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Chapitre n°1 et n°3: les suites réelles
Exercices de révision sur les suites (niveau 1S)
Feuille d'exercices sur la notion de preuve par récurrence.
Un des premiers mathématiciens à avoir utilisé une démonstration par récurrence est Blaise Pascal.
Blaise Pascal (1623-1662), mathématicien, physicien et philosophe
En fait, grâce à sa correspondance, on peut estimer qu'il utilisa pour la première fois entre le 29 juillet 1654 et le 29 août 1654. Il l'utilisa pour démontrer un résultat de son traité sur son fameux triangle ("le triangle de Pascal"). Voir à ce propos, le dernier paragraphe de cette feuille.
Un problème sur les suites (étude de l'évolution d'une population de tortues)
Trois autres problèmes.
Activités sur le théorème de convergence monotone: on y démontre notamment que si q est un réel tel que |q|<1, alors la suite (q^n) est convergente de limite 0.
Un autre problème du BAC (étude de l'évolution d'une population de cétacés)
Un autre problème (suites et tableur)
Deux problème de révisions (étude de suites; suite et probabilités); un autre (suites et fonctions)
Exercices d'application sur les calculs de limites (finies ou pas), d'autres exercices et leurs corrections
Quatres autres problèmes (suites et limites infinies): pbm1, pbm2, pbm3, pbm4 (et son corrigé)
Chapitre n°2: les probabilités conditionnelles
Rappels de 1S sur les lois binomiales.
Jacques Bernoulli (1654-1705), mathématicien
C'est à Jacques Bernoulli que l'on doit les premiers résultats sur les lois binomiales, publiés en 1713 dans son célèbre ouvrage (post-mortem) "Ars Conjectandi":
Cours sur les probabilités conditionnelles
Quelques problèmes: feuille 1, feuille 2, feuille 3, feuille 4, feuille 5, feuille 6
Problème sur l'état d'une particule et son corrigé
Chapitre n°4 et 7: les nombres complexes
Comme on l'a vu en classe, on dispose du théorème suivant dit de "D'Alembert-Gauss" (ou théorème fondamental de l'algèbre) et qui nous dit que "tout polynôme de degré au moins égal à 1 et à coefficients complexes, peut se factoriser en produit de polynômes de degrés 1 à coefficients complexes". En particulier, toute équation algébrique de degré n>=1 et à coefficients complexes possède n racines complexes (comptées avec multiplicité)
Jean-le-Rond d'Alembert (1717-1783), Carl Friedrich Gauss (1777-1855), philosophe et mathématicien français mathématicien Allemand
Rien qu'à lui seul ce théorème justifie l'utilisation des nombres complexes. Gauss le considérait d'ailleurs à ce point fondamental qu'il en donna plusieurs démonstration au cours de sa vie. C'est d'ailleurs lui qui en donna la première démonstration rigoureuse (dans sa thèse de doctorat). La preuve de d'Alembert était incomplète en ce sens qu'elle admettait qu'un polynôme à coefficients réels de degré impair admet au moins une racine réelle (d'Alembert ne disposait pas encore du théorème des valeurs intermédiaires).
C'est devenu d'ailleurs un jeu de donner des démonstrations différentes de ce théorème. Citons par exemple la preuve du mathématicien Joseph Liouville (devenue un classique).
Joseph Liouville (1809-1882), mathématicien français
Liouville raisonne par l'absurde. Il suppose donc l'existence d'un polynôme P de degré au moins 1, à coefficients complexes qui ne s'annule pas sur C. Il considère alors la fonction f=1/P. Une telle fonction est holomorphe sur C (c'est à dire dérivable sur C) et il montre aussi qu'elle est bornée. Or un théorème de Liouville lui-même montre qu'une fonction holomorphe et bornée sur C est constante. Donc f, et donc P est constant: absurde. Pas mal n'est-ce pas ?
En fait, il y a même des démonstrations plus simples. Une des plus simples démonstration est la suivante. On se donne un polynôme P à coefficients complexes et de degré n>=1. On suppose qu'il ne s'annule pas sur C. On considère alors la fonction |P|, qui à z nombre complexe associe le module de P(z). On montre alors que cette fonction admet une valeur minimale |P(z0)|, puis que si elle est non nulle, alors on peut trouver un nombre complexe z1 tel que |P(z1)|<|P(z0)|, ce qui est absurde.
