Mathématiques expertes: activités, cours, exercices (2022-2023)

Chapitre n°1: la divisibilité dans Z 

Fiche d'exercices,

 Fiche d'exercices supplémentaires  

Chapitre n°2: la division euclidienne

Fiche d'exercices sur la division euclidienne 

Chapitre n°3: les congruences

Une activité sur les critères de divisibilité

Fiche d'exercices sur les congruences 

Problème sur le chiffrement affine , un autre 

 Un problème  sur la résolution de l'équation diophantienne 7^n-3x2^m=1: on montre que les seules solutions sont n=m=1 et n=2, m=4

Un problème  sur la résolution de l'équation diophantienne 2^m-3^n=1 (on montre qu'elle est sans solution entière) et sur la résolution de l'équation diophantienne 3^n-2^m=1: on y montre que la seule solution entière est constituée par n=2, m=3. 

Cette dernière équation est un cas particulier de la célèbre équation de Catalan x^p-y^q=1.

Cette équation s'appelle équation de Catalan car ce mathématicien, spécialiste de théorie des nombres, écrit en 1844, dans une lettre destinée à l'éditeur du journal de Crelle:

« Je vous prie, Monsieur, de vouloir bien énoncer, dans votre recueil, le théorème suivant, que je crois vrai, bien que je n'aie pas encore réussi à le démontrer complètement: d'autres seront peut-être plus heureux :

Deux nombres entiers consécutifs, autres que 8 et 9 ne peuvent être des puissances exactes; autrement dit: l'équation x^p-y^q=1 dans laquelle les inconnues sont entières et positives, n'admet qu'une seule solution. »

De nombreux mathématiciens, dont Camille-Christophe Gerono, Henri-Léon Lebesgue et Paul Langevin s'attaquent sans succès à cette conjecture, qui ne fut démontrée qu'en 2002 par Preda Mihăilescu, devenant ainsi le théorème de Catalan.

  Preda Mihailescu (1955-), mathématicien roumain

On trouvera ici, une preuve détaillée de la conjecture de Catalan (hors programme of course!) utilisant certaines extensions cyclotomiques du corps des rationnels

Un problème  sur la résolution de l'équation diophantienne 3x²+7y²=100^n

Un problème sur l'équation diophantienne (a²+ab-b²)²=1. On y montre que les seuls couples (a ; b) solutions sont les couples de la forme (F_N ; F_(N+1)) (N entier naturel) où F est la suite de Fibonacci.

Chapitre n°4: Théorème de Bézout et l'algorithme d'Euclide étendu

Une activité  sur l'algorithme d'Euclide étendu qui permet de déterminer un couple de coefficients de Bézout.

on sait que si on se fixe deux entiers non simultanément égaux à 0, alors il existe au moins un couple d'entiers (u;v) tel que au+bv=pgcd(a;b). Dans cette activité, on donne une méthode algorithmique basée sur l'algorithme d'Euclide (d'où son nom: algorithme d'Euclide étendu) qui permet de déterminer un tel couple.  Rappelons qu'un tel couple constitue ce qu'on appelle un couple de coefficients de Bezout, du nom du mathématicien qui les a rendu célèbre, mais pas découvert!! En fait, leur découverte est due au mathématicien Claude-Gaspard Bachet de Méziriac.

Chapitre n°5: le théorème de Gauss et applications

Activité sur le théorème de Gauss et sur son corollaire avec application à la résolution des équations diophantiennes de la forme ax+by=c

Un exercice d'application , un autre (résolution d'un système de congruences), un autre  d'application à l'astronomie (période de corps célestes et apparitions simultanées)

Chapitre n°6: les nombres complexes (généralités)

Comme déjà dit en classe, on dispose du théorème suivant dit de "D'Alembert-Gauss" (ou théorème fondamental de l'algèbre) et qui nous dit que "tout polynôme de degré au moins égal à 1 et à coefficients complexes, peut se factoriser en produit de polynômes de degrés 1 à coefficients complexes". En particulier, toute équation algébrique de degré n>=1 et à coefficients complexes possède n racines complexes (comptées avec multiplicité)

                                  Jean-le-Rond d'Alembert, Carl Friedrich Gauss, mathématicien et physicien philosophe et mathématicien français (1717-1783)                      allemand (1777-1855)

Rien qu'à lui seul ce théorème justifie l'utilisation des nombres complexes. Gauss le considérait d'ailleurs à ce point fondamental qu'il en donna plusieurs démonstration au cours de sa vie. C'est d'ailleurs lui qui en donna la première démonstration rigoureuse (dans sa thèse de doctorat). La preuve de d'Alembert était incomplète en ce sens qu'elle admettait qu'un polynôme à coefficients réels de degré impair admet au moins une racine réelle (d'Alembert ne disposait pas encore du théorème des valeurs intermédiaires).

C'est devenu d'ailleurs un jeu de donner des démonstrations différentes de ce théorème. Citons par exemple la preuve du mathématicien Joseph Liouville (devenue un classique).

Jospeh Liouville, mathématicien français (1809-1882)

Liouville raisonne par l'absurde. Il suppose donc l'existence d'un polynôme P de degré au moins 1, à coefficients complexes qui ne s'annule pas sur C. Il considère alors la fonction f=1/P. Une telle fonction est holomorphe sur C (c'est à dire dérivable sur C) et il montre aussi qu'elle est bornée. Or un théorème de Liouville lui-même montre qu'une fonction holomorphe et bornée sur C est constante. Donc f, et donc P est constant: absurde. Pas mal n'est-ce pas ?

