Ardaplanismo - Não é uma questão de opinião!

Você sabia que a Terra Média pode te ajudar a entender geometria não euclidiana?

Quando Eru Ilúvatar cantou a música dos Ainur, ele criou Arda para ser a morada de seus filhos. Arda era, originalmente, plana como um disco. Contudo, no ano 3319 da Segunda Era, quando o rei numenoriano Ar-Pharazôn, sob a influência de Sauron, atacou Valinor, os Valar suplicaram pela ajuda de Eru. Ilúvatar prontamente respondeu criando uma fenda entre Númenor e Valinor, tragando tanto a frota de Ar-Pharazôn quanto o seu reino. Consequentemente, o mundo plano dobrou-se sobre si mesmo, fechando-se na fenda, agora, sob a forma de uma esfera. Simultaneamente, Aman e Tol Eressëa foram removidas dos Círculos do Mundo, tornando-se acessíveis somente pela Estrada Direita, caminho conhecido apenas pelos elfos (figura 1).

Figura 1: A transfor-mação sofrida por Arda com a Queda de Númenor.

Mas, temos como saber se, após a Queda de Númenor, a Terra Média deixou realmente de ser plana?

Infelizmente, não podemos simplesmente lançar um foguete e tirar uma foto de Arda à distância para saber se ela é um disco ou um plano. Logo, temos que encontrar um jeito de descobrir sua geometria apenas a partir de suas propriedades intrínsecas, ou seja, aquelas que podemos medir sem precisar de um foguete. De uma forma mais matemática, queremos descrever a geometria de uma superfície bidimensional, ou seja, saber se ela é plana ou curvada, sem precisar usar a sua imersão em espaços tridimensionais.

O matemático alemão Carl Friedrich Gauss foi um dos pioneiros nos estudos das chamadas geometrias não-euclidianas, isto é, aquelas que abrem mão do quinto postulado de Euclides. Também conhecido como o postulado das paralelas (figura 2), que afirma:

“É verdade que, se uma reta ao cortar duas outras, forma ângulos internos, no mesmo lado, cuja soma é menor do que dois ângulos retos, então as duas retas, se continuadas, encontrar-se-ão no lado onde estão os ângulos cuja soma é menor do que dois ângulos retos”.

Figura 2: Se a soma dos ângulos internos 𝛼 e 𝛽 for menor do que 180o, as duas retas, se prolongadas indefinidamente, necessariamente se interceptam.

Tal postulado foi por muito tempo considerado óbvio e, por conseguinte, dispensável, tanto que diversos matemáticos tentaram demonstrá-lo como uma consequência dos demais axiomas propostos por Euclides. Entretanto, essas tentativas no máximo conseguiram encontrar formulações equivalentes como, por exemplo:

"Existe uma única reta que pode ser traçada paralela a uma dada reta e que passe sobre um ponto externo."

"A soma dos ângulos em todos os triângulos é de 180o."

Com a dificuldade em demonstrar o quinto postulado de Euclides a partir dos demais axiomas, os matemáticos começaram a tentar modificá-lo, com a esperança de encontrar contradições que indicassem a sua independência lógica (ou não). Surpreendentemente, eles encontraram novas geometrias consistentes, que satisfaziam todos os postulados de Euclides exceto o quinto. Nasciam, então, as chamadas geometrias não-euclidianas. Nelas, por exemplo, a soma dos ângulos de um triângulo pode ser maior ou menor do que 180o.

Gauss percebeu que uma das propriedades intrínsecas essenciais de uma superfície é a sua métrica, d(x,y). Trata-se de uma função que, dados dois pontos, x e y, sobre uma superfície, determina a sua distância através do menor caminho sobre a superfície a conectá-los. Por exemplo, um cilindro ou um plano possuem as mesmas propriedades intrínsecas locais que um plano, ao passo que uma esfera, não. Um jeito intuitivo de entender esses fatos consiste em tentar obter tais figuras ao enrolar uma folha de papel sem a rasgar, ou seja, sem alterar as relações de distância entre os pontos.

Para ilustrar como podemos explorar as propriedades intrínsecas de uma superfície bidimensional M imersa em R3 estudando a sua métrica, consideramos 4 distintos pontos x1, x2, x3, x4 sobre M. Esses pontos formam um tetraedro, cuja área pode ser calculada a partir das distâncias dij = || xi - xj ||, 1 ≤ i, j ≤ 4, entre tais pontos a partir da seguinte generalização da forma de Herão:

288 V2 = 𝜟CM(dij),

em que V é o volume do tetraedro e 𝜟CM(dij) é a determinante de Cayley-Menger, a seguir:

Reciprocamente, dados seis números positivos dij, 1 ≤ i, j ≤ 4, eles correspondem ao comprimento dos lados de um tetraedro, se:

Os comprimentos satisfazem desigualdades triangulares;
A determinante de Cayley-Menger é não negativa, positiva para um tetraedro não-degenerado.

Se a superfície M for plana, podemos mergulhar os quatro pontos congruentemente em R2 e, consequentemente, em R3. Logo, o tetraedro resultante será degenerado e o seu volume, nulo. Em outras palavras, deveríamos ter 𝜟CM(dij)=0.

Contudo, ao pegarmos a distância entre quatro cidades na Terra Média durante a Terceira Era, vide Tabela 1, e calcularmos a determinante de Cayley-Menger, encontramos não apenas um valor diferente de zero, mas também negativo. Isso significa que Arda não é apenas não-plana, mas não é sequer possível representar tais distâncias de maneira euclidiana em R3.

De fato, com um pouco mais de trabalho, é possível mostrar que tais distâncias podem ser realizadas sobre a superfície de uma esfera e até calcular o seu raio! Exercício que relegamos ae leitore interessade.

Referências

[1] https://tolkiengateway.net/wiki/Downfall_of_N%C3%BAmenor
[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Cosmology_of_Tolkien%27s_legendarium#Spherical-earth_cosmology
[3] S. Weinberg, "Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity", John Wiley & Sons, 1972
[4] K. Wirth e A. S. Dreiding, "Edge Lengths Determining Tetrahedrons", Elemente der Mathematik, 2009, https://ems.press/content/serial-article-files/3242

Texto por: Gabrielle Weber

O que raios é o arXiv?

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