Une autre démonstration moins connue mais très élégante peut être obtenue par la théorie de Galois (la découverte de ces travaux doit d'ailleurs beaucoup à Liouville: voir lien; pour une introduction (hors programme) à ses travaux, voir lien)
Evariste Galois (1811-1832), mathématicien génial, mort en duel à 20 ans
Mais revenons à Gauss. Gauss est à l'origine de l'une des constructions modernes de l'ensemble des nombres complexes (il y en a d'autres). Il considère l'ensemble des nombres complexes comme l'ensemble des couples de nombres réels (a;b). Il munit cet ensemble des deux lois de composition interne suivante:
il définit sur C l'addition suivante (a;b)+(c;d)=(a+c;b+d) et la multiplication suivante: (a;b)x(c;d)=(ac-bd;ad+bc);
On vérifie alors que (C,+,X) est un "corps". On identifie aussi chaque nombre réel a au couple (a;0). Plus précisément, on considère la fonction f définie sur R à valeurs dans C, qui au nombre réel a, associe le couple (a;0). Une telle application constitue un isomorphisme de corps de R vers f(R). Ainsi C "contient" le corps des nombres réels (en ce sens qu'il contient f(R) isomorphe à R). Avec cette identification, on note le couple (a;0) plus simplement par a.
On pose aussi que i=(0;1). Alors, on a i²=ixi=(0;1)x(0;1)=(-1;0)= -1. De plus, soit z un nombre complexe. Il existe donc des nombres réels a et b tels que
z=(a;b)=(a;0)+(0;b)=(a;0)+(0;1)(b;0)=a+ib avec l'identification précédente. Ainsi tout nombre complexe peut se mettre sous la forme z=a+ib, a, b réels. Il est facile de vérifier que cette écriture est unique. En effet, s'il existe d'autres nombres réels a' et b' tels que z=a'+ib', alors z=(a';b'), donc (a;b)=(a';b'), donc a=a' et b=b'.
Fiches d'exercices et problèmes:
feuille 1 (généralités), feuille 2 (équations algèbriques), feuille 3 (équations algèbriques) ,feuille 4 (problème), feuille 5 (fonctions complexes),
feuille 6 (suites et complexes), feuille 7 (application géométrique de la forme exponentielle)
Pbm de révision pour le Bac Blanc et le corrigé
une fiche de pbms du BAC sur l'exponentielle complexe
une autre fiche de pbms sur la forme exponentielle d'un nombre complexe non nul. On y justifie notamment une méthode à la règle non graduée et on compas de la construction du pentagone régulier:
Diaporama de cette construction
Rappelons la définition suivante: "On appelle nombre de Fermat, tout entier de la forme 2^(2^n)+1 où n est un entier naturel".
On peut montrer le théorème suivant (de Gauss, démontré en 1801):
"Soit n un entier. Un polygone régulier à n côtés est constructible à la règle non graduée et au compas si et seulement si n est une puissance de 2 d'exposant au moins 2, ou bien est le produit d'une puissance de 2 d'exposant au moins 2 avec un produit de nombre premiers deux à deux distincts qui sont des entiers de Fermat".
Par exemple, 5=2^(2²)+1, donc on savait à l'avance qu'une telle construction était possible. Un tel théorème montre par la même occasion que le polygone régulier à 17 côtés est constructible à la règle et au compas. Gauss est le premier mathématicien à avoir réalisé une telle construction.
En complément de problème: Dans le plan rapporté à un rep.ère orthonormé, on considère les points
deux à deux distincts A(a), B(b) et C(c). Montrer que le triangle ABC est équilatéral si et
seulement si a² + b² + c² = ab + bc + ca.
Chapitre n°5: Limites, continuité et dérivabilité
Cours sur la notion de limite et une fiche d'exercices de calculs de limites
Cours sur la continuité et une fiche d'exercices sur cette notion
Une activité préparatoire au TVI (et à certains de ses corollaires)
Fiches de problèmes sur la continuité: fiche 1, fiche 2
La seconde fiche est composée de deux parties: la première porte sur l'étude des variations d'une fonction avec au préalable l'étude du signe d'une fonction auxiliaire; la seconde porte sur la démonstration d'un théorème de Bolzano qui énonce ceci:
Bernard Bolzano (1781-1848, mathématicien hongrois)
"Si la différence de deux fonctions continues sur un intervalle change de signe, alors il existe au moins un élément de cet intervalle en lequel ces fonctions ont la même valeur." Ce résultat est le théorème n°2 de son mémoire de 1817. C'est dans ce mémoire qu'il présente sa preuve du théorème des valeurs intermédiaires. Pour cette preuve, il utilise le théorème dit aujourd'hui de "Bolzano-Weierstrass", qui affirme ceci:
"De toute suite réelle bornée on peut extraire une sous-suite convergente"
Karl Weierstrass (1815-1897),
mathématicien allemand
Pour sa démonstration, il découvrait au passage un critère de convergence des suites réelles, redécouvert plus tard par le mathématicien Augustin-Louis Cauchy, et qui stipule qu'une suite de nombres réels converge si et seulement si pour tout epsilon>0, il existe un entier naturel N tel que pour tout entier p et q supérieurs ou égaux à N, la distance entre le terme d'indice p et q de cette suite sera inférieur à epsilon. Intuitivement, cela signifie qu'une suite de nombres réels converge si et seulement si ses termes s'agglutinent au fur et à mesure que leur indice augmente. Pour une preuve, cliquer sur ce lien qui propose d'en faire une démonstration sous forme d'exercice (hors programme)
Augustin-Louis Cauchy (1789-1857),
mathématicien français
Bolzano fut l'un des premiers à donner une définition correcte de la continuité d'une fonction en un point et qui est la définition que l'on utilise aujourd'hui. Cauchy en était très proche mais son vocable faisait encore appel à la notion d'infiniment petit, notion floue à l'époque et qu'il fallait donc proscrire pour tenir un raisonnement rigoureux.