En fait, il y a même des démonstrations plus simples. Une des plus simples démonstration est la suivante. On se donne un polynôme P à coefficients complexes et de degré n>=1. On suppose qu'il ne s'annule pas sur C. On considère alors la fonction |P|, qui à z nombre complexe associe le module de P(z). On montre alors que cette fonction admet une valeur minimale |P(z0)|, puis que si elle est non nulle, alors on peut trouver un nombre complexe z1 tel que |P(z1)|<|P(z0)|, ce qui est absurde.

Une autre démonstration moins connue mais très élégante peut être obtenue par la théorie de Galois (la découverte de ces travaux doit d'ailleurs beaucoup à Liouville: voir lien; pour une introduction (hors programme) à ses travaux, voir lien ) 

  Evariste Galois (1811-1832), mathématicien génial, mort en duel à 20 ans

Mais revenons à Gauss. Gauss est à l'origine de l'une des constructions modernes de l'ensemble des nombres complexes (il y en a d'autres). Il considère l'ensemble des nombres complexes comme l'ensemble des couples de nombres réels (a;b). Il munit cet ensemble des deux lois de composition interne suivante:

il définit sur C l'addition suivante  (a;b)+(c;d)=(a+c;b+d) et la multiplication suivante: (a;b)x(c;d)=(ac-bd;ad+bc);

On vérifie alors que (C,+,X) est un "corps". On identifie aussi chaque nombre réel a au couple (a;0). Plus précisément, on considère la fonction f définie sur R à valeurs dans C, qui au nombre réel a, associe le couple (a;0). Une telle application constitue un isomorphisme de corps de R vers f(R). Ainsi C "contient" le corps des nombres réels (en ce sens qu'il contient f(R) isomorphe à R). Avec cette identification, on note le couple (a;0) plus simplement par a.

On pose aussi que i=(0;1). Alors, on a i²=ixi=(0;1)x(0;1)=(-1;0)= -1. De plus, soit z un nombre complexe. Il existe donc des nombres réels a et b tels que z=(a;b)=(a;0)+(0;b)=(a;0)+(0;1)(b;0)=a+ib avec l'identification précédente. Ainsi tout nombre complexe peut se mettre sous la forme z=a+ib, a, b réels. Il est facile de vérifier que cette écriture est unique. En effet, s'il existe d'autres nombres réels a' et b' tels que z=a'+ib', alors z=(a';b'), donc (a;b)=(a';b'), donc a=a' et b=b'.

Un exercice supplémentaire

Chapitre n°7: forme exponentielle d'un nombre complexe et application à la géométrie

Une fiche d'exercices supplémentaire

Un pbm supplémentaire (correction de la construction à la règle et au compas)

Un pbm sur le théorème de Napoléon. On pense que ce théorème n'est pas de Napoléon Bonaparte mais que son découvreur, admirateur de ce génial stratège, l'aurait appelé ainsi pour lui rendre hommage. Il faut aussi savoir que Napoléon aimait les mathématiques. D'ailleurs, durant la campagne d'Italie, il a fait la connaissance du mathématicien italien Lorenzo Mascheroni. Ce dernier lui a parlé sde ses travaux et notamment il lui a expliqué comment construire au compas seul le centre d'un cercle donné (c'est facile à la règle non graduée et au compas) mais au compas seul, c'est une autre histoire. Une fois rentré en France, Napoléon, a fait un exposé à l'académie des sciences des travaux de Mascheroni. Il aurait même donné une solution personnelle au problème de la construction au compas seul du centre d'un cercle donné. Lagrange lui aurait alors dit: "Mon général, nous nous attendions à tout de vous sauf à des leçons de géométrie."

Chapitre n°8: Les matrices (première partie)

Quelques pbms sur les matrices: Pbm1, Pbm2, Pbm3 

Une fiche de pbms:

Chapitre n°9: Les racines de l'unités

Le cours 

Une fiche d'exercices

Un pbm  sur la forme exponentielle d'un nombre complexe non nul.   Dans ce problème, le fait de s'intéresser directement à Z+Z^4 et Z²+Z^3 où Z est une racine primitive 5-ième de l'unité peut sembler "sorti du chapeau" mais cela s'explique très bien par la théorie de Galois. En effet, on a la tour d'extensions quadratiques suivantes:

Q-->Q(racine de 5)-->Q(Z)

Le groupe des Galois de la seconde extension est formé des carrés des entiers modulo 5, soit 1 mod 5 et 4 mod 5. Donc A=Z+Z^4 est un élément du corps Q(racine de 5) ainsi que B=Z²+Z^3 car ils sont invariants sous ces carrés. Le groupe de Galois de l'extension Q(racine de 5)/Q est formé de 1 mod 5 et de 2 mod 5 (car c'est (Z/5Z)^* quotienté par les carrés modulo 5). Comme l'élément du groupe de Galois qui envoie Z vers Z² transforme A en B, A et B sont les racines du même polynôme de degré deux à coefficients rationnels. D'où la première partie du problème....Tout s'explique!

On justifie dans le pbm notamment une méthode à la règle non graduée et on compas de la construction du pentagone régulier (diaporama de la construction):

Chapitre n°10: trigonométrie, équations algébriques

Le cours 

Exercices d'application sur la linéarisation et les équations de degré deux (correction)

Exercices sur les équations algébriques