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Chapitre n°1: la divisibilité dans Z
Fiche d'exercices sur la divisibilité
Chapitre n°2: la division euclidienne
Fiche d'exercices sur la division euclidienne
Chapitre n°3: les congruences
Fiche d'exercices sur les congruences
Problème sur le chiffrement affine
Un problème sur la résolution de l'équation diophantienne 2^m-3^n=1 (on montre qu'elle est sans solution entière) et sur la résolution de l'équation diophantienne 3^n-2^m=1: on y montre que la seule solution entière est constituée par n=2, m=3.
Cette dernière équation est un cas particulier de la célèbre équation de Catalan x^p-y^q=1.
Cette équation s'appelle équation de Catalan car ce mathématicien, spécialiste de théorie des nombres, écrit en 1844, dans une lettre destinée à l'éditeur du journal de Crelle:
« Je vous prie, Monsieur, de vouloir bien énoncer, dans votre recueil, le théorème suivant, que je crois vrai, bien que je n'aie pas encore réussi à le démontrer complètement: d'autres seront peut-être plus heureux :
Deux nombres entiers consécutifs, autres que 8 et 9 ne peuvent être des puissances exactes; autrement dit: l'équation
x^p-y^q=1 dans laquelle les inconnues sont entières et positives, n'admet qu'une seule solution. »
Eugène Catalan (1814-1894), mathématicien belge
De nombreux mathématiciens, dont Camille-Christophe Gerono, Henri-Léon Lebesgue et Paul Langevin s'attaquent sans succès à cette conjecture, qui ne fut démontrée qu'en 2002 par Preda Mihăilescu, devenant ainsi le théorème de Catalan.
Preda Mihailescu (1955-), mathématicien roumain
On trouvera ici, une preuve détaillée de la conjecture de Catalan (hors programme of course!) utilisant certaines extensions cyclotomiques du corps des rationnels
Un problème sur la résolution de l'équation diophantienne 3x²+7y²=100^n
Une activité sur les critères de divisibilité
Chapitre n°4: Théorème de Bézout et l'algorithme d'Euclide étendu
Une activité sur l'algorithme d'Euclide étendu qui permet de déterminer un couple de coefficients de Bézout.
on sait que si on se fixe deux entiers non simultanément égaux à 0, alors il existe au moins un couple d'entiers (u;v) tel que au+bv=pgcd(a;b). Dans cette activité, on donne une méthode algorithmique basée sur l'algorithme d'Euclide (d'où son nom: algorithme d'Euclide étendu) qui permet de déterminer un tel couple. Rappelons qu'un tel couple constitue ce qu'on appelle un couple de coefficients de Bezout, du nom du mathématicien qui les a rendu célèbre, mais pas découvert!! En fait, leur découverte est due au mathématicien Claude-Gaspard Bachet de Méziriac.
Etienne Bézout (1730-1783, algébriste)
Claude-Gaspard de Méziriac (1581-1638, poète et mathématicien)
Chapitre n°5: Théorème de Gauss et application
Une activité sur le théorème de Gauss et de l'un de ses corollaires avec application à l'étude des équations diophantiennes de la forme ax+by=c, un pbm sur le chiffrement affine, un pbm d'application à l'astronomie (périodes de corps céleste), un pbm sur la résolution d'un système de congruences.
Chapitre n°6: Les nombres premiers
Cliquer sur le lien pour accéder à une activité hors programme (juste pour le plaisir!!) sur une formule qui permet de générer la suite des nombres premiers. Son intérêt est plus d'ordre intellectuel que pratique…..Elle constitue la formule de Minac et Willans et date de…..1995 seulement !!
Activité sur le "petit théorème de Fermat" qui énonce que:
"si p est un nombre premier, alors pour tout entier premier à p, on a a^(p-1)= 1 mod p. En conséquence, pour tout entier a, a^p= a mod p."
Pierre de Fermat (1607-1665), juriste et mathématicien amateur
Le petit théorème de Fermat a été généralisé par Euler, donnant le fameux "Théorème de Fermat-Euler":
"Si n est un entier supèrieur ou égal à 2 et si a est un entier premier à n, alors a^phi(n)=1 mod n où phi(n) est le nombre d'entiers parmi les entiers de 1 à n-1 qui sont premiers avec n."
