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Chapitre n°1: les suites réelles (première partie)
Fiche de révisions sur les suites
Fiche d'exercices sur la démonstration par récurrence
Un des premiers mathématiciens à avoir utilisé une démonstration par récurrence est Blaise Pascal:
Blaise Pascal (1623-1662), mathématicien, physicien et philosophe
En fait, grâce à sa correspondance, on peut estimer qu'il utilisa pour la première fois entre le 29 juillet 1654 et le 29 août 1654. Il l'utilisa pour démontrer un résultat de son traité sur son fameux triangle ("le triangle de Pascal"). Voir à ce propos, le dernier paragraphe de cette feuille.
Deux problèmes sur les suites, deux autres
Chapitre n°2: les limites de fonctions
Chapitre n°3: la continuité
Cours de première sur la fonction exponentielle
Des problèmes de révision: un problème, un autre et son corrigé, un autre et son corrigé, un autre et son corrigé.
Une activité préparatoire au TVI (et à certains de ses corollaires)
Fiches de problèmes sur la continuité: fiche 1, fiche 2
La seconde fiche est composée de deux parties: la première porte sur l'étude des variations d'une fonction avec au préalable l'étude du signe d'une fonction auxiliaire; la seconde porte sur la démonstration d'un théorème de Bolzano qui énonce ceci:
Bernard Bolzano (1781-1848, mathématicien hongrois)
"Si la différence de deux fonctions continues sur un intervalle change de signe, alors il existe au moins un élément de cet intervalle en lequel ces fonctions ont la même valeur." Ce résultat est le théorème n°2 de son mémoire de 1817. C'est dans ce mémoire qu'il présente sa preuve du théorème des valeurs intermédiaires. Pour cette preuve, il utilise le théorème dit aujourd'hui de "Bolzano-Weierstrass", qui affirme ceci:
"De toute suite réelle bornée on peut extraire une sous-suite convergente"
Karl Weierstrass (1815-1897),
mathématicien allemand
Pour sa démonstration, il découvrait au passage un critère de convergence des suites réelles, redécouvert plus tard par le mathématicien Augustin-Louis Cauchy, et qui stipule qu'une suite de nombres réels converge si et seulement si pour tout epsilon>0, il existe un entier naturel N tel que pour tout entier p et q supérieurs ou égaux à N, la distance entre le terme d'indice p et q de cette suite sera inférieur à epsilon. Intuitivement, cela signifie qu'une suite de nombres réels converge si et seulement si ses termes s'agglutinent au fur et à mesure que leur indice augmente. Pour une preuve, cliquer sur ce lien qui propose d'en faire une démonstration sous forme d'exercice (hors programme)
Augustin-Louis Cauchy (1789-1857),
mathématicien français
Bolzano fut l'un des premiers à donner une définition correcte de la continuité d'une fonction en un point et qui est la définition que l'on utilise aujourd'hui. Cauchy en était très proche mais son vocable faisait encore appel à la notion d'infiniment petit, notion floue à l'époque et qu'il fallait donc proscrire pour tenir un raisonnement rigoureux.
Pour terminer sur Bolzano, rappelons que l'on a vu en cours, que si f est dérivable en a, alors elle y est continue. On a aussi montré que la réciproque est fausse (considérer par exemple la fonction valeur absolue en 0). Bolzano exhiba même un exemple de fonction continue sur [0;1] et qui n'y est nulle part dérivable (cette fonction est appelée aujourd'hui "escalier du diable de Bolzano" et fait la joie des poseurs de Khôlle en classe préparatoire).
Pour les curieux qui sont courageux, vous pouvez en cliquant sur ce lien, accéder au sujet de mathématiques de l'épreuve
n°1 du CAPES de 2011; le problème n°2 de cette épreuve porte sur l'étude du théorème des valeurs intermédiaires; amusez vous à l'étudier!!! En rapport avec cela, un autre complément (hors programme; juste pour le plaisir) sur la propriété des valeurs intermédiaires avec un exemple de fonction non continue sur R la vérifiant. Cela montre donc que cette propriété n'est pas caractéristique des fonctions continues sur un intervalle. On admettra même qu'il existe des fonctions continues nulle part sur leur intervalle de définition et qui pourtant vérifie cette propriété (!!).
Pbms de probabilités, un autre (problème des skieurs) et son corrigé
Chapitre n°7: Géométrie dans l'espace (première partie)
Corrections des exercices faits en classe: lien1, lien 2
Exercices de construction d'une section d'un solide par un plan:
premier exercice et son corrigé, second exercice et son corrigé, troisième exercice et son corrigé, un quatrième exercice et son corrigé
Chapitre n°8: les limites de suites
Des problèmes de révision: pbm1, pbm2, pbm3
Chapitre n°9: Géométrie dans l'espace (suite)
Des problèmes de révision: pbm1, pbm2
Chapitre n°10: La fonction ln
Chapitre n°11: Les équations différentielles
Chapitre n°12: Le calcul intégral
Chapitre n°13: Les fonctions trigonométriques
Chapitre n°14: La loi des grands nombres.
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