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Devoirs maison:
Devoir maison n°1 (pour le 15/10/2018) (partie C de l'exercice n°1 est en bonus) et son corrigé
Devoir maison n°2 (pour le 05/11/2018) et son corrigé
Devoir maison n°3 (pour le 17/12/2018) et son corrigé
Devoir maison n°4 (pour le 07/01/2019) et son corrigé
Devoir maison n°5 (pour le 21/01/2019) et son corrigé
Devoir maison n°6 (pour le 11/03/2019) et son corrigé
Devoir maison n°7 (pour le 29/04/2019) et son exercice supplémentaire et son corrigé
Chapitre n°1: l'arithmétique dans Z
Feuille d'exercices sur la divisibilité
Un problème sur les triangles rectangles presque isocèles
Etude complète de l'équation diophantienne (a²+ab-b²)²=1: on y montre notamment que les couples solutions (a;b) d'entiers naturels non nuls sont exactement les couples de la forme (F(n);F(n+1)) où F est la suite de Fibonacci, n>0. C'est joli!
Feuille d'exercices divers sur la division euclidienne
Un problème sur l'équation de Pell-Fermat x²-2y²=1 avec application à l'étude des nombres dits puissants.
Une fiche de deux problèmes: dans le premier problème, on montre, via l'utilisation de certaines congruences, que l'équation diophantienne 3x²+7y²=100^n est sans solution entière (n entier naturel); le second problème étudie un exemple de chiffrement affine.
Un problème sur les rep-units c'est çà dire sur les nombres dont l'écriture décimale ne comporte que le chiffre 1; on y montre notamment qu'ils ne peuvent le carré d'un nombre entier.
Un problème sur la résolution de l'équation diophantienne 2^m-3^n=1 (on montre qu'elle est sans solution entière) et sur la résolution de l'équation diophantienne 3^n-2^m=1: on y montre que la seule solution entière est constituée par n=2, m=3.
Cette dernière équation est un cas particulier de la célèbre équation de Catalan x^p-y^q=1.
Cette équation s'appelle équation de Catalan car ce mathématicien, spécialiste de théorie des nombres, écrit en 1844, dans une lettre destinée à l'éditeur du journal de Crelle:
« Je vous prie, Monsieur, de vouloir bien énoncer, dans votre recueil, le théorème suivant, que je crois vrai, bien que je n'aie pas encore réussi à le démontrer complètement: d'autres seront peut-être plus heureux :
Deux nombres entiers consécutifs, autres que 8 et 9 ne peuvent être des puissances exactes; autrement dit: l'équation
x^p-y^q=1 dans laquelle les inconnues sont entières et positives, n'admet qu'une seule solution. »
Eugène Catalan (1814-1894), mathématicien belge
De nombreux mathématiciens, dont Camille-Christophe Gerono, Henri-Léon Lebesgue et Paul Langevin s'attaquent sans succès à cette conjecture, qui ne fut démontrée qu'en 2002 par Preda Mihăilescu, devenant ainsi le théorème de Catalan.
Preda Mihailescu (1955-), mathématicien roumain
On trouvera ici, une preuve détaillée de la conjecture de Catalan (hors programme of course!) utilisant certaines extensions cyclotomiques du corps des rationnels
Activité sur l'algorithme d'Euclide étendu:
on sait que si on se fixe deux entiers non simultanément égaux à 0, alors il existe au moins un couple d'entiers (u;v) tel que au+bv=pgcd(a;b). Dans cette activité, on donne une méthode algorithmique basée sur l'algorithme d'Euclide (d'où son nom: algorithme d'Euclide étendu) qui permet de déterminer un tel couple. Rappelons qu'un tel couple constitue ce qu'on appelle un couple de coefficients de Bezout, du nom du mathématicien qui les a rendu célèbre, mais pas découvert!! En fait, leur découverte est due au mathématicien Claude-Gaspard Bachet de Méziriac.
Etienne Bézout (1730-1783, algébriste)
Claude-Gaspard de Méziriac (1581-1638, poète et mathématicien)
Activité sur le théorème de Gauss et de l'un de ses corollaires avec application à l'étude des équations diophantiennes de la forme ax+by=c; d'autres problèmes d'application (on y résout notamment des systèmes de congruences simultanées), un autre (sur le chiffrement affine), un autre (suite et arithmétique), un autre (codage et système de congruences)
Activité sur la méthode du crible d'Eratosthène et ci-joint une application pour la détermination des nombres premiers au plus égaux à 101
Problèmes sur les nombres premiers: pbm n°1
Cliquer sur le lien pour accéder à une activité hors programme (juste pour le plaisir!!) sur une formule qui permet de générer la suite des nombres premiers. Son intérêt est plus d'ordre intellectuel que pratique…..Elle constitue la formule de Minac et Willans et date de…..1995 seulement !!