En particulier, si p est un nombre premier, on retrouve le petit théorème de Fermat car phi(p)=p-1.
Voir ce lien pour une preuve.
On parle du "petit théorème de Fermat" par opposition au "grand théorème de Fermat" qui énonce que si n est un entier supèrieur ou égal à 3, alors l'équation diophantienne x^n+y^n=z^n n'admet aucune solution entière non triviale. Les mathématiciens ont longtemps cherché à démontrer cet énoncé (Fermat n'a laissé aucune trace de sa prétendue preuve, très certainement erronée) et l'objectif fut atteint par le mathématicien britannique Andrew Wiles en…..1994 (preuve de plusieurs centaines de pages….).
Un problème du BAC sur le petit théorème de Fermat
Activité sur les nombres de Fermat: Dans cette activité, on commence par montrer que si m>=2 est un entier tel que 2^m+1 soit un nombre premier, alors m est nécessairement une puissance de 2. Pour n>=0 entier, on appelle alors n-ième nombre de Fermat, le nombre noté F_{n} et défini par
F_{n}=2^{2^n}+1. Dans cette activité, on montre les résultats suivants:
les nombres de Fermat sont premiers entre eux deux à deux (on retrouve en particulier qu'il y a une infinité de nombres premiers), que le chiffre des unités de F_{n} est 7 si n>=2. Enfin, on montre un théorème d'Euler sur les diviseurs premiers de F_{n}:
Théorème (Euler): Soit p un diviseur premier de F_{n}. Alors p = 1 mod 2^{n+1}.
En particulier, en étudiant la primalité de F_{5}, Euler en est venu à constater que le nombre premier 641 divise F_{5} qui n'est donc pas premier. Il s'y est intéressé car Fermat avait conjecturé que tous les nombres F_{n} étaient premiers. Le fait que 641 divise F_{5} a donc infirmé cette conjecture de Fermat.
Une activité complémentaire sur le théorème de Lucas (concernant les nombres de Fermat)
Chapitre n°7: Les nombres complexes (I)
Comme on l'a vu en classe, on dispose du théorème suivant dit de "D'Alembert-Gauss" (ou théorème fondamental de l'algèbre) et qui nous dit que "tout polynôme de degré au moins égal à 1 et à coefficients complexes, peut se factoriser en produit de polynômes de degrés 1 à coefficients complexes". En particulier, toute équation algébrique de degré n>=1 et à coefficients complexes possède n racines complexes (comptées avec multiplicité)
Jean-le-Rond d'Alembert (1717-1783), Carl Friedrich Gauss (1777-1855), philosophe et mathématicien français mathématicien Allemand
Rien qu'à lui seul ce théorème justifie l'utilisation des nombres complexes. Gauss le considérait d'ailleurs à ce point fondamental qu'il en donna plusieurs démonstration au cours de sa vie. C'est d'ailleurs lui qui en donna la première démonstration rigoureuse (dans sa thèse de doctorat). La preuve de d'Alembert était incomplète en ce sens qu'elle admettait qu'un polynôme à coefficients réels de degré impair admet au moins une racine réelle (d'Alembert ne disposait pas encore du théorème des valeurs intermédiaires).
C'est devenu d'ailleurs un jeu de donner des démonstrations différentes de ce théorème. Citons par exemple la preuve du mathématicien Joseph Liouville (devenue un classique).
Joseph Liouville (1809-1882), mathématicien français
Liouville raisonne par l'absurde. Il suppose donc l'existence d'un polynôme P de degré au moins 1, à coefficients complexes qui ne s'annule pas sur C. Il considère alors la fonction f=1/P. Une telle fonction est holomorphe sur C (c'est à dire dérivable sur C) et il montre aussi qu'elle est bornée. Or un théorème de Liouville lui-même montre qu'une fonction holomorphe et bornée sur C est constante. Donc f, et donc P est constant: absurde. Pas mal n'est-ce pas ?
En fait, il y a même des démonstrations plus simples. Une des plus simples démonstration est la suivante. On se donne un polynôme P à coefficients complexes et de degré n>=1. On suppose qu'il ne s'annule pas sur C. On considère alors la fonction |P|, qui à z nombre complexe associe le module de P(z). On montre alors que cette fonction admet une valeur minimale |P(z0)|, puis que si elle est non nulle, alors on peut trouver un nombre complexe z1 tel que |P(z1)|<|P(z0)|, ce qui est absurde.
