maior. Isso pode ser feito construindo funções que relacionam os elementos desses conjuntos. Por concreteza, sejam X e Y dois conjuntos e considere uma função f: X → Y.
Se essa função for injetora, ou seja, se para cada elemento x do conjunto X conseguirmos associar por f um único elemento y de Y, ou em matematiquês, f(x) = y e x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2), para quaisquer x1 e x2 de X, dizemos que Y é pelo menos tão grande quanto X, ou que a cardinalidade de X é menor ou igual à cardinalidade de Y.
Testemos essa noção com dois conjuntos finitos: X ={1,2,3} e Y={a,b,c,d,e}. Claramente, podemos construir a seguinte função injetora, f: X→Y, tal que f(1)=a, f(2)=c, f(3)=e. Consequentemente, concluímos que a cardinalidade de X é menor ou igual que a de Y, o que corresponde à nossa noção inicial pois X tem 3 elementos e Y, 5. Note que não há nenhum problema em b e d não serem a imagem de nenhum elemento de X, uma vez que exigimos apenas injetividade e não sobrejetividade.
Vejamos o que acontece se além da injetividade exigirmos também a sobrejetividade do mapa f: X → Y. Um mapa sobrejetor é aquele para o qual todo elemento de Y é a imagem de um elemento de X, em matematiquês, para qualquer y de Y existe um x de X tal que y = f(x). Uma função que é simultaneamente injetora e sobrejetora é dita bijetora e permite que associemos a todo elemento x de X um único elemento y de Y e vice-versa. Quando conseguimos estabelecer uma bijeção entre X e Y, podemos afirmar que esses conjuntos têm o mesmo número de elementos (independente de quantos) e, por isso, a mesma cardinalidade.
Por exemplo, podemos mostrar que os números naturais N = {1,2,3,4,5,....} tem a mesma cardinalidade que os números pares P = {2,4,6,8,10,...} a partir da seguinte bijeção (figura 2):
f: N → P, f(n)=2n
