Page des mathématiques expertes (2024-2025)

Chapitre n°4: la notion de pgcd

Le cours 

Une fiche d'exercices

Une activité  (correction) sur l'algorithme d'Euclide étendu qui permet de déterminer un couple de coefficients de Bézout.

on sait que si on se fixe deux entiers non simultanément égaux à 0, alors il existe au moins un couple d'entiers (u;v) tel que au+bv=pgcd(a;b). Dans cette activité, on donne une méthode algorithmique basée sur l'algorithme d'Euclide (d'où son nom: algorithme d'Euclide étendu) qui permet de déterminer un tel couple.  Rappelons qu'un tel couple constitue ce qu'on appelle un couple de coefficients de Bezout, du nom du mathématicien qui les a rendu célèbre, mais pas découvert!! En fait, leur découverte est due au mathématicien Claude-Gaspard Bachet de Méziriac.

                                                                                                         Etienne Bézout, algèbriste (1730-1783) 

Chapitre n°5: Le théorème de Gauss

Activité découverte sur le théorème de Gauss (et ses applications classiques)

Le cours 

Exercices: Un exercice sur la résolution d'une équation diophantienne de la forme ax+by=c, un autre, un exercice sur la résolution d'un système de congruences (avec application concrète), un pbm (corrigé) sur la périodicité de corps celestes.

Chapitre n°6: Les nombres complexes (I)

Le cours 

Comme déjà dit en classe, on dispose du théorème suivant dit de "D'Alembert-Gauss" (ou théorème fondamental de l'algèbre) et qui nous dit que "tout polynôme de degré au moins égal à 1 et à coefficients complexes, peut se factoriser en produit de polynômes de degrés 1 à coefficients complexes". En particulier, toute équation algébrique de degré n>=1 et à coefficients complexes possède n racines complexes (comptées avec multiplicité)

Carl Friedrich Gauss, mathématicien et Physicien allemand (1777-1855)

Jean-le-rond d'Alembert, mathématicien (1717-1783) 

Rien qu'à lui seul ce théorème justifie l'utilisation des nombres complexes. Gauss le considérait d'ailleurs à ce point fondamental qu'il en donna plusieurs démonstration au cours de sa vie. C'est d'ailleurs lui qui en donna la première démonstration rigoureuse (dans sa thèse de doctorat). La preuve de d'Alembert était incomplète en ce sens qu'elle admettait qu'un polynôme à coefficients réels de degré impair admet au moins une racine réelle (d'Alembert ne disposait pas encore du théorème des valeurs intermédiaires).

C'est devenu d'ailleurs un jeu de donner des démonstrations différentes de ce théorème. Citons par exemple la preuve du mathématicien Joseph Liouville (devenue un classique).

Joseph Liouville (1809-1882)

Liouville raisonne par l'absurde. Il suppose donc l'existence d'un polynôme P de degré au moins 1, à coefficients complexes qui ne s'annule pas sur C. Il considère alors la fonction f=1/P. Une telle fonction est holomorphe sur C (c'est à dire dérivable sur C) et il montre aussi qu'elle est bornée. Or un théorème de Liouville lui-même montre qu'une fonction holomorphe et bornée sur C est constante. Donc f, et donc P est constant: absurde. Pas mal n'est-ce pas ?

En fait, il y a même des démonstrations plus simples. Une des plus simples démonstration est la suivante. On se donne un polynôme P à coefficients complexes et de degré n>=1. On suppose qu'il ne s'annule pas sur C. On considère alors la fonction |P|, qui à z nombre complexe associe le module de P(z). On montre alors que cette fonction admet une valeur minimale |P(z0)|, puis que si elle est non nulle, alors on peut trouver un nombre complexe z1 tel que |P(z1)|<|P(z0)|, ce qui est absurde.