Activité sur le "petit théorème de Fermat" qui énonce que:
"si p est un nombre premier, alors pour tout entier premier à p, on a a^(p-1)= 1 mod p. En conséquence, pour tout entier a, a^p= a mod p."
Pierre de Fermat (1607-1665), juriste et mathématicien amateur
Le petit théorème de Fermat a été généralisé par Euler, donnant le fameux "Théorème de Fermat-Euler":
"Si n est un entier supèrieur ou égal à 2 et si a est un entier premier à n, alors a^phi(n)=1 mod n où phi(n) est le nombre d'entiers parmi les entiers de 1 à n-1 qui sont premiers avec n."
En particulier, si p est un nombre premier, on retrouve le petit théorème de Fermat car phi(p)=p-1.
Voir ce lien pour une preuve.
On parle du "petit théorème de Fermat" par opposition au "grand théorème de Fermat" qui énonce que si n est un entier supèrieur ou égal à 3, alors l'équation diophantienne x^n+y^n=z^n n'admet aucune solution entière non triviale. Les mathématiciens ont longtemps cherché à démontrer cet énoncé (Fermat n'a laissé aucune trace de sa prétendue preuve, très certainement erronée) et l'objectif fut atteint par le mathématicien britannique Andrew Wiles en…..1994 (preuve de plusieurs centaines de pages….).
Un problème du BAC sur le petit théorème de Fermat
Activité sur les nombres de Fermat: Dans cette activité, on commence par montrer que si m>=2 est un entier tel que 2^m+1 soit un nombre premier, alors m est nécessairement une puissance de 2. Pour n>=0 entier, on appelle alors n-ième nombre de Fermat, le nombre noté F_{n} et défini par
F_{n}=2^{2^n}+1. Dans cette activité, on montre les résultats suivants:
les nombres de Fermat sont premiers entre eux deux à deux (on retrouve en particulier qu'il y a une infinité de nombres premiers), que le chiffre des unités de F_{n} est 7 si n>=2. Enfin, on montre un théorème d'Euler sur les diviseurs premiers de F_{n}:
Théorème (Euler): Soit p un diviseur premier de F_{n}. Alors p = 1 mod 2^{n+1}.
En particulier, en étudiant la primalité de F_{5}, Euler en est venu à constater que le nombre premier 641 divise F_{5} qui n'est donc pas premier. Il s'y est intéressé car Fermat avait conjecturé que tous les nombres F_{n} étaient premiers. Le fait que 641 divise F_{5} a donc infirmé cette conjecture de Fermat.
Une activité complémentaire sur le théorème de Lucas (concernant les nombres de Fermat)
Encore un pbm récent (2018) sur les nombres de Fermat.
Activité sur les nombres de Mersenne
Marin Mersenne (1588-1648, religieux français)
Religieux français, il est aussi mathématicien et philosophe ; il correspondait avec Fermat et Descartes ou encore Blaise Pascal. Son apport aux sciences physique fut .également important, notamment par son travail sur les ondes et la propagation du son. Par ailleurs, il dessina le premier les plans d'un sous-marin (prénom prédestiné ?). Les nombres de Mersenne sont par d.éfi.nition les nombres de la forme Mp = 2^p-1 avec
p nombre premier. Ces nombres étudiés dés l'antiquité, ont pris le nom de Mersenne quand ce dernier fournit une liste de ceux d'entre eux qui sont premiers jusqu'à p = 257. Bien que cette liste fut fausse, Mersenne savait que tous les nombres Mp ne sont pas tous
premiers. Soulignons la conjecture suivante qui reste à ce jour non démontrée:
Conjecture: Il existe une infinité de nombres de Mersenne qui sont premiers.
Dans cette activité, on commence par montrer que si a^n-1 est un nombre premier (avec a>=2 entier et n>=2 entiers), alors a=2 et n est un nombre premier. On montre aussi que cette condition n'est pas suffisante (par exemple M_{11} n'est pas premier). On montre ensuite le théorème suivant:
Théorème (Fermat): Soit p un nombre premier impair. Soit q un diviseur premier du nombre de Mersenne M_{p}. Alors il existe un entier k tel que q=2kp+1.
Chapitre n°2: les matrices
Quelques problèmes type BAC sur les matrices: Suites de Fibonacci ,un autre (suite de Fibonacci et matrices), Etude de l'évolution d'une population, Etude de la fréquentation d'un site,
Etude de l'évolution de l'état d'un atome d'hydrogène ,Evolution de l'état d'un joueur (problème avec graphe probabiliste)
Un autre sur la suite de Fibonacci,
Pour réviser le BAC:
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