Pour terminer sur Bolzano, rappelons que l'on a vu en cours, que si f est dérivable en a, alors elle y est continue. On a aussi montré que la réciproque est fausse (considérer par exemple la fonction valeur absolue en 0). Bolzano exhiba même un exemple de fonction continue sur [0;1] et qui n'y est nulle part dérivable (cette fonction est appelée aujourd'hui "escalier du diable de Bolzano" et fait la joie des poseurs de Khôlle en classe préparatoire).
Pour les curieux qui sont courageux, vous pouvez en cliquant sur ce lien, accéder au sujet de mathématiques de l'épreuve
n°1 du CAPES de 2011; le problème n°2 de cette épreuve porte sur l'étude du théorème des valeurs intermédiaires; amusez vous à l'étudier!!! En rapport avec cela, un autre complément (hors programme; juste pour le plaisir) sur la propriété des valeurs intermédiaires avec un exemple de fonction non continue sur R la vérifiant. Cela montre donc que cette propriété n'est pas caractéristique des fonctions continues sur un intervalle. On admettra même qu'il existe des fonctions continues nulle part sur leur intervalle de définition et qui pourtant vérifie cette propriété (!!).
Une fiche de cours sur la dérivation
Fiches d'exercices: fiche n°1, fiche n°2, fiche n°3, fiche n°4
Chapitre n°6: la fonction exponentielle
Fiche d'exercices: fiche n°1, fiche n°2, fiche n°3, fiche n°4, fiche n°5.
Problèmes: pbm n°1,pbm n°2, pbm n°3, pbm n°4
Chapitre n°7: la fonction ln
Fiche d'exercices n°1, fiche n°2
Corrigé du pbm de révisions sur la fonction ln
Chapitre n°8: le calcul intégral
Dans cette activité, on donne un exemple de fonction définie sur l'ensemble des nombres réels et qui n'y admet pas de primitive. La démarche adoptée n'est pas la plus courte possible pour arriver au résultat. En effet, un théorème du mathématicien Darboux
Darboux Gaston (1842-1917, mathématicien français)
Son fameux théorème énonce ceci: "Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Alors f' vérifie la propriété des valeurs intermédiaires."
Commentaire: attention, l'énoncé ne dit pas que f' est continue; il dit juste que si a et b sont deux réels quelconques de I et y un réel compris entre f'(a) et f'(b), alors il existe au moins un réel c compris entre a et b de I tel que y=f'(c).
Grâce à ce théorème, il devient immédiat que la fonction f de l' activité ne peut pas admettre de primitive sur R. En effet, raisonnons par l'absurde et supposons le contraire. Il existe alors une fonction F dérivable sur I telle que F'=f. Par le théorème de Darboux, f doit donc vérifier la propriété des valeurs intermédiaires. Comme
f(-1)<0<f(1), il existe donc un réel c tel que f(c)=0. Ceci est absurde car f a pour valeurs 1 ou -1. Ainsi f est sans primitive. L'affaire est pliée!!
Pour avoir une preuve de ce théorème (hors programme!), voir cette activité (corrigée ici).
Dans cette autre activité, on donne un exemple de fonction non continue sur R et qui y admet au moins une primitive.
Pour terminer sur cette disgression historique, il faut savoir que le mathématicien Robinson Abraham a pu donner une définition rigoureuse à la notion de nombre infiniment petit: voir ce diaporama
Robinson Abraham (1918-1974)
Activités liées au cours:
Activité n°1(relation de Chasles, linéarité de l'intégrale, positivité de cette dernière,...)
Activité n°2 (fonctions paires, impaires et les intégrales)
Activité n°3 (calculs de volume)
Quelques problèmes: pbm n°1 (calcul d'aire) et son corrigé , pbm n°2 (étude d'une fonction définie par une intégrale), pbm n°3, pbm n°4 (suites d'intégrales), pbm n°5, pbm n°6
Chapitre n°9: géométrie dans l'espace
Quelques problèmes:pbm1,pbm2,pbm3,pbm4, pbm 5
Chapitre n°10: Les lois de probabilités à densité
Une remarque sur la notion d'espérance (origine intuitive de la définition à partir de la définition de 1S)
Quelques problèmes: pbm1, fiche de problèmes
Chapitre n°11: Les lois normales
Fiche d'utilisation de la calculatrice
Chapitre n°12: La trigonométrie
Problèmes: pbm n°1, pbm n°2, pbm n°3
Problèmes de révisions pour le BAC: NC mars 2019 , Polynésie juin 2018, Amérique du nord mai 2019 (sujet de non spé et de spé ),
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