Une autre démonstration moins connue mais très élégante peut être obtenue par la théorie de Galois (la découverte de ces travaux doit d'ailleurs beaucoup à Liouville: voir lien; pour une introduction (hors programme) à ses travaux, voir lien )

Evariste Galois, mathématicien génial mort en duel à 20 ans (1811-1832)

Mais revenons à Gauss. Gauss est à l'origine de l'une des constructions modernes de l'ensemble des nombres complexes (il y en a d'autres). Il considère l'ensemble des nombres complexes comme l'ensemble des couples de nombres réels (a;b). Il munit cet ensemble des deux lois de composition interne suivante:

il définit sur C l'addition suivante  (a;b)+(c;d)=(a+c;b+d) et la multiplication suivante: (a;b)x(c;d)=(ac-bd;ad+bc);

On vérifie alors que (C,+,X) est un "corps". On identifie aussi chaque nombre réel a au couple (a;0). Plus précisément, on considère la fonction f définie sur R à valeurs dans C, qui au nombre réel a, associe le couple (a;0). Une telle application constitue un isomorphisme de corps de R vers f(R). Ainsi C "contient" le corps des nombres réels (en ce sens qu'il contient f(R) isomorphe à R). Avec cette identification, on note le couple (a;0) plus simplement par a.

On pose aussi que i=(0;1). Alors, on a i²=ixi=(0;1)x(0;1)=(-1;0)= -1. De plus, soit z un nombre complexe. Il existe donc des nombres réels a et b tels que z=(a;b)=(a;0)+(0;b)=(a;0)+(0;1)(b;0)=a+ib avec l'identification précédente. Ainsi tout nombre complexe peut se mettre sous la forme z=a+ib, a, b réels. Il est facile de vérifier que cette écriture est unique. En effet, s'il existe d'autres nombres réels a' et b' tels que z=a'+ib', alors z=(a';b'), donc (a;b)=(a';b'), donc a=a' et b=b'.

Fiches d'exercices: un exercice sur la représentation des nombres complexes, un autre (corrigé), un exercice sur la notion de module (rappel sur la notion d'EC d'un cercle), une autre fiche (représentation des nombres complexes, notion de module, suite de nombres complexes), un exercice sur les suites de nombres complexes, une fiche d'exercices d'application sur la notion de forme exponentielle d'un nombre complexe non nul, une autre, une fiche d'exercices de synthèse

Chapitre n°7: Les matrices (I)

Le cours 

Exercices d'application du cours: fiche n°1, fiche n°2 

Quelques pbms supplémentaires (en plus de ceux du livre): Pbm1, Pbm2 

Chapitre n°8: La forme exponentielle d'un nombre complexe non nul

Le cours 

Exercices d'application, une fiche d'exercices

Chapitre n°9: Les racines de l'unité

Le cours (Caractérisation des éléments de U_n)

Une fiche d'exercices

Un pbm  sur la forme exponentielle d'un nombre complexe non nul.   Dans ce problème, le fait de s'intéresser directement à Z+Z^4 et Z²+Z^3 où Z est une racine primitive 5-ième de l'unité peut sembler "sorti du chapeau" mais cela s'explique très bien par la théorie de Galois. En effet, on a la tour d'extensions quadratiques suivantes:

Q-->Q(racine de 5)-->Q(Z)

Le groupe des Galois de la seconde extension est formé des carrés des entiers modulo 5, soit 1 mod 5 et 4 mod 5. Donc A=Z+Z^4 est un élément du corps Q(racine de 5) ainsi que B=Z²+Z^3 car ils sont invariants sous ces carrés. Le groupe de Galois de l'extension Q(racine de 5)/Q est formé de 1 mod 5 et de 2 mod 5 (car c'est (Z/5Z)^* quotienté par les carrés modulo 5). Comme l'élément du groupe de Galois qui envoie Z vers Z² transforme A en B, A et B sont les racines du même polynôme de degré deux à coefficients rationnels. D'où la première partie du problème....Tout s'explique!

On justifie dans le pbm notamment une méthode à la règle non graduée et on compas de la construction du pentagone régulier (diaporama de la construction):

Chapitre n°9: Application des nombres complexes aux équations algébriques et à la trigonométrie

Le cours 

Exercices sur les équations algébriques: fiche d'exercices,  Pbm n°1, Pbm n°2 

Exercices de trigonométrie: fiche d'exercices (correction)

Chapitre n°10: Les matrices (II)

Le cours (exercices intégrés)