Une autre démonstration moins connue mais très élégante peut être obtenue par la théorie de Galois (la découverte de ces travaux doit d'ailleurs beaucoup à Liouville: voir lien; pour une introduction (hors programme) à ses travaux, voir lien )
Evariste Galois (1811-1832), mathématicien génial, mort en duel à 20 ans
Mais revenons à Gauss. Gauss est à l'origine de l'une des constructions modernes de l'ensemble des nombres complexes (il y en a d'autres). Il considère l'ensemble des nombres complexes comme l'ensemble des couples de nombres réels (a;b). Il munit cet ensemble des deux lois de composition interne suivante:
il définit sur C l'addition suivante (a;b)+(c;d)=(a+c;b+d) et la multiplication suivante: (a;b)x(c;d)=(ac-bd;ad+bc);
On vérifie alors que (C,+,X) est un "corps". On identifie aussi chaque nombre réel a au couple (a;0). Plus précisément, on considère la fonction f définie sur R à valeurs dans C, qui au nombre réel a, associe le couple (a;0). Une telle application constitue un isomorphisme de corps de R vers f(R). Ainsi C "contient" le corps des nombres réels (en ce sens qu'il contient f(R) isomorphe à R). Avec cette identification, on note le couple (a;0) plus simplement par a.
On pose aussi que i=(0;1). Alors, on a i²=ixi=(0;1)x(0;1)=(-1;0)= -1. De plus, soit z un nombre complexe. Il existe donc des nombres réels a et b tels que
z=(a;b)=(a;0)+(0;b)=(a;0)+(0;1)(b;0)=a+ib avec l'identification précédente. Ainsi tout nombre complexe peut se mettre sous la forme z=a+ib, a, b réels. Il est facile de vérifier que cette écriture est unique. En effet, s'il existe d'autres nombres réels a' et b' tels que z=a'+ib', alors z=(a';b'), donc (a;b)=(a';b'), donc a=a' et b=b'.
Un problème sur la forme exponentielle d'un nombre complexe non nul. On y justifie notamment une méthode à la règle non graduée et on compas de la construction du pentagone régulier:
Diaporama de cette construction
Rappelons la définition suivante: "On appelle nombre de Fermat, tout entier de la forme 2^(2^n)+1 où n est un entier naturel".
On peut montrer le théorème suivant (de Gauss, démontré en 1801):
"Soit n un entier. Un polygone régulier à n côtés est constructible à la règle non graduée et au compas si et seulement si n est une puissance de 2 d'exposant au moins 2, ou bien est le produit d'une puissance de 2 d'exposant au moins 2 avec un produit de nombre premiers deux à deux distincts qui sont des entiers de Fermat".
Par exemple, 5=2^(2²)+1, donc on savait à l'avance qu'une telle construction était possible. Un tel théorème montre par la même occasion que le polygone régulier à 17 côtés est constructible à la règle et au compas. Gauss est le premier mathématicien à avoir réalisé une telle construction.
Napoleon Bonaparte (1769-1821), stratège de génie, empereur des français
Un problème sur la démonstration d'un théorème attribué à sa majesté Napoléon Bonaparte. L'énoncé de ce théorème est le suivant:
Théorème: Considérons trois points distincts A, B et C. Sur les côtés du triangle ABC on construit trois triangles équilatéraux. Les centres de gravité de ces trois triangles forment un triangle équilatéral.
Bien que publié peu de temps après la mort de l'empereur (en 1825), il n'y a aucune raison objective de penser que ce théorème soit effectivement de Napoléon. Peut-être qu'un esprit facétieux, connaissant l'intérèt de Napoléon pour la géométrie a t-il voulu rendre hommage au génial vainqueur de la campagne d'Egypte à travers le profil de ces trois pyramides que l'on obtient si on réalise la configuration du théorème précédent.
Chapitre n°8: Les matrices
Quelques problèmes: pbm1, pbm2, pbm3, pbm4
Chapitre n°9: Les nombres complexes (II)
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